九、數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)：

（一）數(shù)學(xué)思維概述

1、數(shù)學(xué)思維：指在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的思維，是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用并按照一定思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動(dòng)。它既具有思維的一般性質(zhì)，又有自己的特性。最主要的特性表現(xiàn)在其思維的材料和結(jié)果都是數(shù)學(xué)內(nèi)容。

2、小學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的階段：

（1）直觀行動(dòng)思維：這是以實(shí)際的操作行為依托的數(shù)學(xué)思維。

（2）具體形象思維：這是以事物的表象為依托的數(shù)學(xué)思維，它是一般形象思維的初級(jí)形態(tài)。

（3）抽象邏輯思維：這是脫離了直觀形象依靠概念、判斷和推理所進(jìn)行的數(shù)學(xué)思維。

3、數(shù)學(xué)思維的特性：

（1）思維的概括性：是以客觀事物為依據(jù)，在原有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，舍棄了具體事物的非本質(zhì)特征，提示數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征及其規(guī)律，并把它推廣到同類事物或現(xiàn)象之中。

數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)公式、漢則的獲得都需要通過抽象概括，因此，概括水平的高低是衡量數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)弱的重要標(biāo)志之一。

（2）思維的問題性：主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思維總是與數(shù)學(xué)的實(shí)際總是相聯(lián)系，總是表現(xiàn)為不斷提出問題、分析問題直到解決問題。

（3）思維的邏輯性：是數(shù)學(xué)思維的核心。

4、數(shù)學(xué)思維的結(jié)構(gòu)：

（1）數(shù)學(xué)思維的材料和結(jié)果：指的是數(shù)學(xué)思維的內(nèi)容。

（2）數(shù)學(xué)思維的基本方法：又稱思維的操作手段

小學(xué)數(shù)學(xué)思維的基本方法有“觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、分類、分析、綜合、抽象、概括、歸納、演繹、類比、聯(lián)想等。”

數(shù)學(xué)思維的基本形式：按思維活動(dòng)的三種方式分類，主要指邏輯思維的基本形式------概念、判斷和推理；形象思維的基本形式-----表象、直感和想像；直覺思維的基本形式----直覺和靈感。

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)主要有深刻性、靈活性、敏捷性、批判性和獨(dú)創(chuàng)性等。

（二）數(shù)學(xué)思維的分類：

1、集中思維與發(fā)散思維：集中思維是朝著一個(gè)目標(biāo)、遵循單一的模式，求出歸一答案的思維，又稱為求同思維；發(fā)散思維則表現(xiàn)在解決問題時(shí)，能根據(jù)已提供的條件，利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從多個(gè)方向、不同途徑去探索思考，以尋求新的解決問題和途徑和方法，發(fā)散思維又稱為求異思維。

2、再造性思維與創(chuàng)造性思維：再造性思維是指原有的經(jīng)驗(yàn)和已經(jīng)掌握的解題方法、策略，在燈似的情境中直接解決問題的思維方式。創(chuàng)造性思維是指在強(qiáng)烈的創(chuàng)新意識(shí)的指導(dǎo)下，指導(dǎo)頭腦中已有的信息重新加工，產(chǎn)生具有進(jìn)步意義的新設(shè)想、新方法的思維。

（三）數(shù)學(xué)思維的一般方法：

1、觀察與實(shí)驗(yàn)：

（1）觀察：是受思維影響的，有目的、有計(jì)劃地通過視覺器官去認(rèn)識(shí)事物、狀態(tài)及上線關(guān)系的一種主動(dòng)活動(dòng)。觀察是思維的窗口。

（2）實(shí)驗(yàn)：是有目的、有控制地創(chuàng)設(shè)一些有利觀察對(duì)象，并對(duì)其衽觀察和研究的活動(dòng)方式。

實(shí)驗(yàn)是有控制的觀察，實(shí)驗(yàn)為觀察創(chuàng)設(shè)對(duì)象；又通過觀察獲得實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

2、分析與綜合：

（1）分析：是把思維對(duì)象的整體分解在各個(gè)部分、方面或要素，并對(duì)它們分別加以研究、考察的一種思維方法。

（2）綜合：是把已有的關(guān)于研究對(duì)象的各個(gè)部分、方面或要素聯(lián)合成整體，從而進(jìn)行整體認(rèn)識(shí)的思維方法。

綜合是以分析為基礎(chǔ)的綜合，分析又是在綜合指導(dǎo)下的分析。

3、比較與分類：

（1）比較：是確定兩個(gè)或兩個(gè)以上的對(duì)象或同一個(gè)對(duì)象在不同時(shí)間條件下的相同與不同點(diǎn)的思維方法。比較是對(duì)事物進(jìn)行分類、抽象、概括的基礎(chǔ)，分析與綜合又是基礎(chǔ)。

