 等周不等式是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常經(jīng)典的問題，在對它的研究過程中，逐漸發(fā)展出了許多重要的數(shù)學(xué)思想和方法，這些思想和方法經(jīng)過不斷完善后在其他相關(guān)領(lǐng)域內(nèi)也發(fā)揮了巨大作用。總之，等周不等式雖然經(jīng)典，但不過時(shí)，如今已經(jīng)發(fā)展成為數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的論題，對它的研究也在不斷取得新進(jìn)展。 平面 等周不等式最早以平面的情形出現(xiàn)，這也是我們最熟悉的情況，也就是： 由給定長度簡單閉曲線(除端點(diǎn)外不相交)所圍成的圖形中，圓的面積最大. 等周不等式的內(nèi)容實(shí)際上在古希臘時(shí)代已經(jīng)為數(shù)學(xué)家所熟知，但限于知識(shí)水平，這個(gè)結(jié)果僅僅是一個(gè)猜測而已，但這一猜就是差不多兩千年！在這個(gè)過程中，陸陸續(xù)續(xù)出現(xiàn)過許多種證明，但最終都被發(fā)現(xiàn)不嚴(yán)格。盡管沒有嚴(yán)格的證明，但等周不等式的結(jié)果太過優(yōu)美，以至于當(dāng)時(shí)的許多數(shù)學(xué)家直接把它當(dāng)成正確的結(jié)果來使用。 歷史上第一個(gè)在這個(gè)問題上邁出實(shí)質(zhì)性一步的是瑞士數(shù)學(xué)家施泰納(Jakob Steiner),他利用對稱化的方法證明了： 如果等周不等式成立，那么這種圖形只能是圓. 施泰納使用的完全是幾何化的思想，這聽起來還是很容易。按照施泰納的想法，如果一個(gè)平面圖形有“凹”的部分，那么可以把這部分通過一個(gè)不改變周長的對稱化把圖形面積變大，同時(shí)，如果這個(gè)圖形不是對稱的，那么也可以通過一個(gè)不改變周長的對稱化，把它變得對稱。
實(shí)際上，施泰納這樣的思想完全是正確的，尤其是第一條“凸化”的思想，時(shí)至今日仍然是數(shù)學(xué)中重要的方法，其原因正在于凸集和其上的凸函數(shù)擁有眾多良好的性質(zhì)。 但在施泰納的年代，分析學(xué)(或者說微積分)還沒有嚴(yán)格的基礎(chǔ)，因此他的證明仍然不能說是完全嚴(yán)格的，對于數(shù)學(xué)而言，直觀想象永遠(yuǎn)無法替代嚴(yán)格意義上的證明。而最終給這個(gè)千年數(shù)學(xué)難題畫上圓滿句號(hào)的正是“現(xiàn)代分析學(xué)之父——魏爾斯特拉斯”，他利用分析中的變分法思想，嚴(yán)格證明了平面中的等周不等式，由此彌補(bǔ)了施泰納證明中不嚴(yán)格的地方。
魏爾斯特拉斯 1902年，德國著名數(shù)學(xué)家赫維茨將等周不等式表達(dá)成了周長與面積之間的不等關(guān)系，即：
其中A代表區(qū)域面積，L代表邊界周長。這也正是“等周不等式”這一名稱的由來。值得一提的是，赫維茨利用傅里葉級數(shù)，順便給了等周不等式一個(gè)純解析的證明。 一般歐式空間 等周不等式的平面情形獲證后，數(shù)學(xué)家們紛紛猜測它在任意維數(shù)的歐式空間中也成立，只不過此時(shí)邊長要用封閉區(qū)域的面積來代替，這也就有了更一般的等周不等式：
