空間向量

1．空間向量的概念：

具有大小和方向的量叫做向量

注：⑴空間的一個平移就是一個向量

⑵向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量

⑶空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示

2．空間向量的運算

定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下

運算律：⑴加法交換律：

⑵加法結(jié)合律：

⑶數(shù)乘分配律：

3 共線向量

表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．

當(dāng)我們說向量、共線（或//）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．

4．共線向量定理及其推論：

共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//的充要條件是存在實數(shù)λ，使＝λ.

推論：如果為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式 

．

其中向量叫做直線的方向向量.

5．向量與平面平行：

已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：．

通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量

說明：空間任意的兩向量都是共面的

6．共面向量定理：

如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數(shù)使

推論：空間一點位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使或?qū)臻g任一點，有       ①

①式叫做平面的向量表達(dá)式

7 空間向量基本定理：

如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使

推論：設(shè)是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個

有序?qū)崝?shù)，使

8 空間向量的夾角及其表示：

已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：.

9．向量的模：

設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.

10．向量的數(shù)量積： ．

已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影. 

可以證明的長度．

11．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：     

（1）．（2）．（3）．

12．空間向量數(shù)量積運算律：

（1）．（2）（交換律）（3）（分配律）．

空間向量的坐標(biāo)運算

一．知識回顧：

（1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對應(yīng)為豎坐標(biāo)）.

①令=(a1,a2,a3),，則

    ∥          

(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)

②空間兩點的距離公式：.

（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量. 

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.

②利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大?。?/SPAN>方向相同，則為補角，反方，則為其夾角）.

③證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且CDE三點不共線，則a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對使.（常設(shè)求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.