在教學(xué)中最好先比較相異點(diǎn)，然后比較相同點(diǎn)，而且先從相差懸殊的特點(diǎn)比起，再比較其細(xì)微的差別。

（2）分類：是以比較為基礎(chǔ)，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把相同性質(zhì)的事物歸為一類，不同性質(zhì)的則歸入不同類別的思維方法。

分類的基本原則：每一次分類必須按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；分類必須不重不漏。

4、抽象與概括：

（1）抽象：在認(rèn)識(shí)事物中，抽取其共同的、本質(zhì)屬性或特征，舍棄其非本質(zhì)屬性或特征的思維方法。

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的抽象是有不同層次的，一種是從具體事物、具體現(xiàn)象中的抽象，稱為具體的抽象；另一種是在前者基礎(chǔ)上的較高層次的抽象，稱為原理性抽象。

（2）概括：在認(rèn)識(shí)事物的過程中，將抽象出來的同類事物的共同屬性連結(jié)起來，并把它推廣到同一類事物上去的思維方法。

5、歸納與演繹：

（1）歸納：是從同類事物中的若干特殊事物所含有的同一性或相似性中，得出這類事物的一般屬性的思維方法。歸納有不完全歸完全歸納兩種。

不完全歸納：是根據(jù)某類事物中的部分對(duì)象具有（或不具有）某種屬性，推知該類事物的全部對(duì)象都具有（或不具有）這種屬性的思維方法。不完全歸納法又稱為簡(jiǎn)單枚舉法。

完全歸納是依據(jù)同類事物的每個(gè)對(duì)象都具有（或不具有）某種屬性而推出該類事物的全體具有（或不具有）這種屬性的思維方法。

（2）演繹：是同類事物的一般屬性推出其中個(gè)別對(duì)象屬性的思維方法?；痉绞绞?#8220;三段論”。

6、類比和聯(lián)想：

（1）類比：是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象之間存在著一些相同或相似的屬性，推測(cè)另一些屬性也可能相同或相似的思維方法。類比帶有或然性，其結(jié)論不一定可靠。

（2）聯(lián)想：是由當(dāng)前的某一事物想到與其關(guān)聯(lián)的另一事物的思維方法。

（四）初步邏輯思維能力及其培養(yǎng)：

邏輯思維是數(shù)學(xué)思維的核心。邏輯思維是一種確定的、前后一貫的、有條有理的、有根有據(jù)的思維。

1、  概念明確：概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的一種思維方式。

2、判斷準(zhǔn)確：判斷是對(duì)某個(gè)事物的性質(zhì)，現(xiàn)象作出肯定或否定的思維方式。數(shù)學(xué)判斷是對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式有所肯定或否定的一咱方式。表達(dá)數(shù)學(xué)判斷的語句又稱數(shù)學(xué)命題。判斷是由主概念、謂概念和聯(lián)系詞三部分組成。

3、推理符合邏輯：推理是由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷推出一個(gè)新判斷的形式。

推理分歸納推理、演繹推理和類比推理三種。

歸納推理（從特殊到一般）；演繹推理（從一般到特殊）；類比推理（從特殊到特殊）

4、培養(yǎng)初步邏輯思維能力的基本途徑：

（1）要挖掘教材中的智力因素，把培養(yǎng)思維能力貫穿于教學(xué)的全過程。

（2）要給學(xué)生提供足夠的材料。

（3）要順著學(xué)生的思維，重視學(xué)習(xí)過程。

（4）要重視數(shù)學(xué)語言的表述。

5、初步形象思維能力及其培養(yǎng)

（1）形象思維：是依托對(duì)形象材料的意會(huì)，從而對(duì)事物作出有關(guān)理解的思維。

（2）形象思維的基本形式是表象、直感和想像。

①表象：是在感知基礎(chǔ)上形成的感性認(rèn)識(shí)的高級(jí)形式，它是人們過去感知的，但是現(xiàn)在并不直接感知到的那些保留有人腦中的事物的映象。表象有視覺表象、聽覺表象、運(yùn)動(dòng)表象及其他表象。

數(shù)學(xué)表象可分為兩種基本類型：圖形表象和圖式表象。圖形表象是與外部幾何圖形形狀一致的頭腦中的示意圖；圖式表象是與外部數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)關(guān)系相一致的模式形象。

②直感：是運(yùn)用表象對(duì)具體形象的直接判別與感知。它是在數(shù)學(xué)表象的基礎(chǔ)上對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)形象的判別。

