虛數(shù)可不是數(shù)學(xué)家用想象構(gòu)造出來的（虛數(shù)真的一點(diǎn)都不“虛”）。事實(shí)是，虛數(shù)對(duì)我們生活的影響遠(yuǎn)超過任何只是想象出來的東西。虛數(shù)在現(xiàn)代世界有著重要作用：把電送進(jìn)家庭、工廠還有網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器集群，如果沒有虛數(shù)，那么現(xiàn)代世界將不復(fù)存在。同學(xué)們?cè)谙驍?shù)學(xué)老師抱怨學(xué)習(xí)虛數(shù)沒什么意義之前，不妨試試放下手機(jī)，關(guān)掉音樂，拔掉寬帶路由器，要知道，這些東西都是需要虛數(shù)才能工作的。但或許我們應(yīng)該先解釋一下什么是虛數(shù)。

我們知道如何計(jì)算一個(gè)數(shù)的平方(用它自己乘自己)，我們還知道負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；負(fù)負(fù)得正，還記得嗎？所以(–2) × (–2) = 4。我們還知道平方根是平方的逆運(yùn)算。所以4可能的平方根是2 和 –2。虛數(shù)就來源于思考–4的平方根應(yīng)該是什么。

我們?cè)谶@里發(fā)現(xiàn)的，不是什么宇宙深處的奧秘

這個(gè)問題真的是無意義的嗎？如果你算一個(gè)數(shù)的平方，無論這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，結(jié)果都是正的，所以你不能對(duì)一個(gè)負(fù)數(shù)開方。這正是亞歷山大里亞的希羅(Heron of Alexandria)思考的事情。希羅是一個(gè)埃及建筑師，他的數(shù)學(xué)技巧寫在了《立體測(cè)量學(xué)(Stereometrica)》一書中，這本書為圣索菲亞大教堂的穹頂設(shè)計(jì)提供了理論指導(dǎo)。也是在這本書中，他給出了如何計(jì)算截角四棱錐的體積，截角四棱錐，就是削去頂角的四棱錐。他對(duì)一個(gè)例子的求解過程涉及對(duì)225減去288的結(jié)果開方。但這個(gè)結(jié)果是一個(gè)負(fù)數(shù): –63。所以這個(gè)問題的答案要通過計(jì)算來得到。

出于某種原因——無論是感覺存在一些錯(cuò)誤，還是有人抄錯(cuò)了某些東西，或者因?yàn)樗闹嚒?/span>現(xiàn)存的手稿顯示希羅忽略了負(fù)號(hào)，給出了答案。

負(fù)數(shù)的平方根就是我們現(xiàn)在所說的虛數(shù)。第一個(gè)提出人們不應(yīng)該忽略虛數(shù)的人是16世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾(Jerome Cardano)，他開始了一個(gè)宏偉的工作：寫一本詳細(xì)介紹他那個(gè)時(shí)代所有代數(shù)知識(shí)的書。在鉆研三次方程的問題時(shí)，他停住了腳步并審視這里面虛數(shù)的問題。剛開始，他將其稱為“不可能的情況”。在他1545年關(guān)于代數(shù)的《大術(shù)(The Great Art)》一書中，他給出了一個(gè)例子：嘗試將10分成兩個(gè)數(shù)，并且這兩個(gè)數(shù)相乘等于40。在尋找這樣的數(shù)的過程中，你可以遇到5 + 。

卡爾達(dá)諾并沒有回避這次意外的發(fā)現(xiàn)。事實(shí)上，他甚至還記下了一些對(duì)此的想法。然而他用的是拉丁語，譯者們對(duì)于他的實(shí)際意思產(chǎn)生了爭議。一些人認(rèn)為他寫的是一個(gè)“錯(cuò)誤的點(diǎn)”，一些人認(rèn)為他寫的是一個(gè)“虛構(gòu)的數(shù)”，還有人認(rèn)為，他將這種情況描述為“不可能”求解。他關(guān)于如何在這種情況下繼續(xù)前進(jìn)作出了進(jìn)一步評(píng)論，其中一部分被翻譯為“拋開心理上的偏見”和“虛部被丟棄了”。在其他地方，他將虛數(shù)稱為“算術(shù)的精妙，其結(jié)果……既精妙又無用?！?他說，這“確實(shí)很復(fù)雜……人們不能像計(jì)算純負(fù)數(shù)那樣計(jì)算它” 他所說的純負(fù)數(shù)是指標(biāo)準(zhǔn)負(fù)數(shù)，例如–4。 他對(duì)負(fù)數(shù)很滿意，并寫道“要么是+3，要么是–3，正數(shù)(乘以正數(shù))或負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)得到正數(shù)。”然后他繼續(xù)說道，“ 既不是 +3 也不是–3，而是另一種深?yuàn)W的東西?！笨栠_(dá)諾顯然認(rèn)為負(fù)數(shù)的平方根是深?yuàn)W而抽象的東西，但同時(shí)他也知道它們是某種東西——而且是數(shù)學(xué)家應(yīng)該研究的東西。不過，這個(gè)任務(wù)不適合他。卡爾達(dá)諾隨后的著作都沒有提到負(fù)數(shù)的平方根。他把這個(gè)問題留給了他的同胞拉斐爾·邦貝利(Rafael Bombelli)，讓他在大約幾十年后解決這些問題。

