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季理真，1964 年 4 月生于溫州。1984 年獲杭州大學(xué)理學(xué)學(xué)士學(xué)位，1985 年赴美在丘成桐教授指導(dǎo)下研習(xí)數(shù)學(xué)。1987 年在加州大學(xué)圣地亞哥分校獲得理學(xué)碩士學(xué)位，1991 年在美國(guó)東北大學(xué)獲得理學(xué)博士學(xué)位。先后在美國(guó)麻省理工學(xué)院、普林斯頓高等研究所從事研究工作，1995 年至今任教于美國(guó)密歇根大學(xué)數(shù)學(xué)系，從 2002 年開(kāi)始兼任浙江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究中心高級(jí)教授。曾獲得 Sloan 研究獎(jiǎng)，以及美國(guó)自然科學(xué)基金會(huì)數(shù)學(xué)科學(xué)博士后獎(jiǎng)。 譯者 | 林開(kāi)亮 選自 | 《霍金與黑洞探索》  本文簡(jiǎn)要介紹了 Sophus Lie 的生平和工作，特別是他早期和 Felix Klein 在有關(guān) Erlangen 綱領(lǐng)方面的富有成果的相互影響以及他們晚期的沖突，他與 Friedrich Engel 多產(chǎn)的合作，以及他的論文選集的編輯與出版。  Sophus Lie (1842—1899) 引言
眾所周知，Lie 的主要工作是借助連續(xù)變換群的概念把幾何、力學(xué)、偏微分方程等數(shù)學(xué)領(lǐng)域整合在一起。也許不那么廣為人知的是，Lie 的論文集共有 7 卷，合起來(lái)約 5600 頁(yè)。(當(dāng)然我們要知道，其中有相當(dāng)一部分篇幅是編輯的注釋文字。即便如此，Lie 的成果仍然是豐碩的。) 要知道，Lie 的數(shù)學(xué)生涯從 26 歲才開(kāi)始，而他在 57 歲就過(guò)世了。除了許多論文，他還寫(xiě)了幾本書(shū)，一共也有幾千頁(yè)。據(jù) Lie 說(shuō)，他的想法中僅有一部分寫(xiě)了下來(lái)。Lie 在其自傳中寫(xiě)道 [9]： 我的生活在我看來(lái)是完全不可理解的。年輕時(shí)我并不知道自己有原創(chuàng)的能力，等到 26 歲時(shí)，我突然意識(shí)到我能創(chuàng)造。我讀進(jìn)一點(diǎn)東西，就能產(chǎn)生新的想法。在 1867-1874 年間，我腦子里涌出了許多想法，但后來(lái)絕大部分未能成形。 特別吸引我的是變換群理論及其對(duì)微分方程的巨大重要性。但在這個(gè)領(lǐng)域，我發(fā)表自己成果的速度太慢了。我無(wú)法恰當(dāng)?shù)赜枰越M織，而且總是害怕犯錯(cuò)。不是那些無(wú)關(guān)緊要的小錯(cuò)誤······非也，我害怕的是那些根本上的錯(cuò)誤。我很高興，到目前為止，我的群論還沒(méi)有出現(xiàn)任何根本上的錯(cuò)誤。 Lie 是一個(gè)高度原創(chuàng)、能力極強(qiáng)的數(shù)學(xué)家。但讓 Lie 群（或變換群）的思想被他人認(rèn)可是需要時(shí)間的。他在 19 世紀(jì) 70 年代的一封信中寫(xiě)道 [26]： 要是我知道如何讓數(shù)學(xué)家對(duì)變換群及其對(duì)微分方程的應(yīng)用感興趣該多好，我確實(shí)需要大家相信這件事，這些理論將來(lái)將被視為根本性的理論。但我想現(xiàn)在就造成這樣的印象，因?yàn)檫@樣一來(lái)我就會(huì)更加努力地工作。 1890 年，Lie 充滿自信地寫(xiě)道，他相信他的工作將會(huì)經(jīng)受住時(shí)間的考驗(yàn)，并且在數(shù)學(xué)的世界中得到越來(lái)越多的重視。 當(dāng) Lie 于 1886 年在萊比錫擔(dān)任幾何教授時(shí)，Eduard Study 還只是那里的一名講師。1924 年，成熟的 Eduard Study 如下概括 Lie [26]： 作為以自我為引導(dǎo)者的人，Sophus Lie 有很多不足之處，但他也是歷史上最出色的數(shù)學(xué)家之一。他富有一些并不常見(jiàn)而且越來(lái)越罕見(jiàn)的品質(zhì)：有創(chuàng)造性的想象力。后人將比我們這一代人更好地理解他的遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí)，我們這代人只能理解他的卓越才智。然而，他最可貴的品質(zhì)是廣闊的視野，這在今天已經(jīng)很難看到了。然而，后人將會(huì)理解變換群理論的重要性并確保這一宏大工作所應(yīng)得的科學(xué)地位。 Lie 所研究的是無(wú)窮小 Lie 群，或者說(shuō)本質(zhì)上是 Lie 代數(shù)。考慮到 H. Weyl 和 E. Cartan 在 Lie 群整體理論上的工作開(kāi)始于 20 世紀(jì) 20 年代中期，此后 Lie 群才成為現(xiàn)代（或當(dāng)代）數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)最重要的對(duì)象，Study 的上述評(píng)價(jià)一定令人非常驚訝。對(duì) Lie 群的歷史發(fā)展特別是側(cè)重于 Lie, Killing, E.Cartan 和 Weyl 的工作的一個(gè)比較詳細(xì)的介紹，可見(jiàn)著作 [14]。 Lie 過(guò)世兩個(gè)月以后，他的一個(gè)傳記 [12] 出現(xiàn)在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》(American Mathematical Monthly) 上。作者是活躍的數(shù)學(xué)教育家、得克薩斯大學(xué)奧斯汀分校的數(shù)學(xué)家 George Bruce Halsted，他曾教過(guò)像 R.L. Moore 和 L.E. Dickson 這樣的著名數(shù)學(xué)家。