我們憑直覺可以知道，在平面上，一定長度的封閉曲線能圍成的幾何圖形中，圓的面積最大。或者說，平面上面積相等的所有幾何圖形中，圓的周長最小。以上的關(guān)系可以用公式表示為：

其中，L和S為封閉圖形的周長和面積。當(dāng)且僅當(dāng)封閉圖形為圓時(shí)等號成立。

以上不等式就稱為等周不等式，最早由Edler于1882年證明。等周不等式還可以推廣到高維情形。即，n(n≥2)維空間中某一區(qū)域D的體積V與構(gòu)成該區(qū)域邊界的n-1維超曲面的面積S之間滿足關(guān)系

式中，v_n表示n維空間中單位球的體積，當(dāng)且僅當(dāng)區(qū)域D為n維球體時(shí)等號成立。顯然當(dāng)n等于2時(shí)，上式就變?yōu)榍懊娼榻B的平面區(qū)域的等周不等式。

當(dāng)n等于3時(shí)，其幾何意義就是，三維空間中用特定面積的封閉曲面包圍一定區(qū)域時(shí)，當(dāng)區(qū)域?yàn)榍蝮w時(shí)體積最大。或者說球體的比表面積最大。

這也是水滴在失重時(shí)趨向于縮成球形的原因，因?yàn)榍蛐伪砻娣e最小，從而表面能最小。很多單細(xì)胞微生物呈球形也是因?yàn)榍蛐伪缺砻娣e最大，有利于生物與外界高效交換物質(zhì)，從而有利于代謝(比表面積對生物的影響)。等周不等式有很多推廣，例如一種常見的推廣方式就是將其推廣到彎曲空間(如曲面)中的情形。

等周不等式揭示了幾何圖形的區(qū)域與邊界測度之間的關(guān)系。據(jù)說古時(shí)候有的農(nóng)民對數(shù)學(xué)理解很淺，以為周長越大的田地其面積也就越大。畢竟周長比面積更好理解也更容易測量。于是就有人據(jù)此行騙，用周長大而面積小的土地交換別人的周長小而面積大的土地。當(dāng)然，大家現(xiàn)在想起來可能覺得不可思議。事實(shí)上，以前我周圍都有不識數(shù)，買東西不會算賬的老人。需要自己去買東西時(shí)，家里人知道價(jià)格，就提前算好需要多少錢，把錢給它讓它用帶的所有的錢去指定的地方買需要的東西就行。