邦貝利在 1572 年提出，5 + 中的兩項(xiàng)可以被視為兩個(gè)獨(dú)立的事物，這在他本人看來是“瘋狂的想法”?！罢滤坪醵际窃庌q而非事實(shí)，”他說，但他還是進(jìn)行了這樣的劃分。我們今天仍然這樣做，因?yàn)樗行А?span>

對(duì)自然界進(jìn)行完全的數(shù)學(xué)描述要求虛數(shù)的存在

邦貝利的兩個(gè)不同的東西就是我們現(xiàn)在所說的實(shí)部和虛部。兩者的組合被稱為“復(fù)數(shù)”(這里的“復(fù)”字就像“軍工復(fù)合體”中的那樣，指的是實(shí)部和虛部的組合，而不是復(fù)雜或者困難)。但我們要明確一點(diǎn)，如果我們?cè)谥販財(cái)?shù)學(xué)的過程中學(xué)到了一件事，那就是所有數(shù)字都是虛構(gòu)的。它們只是一種有助于理解“多少”概念的符號(hào)。因此，將“虛數(shù)”這個(gè)名稱應(yīng)用于負(fù)數(shù)的平方根是貶義且無益的。

也就是說，我們必須承認(rèn)“虛數(shù)”和“實(shí)數(shù)”間的區(qū)別。數(shù)學(xué)家們所說的實(shí)數(shù)只是你更加熟悉的數(shù)。兩個(gè)蘋果中的“2”；π中的3.14...；分?jǐn)?shù)等等。正如正數(shù)在某種意義上與負(fù)數(shù)互補(bǔ)一樣，我們所說的實(shí)數(shù)也與我們現(xiàn)在所說的虛數(shù)互補(bǔ)。將他們視為陰和陽，或者頭和尾。當(dāng)然不要真的認(rèn)為他們是虛構(gòu)出來的。

邦貝利按照他瘋狂的想法，展示了這一類新的數(shù)字在現(xiàn)實(shí)世界中可以發(fā)揮作用。他開始著手求解卡爾達(dá)諾放棄了的三次方程: . 卡爾達(dá)諾的解需要處理包含的表達(dá)式，而他并不知道如何是好解。另一方面，邦貝利相信可以嘗試將正常的算術(shù)規(guī)則應(yīng)用在平方根里。于是他指出或許就是 × ，也就是1 × .。

邦貝利的重大突破在于，他發(fā)現(xiàn)這些看似不可能的奇怪?jǐn)?shù)字，一旦在計(jì)算過程中與其他更熟悉的數(shù)字分開，就會(huì)遵守簡單的算術(shù)規(guī)則。之后的一切都順理成章。

他繼續(xù)研究卡爾達(dá)諾的三次方程，并最終得出了一個(gè)解:

x=(2+)+(2-)

將他們分解為我們今天所說的實(shí)部和虛部，它就簡化成了2加2，減，虛部抵消了，只剩下2+2。所以x=4就是方程的一個(gè)解。請(qǐng)讀者們代進(jìn)去自行驗(yàn)證一下吧。

如今，用i代表已成為慣例。瑞士數(shù)學(xué)家列昂納多·歐拉首先提出了這個(gè)記號(hào)。很容易認(rèn)為i代表虛數(shù)的英文imaginary首字母，但事實(shí)上，正如歐拉的另一個(gè)常數(shù)e一樣，他可能只是隨機(jī)地選了這個(gè)字母。不管是什么原因，歐拉的舉動(dòng)以無益的方式確立了i是一個(gè)“虛構(gòu)的”數(shù)。

為了更好地理解虛數(shù)是什么，讓我們想象一個(gè)從–1到1的標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)軸(你可以將它想象成一把尺子放在你面前的桌子上，左端是–1，右端是+1)。我們把沿著這條線移動(dòng)稱作加和減(假設(shè)我現(xiàn)在位于0.3，如果我加0.3，我就到了0.6處)。但我們也可以想象通過乘法來進(jìn)行移動(dòng)。如果我開始在1，我怎么到達(dá)–1呢？乘一個(gè)–1就可以了。下面讓我們把乘–1想象成沿著圓周逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)半圈(這里我們討論以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，經(jīng)過1和–1的圓)。這實(shí)際上是一個(gè)180度的旋轉(zhuǎn)。用數(shù)學(xué)上更喜歡的單位來記錄角度，180度就是π弧度(當(dāng)然一個(gè)圓周360度就是2π弧度)。