其中per代表區(qū)域的表面積，vol代表區(qū)域體積，n是空間維數(shù)。特別的，vol(B1)是半徑為1的單位球體積，且取等條件與平面時(shí)一樣，也就是當(dāng)且僅當(dāng)區(qū)域?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)的球。 但隨著維數(shù)的增加，情況比平面時(shí)復(fù)雜許多，好在施泰納對稱的思想在這種情形下仍然有效。在對區(qū)域做一定的限制后(例如假設(shè)區(qū)域的凸性，邊界光滑性)后，Schmidt(1949) ，Baebler(1957)，Hadwiger(1957) 等人先后證明了以上的等周不等式。對于一般的情形，也就是拋掉邊界光滑性的假設(shè)，此時(shí)的情況變得異常復(fù)雜，因?yàn)槭ス饣院?，之前的分析學(xué)工具將失去作用。 為了克服失去光滑性所帶來的困難，我們必須要尋找新的數(shù)學(xué)工具，而當(dāng)時(shí)正興起的幾何測度論恰好可以用到一般的等周不等式上。最終，通過證明Brunn–Minkowski不等式，一般的等周不等式得以被證明，這一偉大的工作分別由 Federer(1969)和Osserman (1978)分別完成，自此歐式空間中的經(jīng)典等周不等式徹底被終結(jié)。而Federer作為幾何測度論先驅(qū)之一，將自己的眾多成果總結(jié)在了巨著《幾何測度論》中，此書也成為幾何測度論領(lǐng)域內(nèi)最權(quán)威的參考書。
Cartan-Hadamard流形 數(shù)學(xué)總是隨著時(shí)代進(jìn)步，等周不等式也不例外。上世紀(jì)七十年代后，幾何大師格羅莫夫(Gromov)和Aubin等人紛紛猜測，等周不等式可以推廣到更一般的Cartan-Hadamard流形(嘉當(dāng)-阿達(dá)瑪流形，也就是完備單連通曲率非正的黎曼流形，歐式空間是其中一種最簡單的情形)上。在之后的幾十年里，一些相關(guān)的零星結(jié)果相繼問世，而且這些結(jié)果都是在維數(shù)很低(≤4)的情形下被證明的。
格羅莫夫 在這些成果中，需要特別提到Kleiner在1992年所證明的三維和四維情形，他在Cartan-Hadamard流形中推廣了施泰納對稱化的結(jié)果，把此時(shí)等周不等式的證明完全歸結(jié)到了凸區(qū)域上，極大降低了這一問題的難度。但高維情形仍然十分困難，和歐式空間高維情形一樣，因?yàn)閬G失了曲面的光滑性，所以如何把失去的光滑性找回來是解決這一問題的關(guān)鍵。 最終，在不久前的2019年10月份，兩位美國數(shù)學(xué)家Ghomi和Spruck利用Kleiner的思想，將問題簡化到具有一定光滑性(使得曲面的曲率可以定義)的凸曲面上，通過估計(jì)高斯曲率在曲面上的面積分(一般稱為曲面的全曲率)，最終徹底完成了等周不等式的證明，等周不等式的深刻性也因此更上一層樓。
Ghomi和Spruck的論文 結(jié)語 數(shù)學(xué)中很少有問題可以像等周不等式這樣可以延續(xù)兩千多年而經(jīng)久不衰，許多數(shù)學(xué)思想方法因它而來，也有很多數(shù)學(xué)內(nèi)外的重要結(jié)果因它得以實(shí)現(xiàn)，可以說，等周不等式就是數(shù)學(xué)中取之不盡用之不竭的巨大寶庫?；蛟S等周不等式的重要性正在于它緊密聯(lián)系著數(shù)學(xué)中重要的“對稱性”和“極大極小化”，除去我們上面所介紹的情形外，等周不等式在其他許多情況下也成立，例如空間是球面時(shí)，在更為一般的測度空間上，等周不等式也有相應(yīng)的表達(dá)，甚至在物理中，等周不等式也有重要應(yīng)用，例如它可以用來研究最小作用原理。 對于數(shù)學(xué)而言，等周不等式絕不僅僅是一個(gè)結(jié)果，它已經(jīng)發(fā)展成一種思想和方法，推動(dòng)著許多領(lǐng)域不斷前進(jìn)，我們有理由相信，等周不等式將會(huì)繼續(xù)在數(shù)學(xué)中扮演重要的角色，延續(xù)自己兩千多年的輝煌。
等周不等式專著 |
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