形象識(shí)別直感：它是數(shù)學(xué)表象這種整合的普通的特征來比較具體數(shù)學(xué)對(duì)象是否與之同質(zhì)，這種思維形式主要表現(xiàn)在對(duì)圖形、圖式在變式情況下的再認(rèn)，或者在復(fù)合形狀下的分別辨認(rèn)。

形象相似直感：當(dāng)進(jìn)行形象識(shí)別時(shí)，如果有頭腦中找不到同質(zhì)的已有表象，便往往尋找接近于目標(biāo)形象的已有表象來進(jìn)行形象識(shí)別，比較異同，利用共相似處進(jìn)行適當(dāng)加工，從而解決問題。

③想象：是在頭腦中對(duì)已有表象經(jīng)過結(jié)合與改造，產(chǎn)生新表象的思維過程。數(shù)學(xué)想像是數(shù)學(xué)表象與數(shù)學(xué)直感在人腦中有機(jī)聯(lián)結(jié)與組合，從而產(chǎn)生新的表象。

按內(nèi)容可分為圖形想像與圖式想像：按深度可分為再造性想像與創(chuàng)造性想像。

培養(yǎng)初步形思維能力的基本途徑：積累表象；數(shù)形結(jié)合；重視想像。

7、初步直覺思維能力及其培養(yǎng)：

（1）直覺思維：是一種整體的、粗線條的、高度簡(jiǎn)約的、跳躍式的思維。它依托于對(duì)事物的直接認(rèn)識(shí)，從整體上把握對(duì)象，經(jīng)過一段充分的準(zhǔn)備，一下子接觸到問題的裨，找到答案。

錢學(xué)森語：直覺是一種人們沒有意識(shí)到的信息加工活動(dòng)，是在潛意識(shí)中醞釀問題，然后與顯意識(shí)突然溝通，于是一下子得到了問題的答案，而對(duì)加工的具體過程，我們沒有意識(shí)。

（2）直覺思維的基本形式：

①直覺：是在原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過觀察、聯(lián)想、猜測(cè)等，對(duì)出現(xiàn)在人們面前的新事物、新形象的一種直接的、極為敏銳的判斷和對(duì)其內(nèi)在本質(zhì)的理解，這種思維方式往往不受邏輯規(guī)則的約束。

直覺具有經(jīng)驗(yàn)性、跳躍性和或然性。

②靈感：又稱為頓悟，是人們對(duì)長(zhǎng)期探索的未能解決的問題的突然領(lǐng)悟的思維方式。

靈感的特征：突發(fā)性、模糊性和非邏輯性。

波利亞語：好念頭的出現(xiàn)，每人都會(huì)體驗(yàn)過，但只能心領(lǐng)神會(huì)，而難于言傳。

（3）培養(yǎng)初步直覺思維的若干建議：重視知識(shí)“組塊”的積累；鼓勵(lì)合理猜想；敢于創(chuàng)新。

8、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)及其培養(yǎng)：

（1）數(shù)學(xué)思維品質(zhì)：是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展中的個(gè)性差異，又稱為數(shù)學(xué)思維的智力品質(zhì)，它是數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平的重要標(biāo)志。

（2）數(shù)學(xué)思維品質(zhì)主要包括數(shù)學(xué)思維的深刻性、靈活性、敏捷性、批判性和獨(dú)創(chuàng)性。

思維的深刻性：主要指能從數(shù)學(xué)的感性材料出發(fā)，通過邏輯思維，    揭示數(shù)學(xué)與形的本質(zhì)特征，確定它們的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，并預(yù)通情達(dá)理感事物的發(fā)展進(jìn)行進(jìn)程。思維的深刻性是思維品質(zhì)的基礎(chǔ)。

思維的靈活性：是指善于從不同的角度、不同的方面進(jìn)行分析思考，善于根據(jù)條件的變化轉(zhuǎn)換角度，做到思維起點(diǎn)活，思維過程活動(dòng)，有較強(qiáng)的遷移能力。

思維的敏捷性：指思維活動(dòng)的速度。它表現(xiàn)在解決問題時(shí)思考敏捷，接觸裨快，能縮短中間環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)化思考過程。

思維的批判性：指在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，能嚴(yán)格估計(jì)思維材料和精細(xì)檢查思維過程，能隨時(shí)對(duì)思維過程進(jìn)行監(jiān)控和調(diào)節(jié)的品質(zhì)。

思維的獨(dú)創(chuàng)性：指在面對(duì)從未見的新問題時(shí)，能采取相應(yīng)的對(duì)策，并能給予獨(dú)特、新穎的解決，它是數(shù)學(xué)思維發(fā)展的高級(jí)表現(xiàn)。