這個(gè)旋轉(zhuǎn)操作如果我們只做一半會(huì)發(fā)生什么呢？這是“乘以–1”這個(gè)操作的一半，你可以看作是乘以 ，這樣一個(gè)只轉(zhuǎn)動(dòng)π/2弧度(或者說90度)的操作將我們的數(shù)留在圓周的上半部分，遠(yuǎn)離了標(biāo)準(zhǔn)數(shù)軸。所以我們可以認(rèn)為–1的平方根位于一條垂直于我們所熟悉的數(shù)軸的另一條數(shù)軸上。它只是另一組數(shù)的集合，只不過這次是在一個(gè)和你原來的尺子呈90度夾角相交的尺子上。

上面的討論將我們帶到某些有趣的結(jié)論。虛數(shù)和圓周上的旋轉(zhuǎn)之間的聯(lián)系意味著i和π以及角度的正弦余弦是相聯(lián)系的。它們之間的關(guān)系通過奇怪的數(shù)e聯(lián)系起來，這個(gè)數(shù)通常被稱為歐拉數(shù)。這個(gè)無理數(shù)以2.71828...開始，并且無窮無盡。數(shù)學(xué)里到處都是這個(gè)數(shù)的身影，它對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)、微積分、自然對(duì)數(shù)和一系列算術(shù)計(jì)算至關(guān)重要。歐拉準(zhǔn)確地計(jì)算出了e的表達(dá)式，他采用了一種特殊的無限級(jí)數(shù)（稱為泰勒級(jí)數(shù)）并推導(dǎo)出了現(xiàn)在我們熟知的歐拉公式：

這說明自然對(duì)數(shù)的底數(shù)和虛數(shù)存在著基本的關(guān)系。另外，你可以將這個(gè)關(guān)系化簡為歐拉恒等式的形式：

對(duì)某些人來說，這是一個(gè)近乎神秘的公式。這里我們有自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e；數(shù)字 0 和 1，它們都在整個(gè)數(shù)軸上有獨(dú)特的地位；虛數(shù)單位i，本身就是一個(gè)特殊的存在；還有π，眾所周知，它是數(shù)學(xué)的力量源泉。盡管這些數(shù)來自于不同的人在不同的時(shí)間進(jìn)行的不同分支的數(shù)學(xué)研究時(shí)的發(fā)現(xiàn)，但事實(shí)證明它們是相互關(guān)聯(lián)的，共存于這個(gè)優(yōu)雅、簡單的方程中。

從另一個(gè)稍微不同的角度來看，也許我們不應(yīng)該感到驚訝。與π本身一樣，這個(gè)公式確實(shí)沒有什么神秘之處。這來自于這樣一個(gè)事實(shí)，數(shù)字通過旋轉(zhuǎn)改變自身，變?yōu)楸舜恕?/span>這是由數(shù)的使命所決定的：數(shù)字就是數(shù)量之間關(guān)系的表示。通過加法和減法沿著熟悉的“實(shí)”數(shù)軸移動(dòng)，我們并不認(rèn)為有任何神秘的地方。事實(shí)上，通過乘法和除法產(chǎn)生的變換沒有什么不同。請(qǐng)記住，正弦和余弦只是與三角形內(nèi)的角度相關(guān)的比例(一個(gè)數(shù)字除以另一個(gè)數(shù)字)，這些角度可以表示為π的分?jǐn)?shù)或倍數(shù)（以弧度為單位）。因此，我們?cè)谶@里發(fā)現(xiàn)的并不是宇宙深處的謎團(tuán)，而是一組清晰且有用的關(guān)系，這些關(guān)系是以各種不同方式定義數(shù)字的結(jié)果。

事實(shí)上，這些關(guān)系不僅是有用的，而且可以說是至關(guān)重要的。以它們?cè)诳茖W(xué)中的應(yīng)用為例：對(duì)自然的完整數(shù)學(xué)描述似乎需要虛數(shù)的存在，我們已經(jīng)非常了解的實(shí)數(shù)是不夠的。實(shí)數(shù)必須與虛數(shù)結(jié)合起來，形成邦貝利首次創(chuàng)造的“復(fù)”數(shù)。數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯將復(fù)數(shù)的出現(xiàn)視為完美。他在他的《通往現(xiàn)實(shí)之路(The Road to Reality)》一書中寫道：“復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)一樣，甚至可能在更深的程度上，實(shí)現(xiàn)與自然真正非凡的統(tǒng)一。大自然本身就像我們自己一樣被復(fù)數(shù)系統(tǒng)的范圍和一致性深深地打動(dòng)了，并將她的世界在最微小尺度上的精確運(yùn)作托付給這些數(shù)字。”換句話說，必須發(fā)現(xiàn)虛數(shù)，因?yàn)樗鼈兪敲枋鲎匀坏闹匾M成部分。