一百年以后再讀這篇傳記，他那強(qiáng)有力的斷言聽(tīng)起來(lái)也許有點(diǎn)驚人但比從前更加公正: “世界上最偉大的數(shù)學(xué)家 Sophus Lie 去世了······他的工作戛然而止，但他的影響和聲望將持續(xù)擴(kuò)大?！?nbsp; 也許對(duì) Lie 的一個(gè)更準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)是 Engel 在 1899 年對(duì) Lie 的紀(jì)念演說(shuō) [9] 給出的： 如果衡量數(shù)學(xué)家的標(biāo)準(zhǔn)是發(fā)現(xiàn)的能力，那么 Sophus Lie 一定位列歷代最重要的數(shù)學(xué)家之林。只有極少數(shù)人像他那樣開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)研究的如此浩瀚的領(lǐng)域和如此豐富和廣泛應(yīng)用的方法······除了發(fā)現(xiàn)的能力，Lie 的另一項(xiàng)突出才能是深刻的洞察力，Lie 是一個(gè)真正有非凡天賦的數(shù)學(xué)家······他的能力是基于攻克那些重要但可以解決的問(wèn)題，常有的事情是，他能夠解決令其他杰出數(shù)學(xué)家一籌莫展的問(wèn)題。 在此意義下，Lie 是數(shù)學(xué)界的巨人，他對(duì)數(shù)學(xué)做出了深刻而原創(chuàng)的貢獻(xiàn)，他的有名與其他事情無(wú)關(guān)。（有不少數(shù)學(xué)家的有名還與各種數(shù)學(xué)之外的逸聞?dòng)嘘P(guān)。）巧合的是，從體格上說(shuō)，他也是一個(gè)巨人。關(guān)于 Lie 有一些生動(dòng)描述，例如，可見(jiàn) E. Cartan [1]，Engel [27] 和他在萊比錫大學(xué)的物理學(xué)同事 Ostwald [27]，也見(jiàn) [27]。對(duì)巨人與科學(xué)家之間關(guān)系的有趣討論，可見(jiàn) [11] 和 [22]。 未完待續(xù) 02 | Lie 的早期學(xué)術(shù)生涯概述 03 | 成熟的 Lie 及其與 Engel 的合作 04 | Lie 在精神崩潰前的最后一個(gè)重要結(jié)果 05 | Lie 的主要工作概覽 06 | Lie 理論中 Lie 的三個(gè)基本定理 07 | 與 Klein 的關(guān)系之第一階段：富有成果的合作 08 | Klein 的關(guān)系之第二階段：沖突，包括那篇著名的序言與 09 | 與其他人的關(guān)系 10 | Lie 的論文集：編輯、評(píng)論和出版 參考文獻(xiàn) [1] M. A. Akivis, B. A. Rosenfeld, Elie Cartan (1869-1951). Translated from the Russian manuscript by V. V. Goldberg. Translations of Mathematical Monographs, 123. American Mathematical Society, Providence, RI, 1993. [9] B. Fritzsche, Sophus Lie: a sketch of his life and work. J. Lie Theory 9 (1999), no. 1, 1-38. [11] J. Gribbin, The Scientists: A History of Science Told Through the Lives of Its Greatest Inventors, Random House Trade Paperbacks, 2004. [12] G. Halsted, Sophus Lie. Amer. Math. Monthly 6 (1899), no. 4, 97-101. [14] T. Hawkins, Emergence of the theory of Lie groups. An essay in the history of mathematics 1869-1926. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer-Verlag, New York, 2000. [17] L. Ji, A summary of topics related to group actions, preprint, 2013, to appear in Handbook of group actions (Vol.1), Higher Education Press, 2015. [20] G. Kowalewski, Bestand und Wandel. Meine Lebenserinnerungen zugleich ein Beitrag zur neueren Geschichte der Mathematik. Verlag Oldenbourg, München 1950. [22] R. Merton, On the Shoulders of Giants: A Shandean Postscript, University of Chicago Press, 1993. [25] D. Rowe, Three letters from Sophus Lie to Felix Klein on Parisian mathematics during the early 1880s. Translated from the German by the author. Math. Intelligencer 7 (1985), no. 3, 74-77. [26] E. Strom, Sophus Lie. The Sophus Lie Memorial Conference (Oslo, 1992), Scand. Univ. Press, Oslo, 1994. [27] A. Stubhaug, The mathematician Sophus Lie. It was the audacity of my thinking. Translated from the 2000 Norwegian original by Richard H. Daly. Springer-Verlag, Berlin, 2002.  霍金與黑洞探索 作者：丘成桐 等主編 |
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