選自《從一到無窮大》

G.伽莫夫著 張卜天譯

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神秘的

現(xiàn)在，我們來做點(diǎn)兒高級(jí)算術(shù)。二二得四，三三得九，四四一十六，五五二十五。因此，四的平方根是二，九的平方根是三，十六的平方根是四，二十五的平方根是五。[1]

但一個(gè)負(fù)數(shù)的平方根會(huì)是什么呢？和這樣的表達(dá)式有什么意義嗎？

如果你試圖以理性的方式來理解這樣的數(shù)，你一定會(huì)得出結(jié)論說，上述表達(dá)式?jīng)]有任何意義。我們可以引用12世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅（Brahmin Bhaskara）的話：“正數(shù)的平方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的平方也是正數(shù)。因此，正數(shù)的平方根有兩個(gè)：一個(gè)正的、一個(gè)負(fù)的。負(fù)數(shù)沒有平方根，因?yàn)樨?fù)數(shù)不是平方數(shù)。”

但數(shù)學(xué)家都是固執(zhí)的人。如果有某個(gè)看上去沒有意義的東西不斷出現(xiàn)在其公式中，他們就會(huì)盡力為其賦予意義。負(fù)數(shù)的平方根顯然持續(xù)出現(xiàn)在各種地方，無論是過去的數(shù)學(xué)家所思考的簡(jiǎn)單算術(shù)問題，還是20世紀(jì)在相對(duì)論框架內(nèi)將時(shí)間和空間統(tǒng)一起來的問題。

最早將負(fù)數(shù)的平方根這個(gè)看似沒有意義的東西寫到公式中的勇士是16世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹（Cardan）。在討論是否有可能將10分成乘積等于40的兩部分時(shí)，卡爾丹表明，雖然這個(gè)問題沒有任何有理解，但如果把答案寫成5+

和5-這兩個(gè)荒謬的表達(dá)式就可以了。[2]

卡爾丹雖然承認(rèn)這兩個(gè)表達(dá)式?jīng)]有意義，是虛構(gòu)和想像的，但還是把它們寫下來了。

如果有人敢把負(fù)數(shù)的平方根寫下來，那么將10分成乘積等于40的兩部分的問題就迎刃而解了，盡管它們是虛構(gòu)的。一旦打破堅(jiān)冰，負(fù)數(shù)的平方根，或如卡爾丹所稱的“虛數(shù)”，就越來越被數(shù)學(xué)家們頻繁使用了，盡管使用時(shí)總是很有保留，并且要找適當(dāng)?shù)慕杩凇?/span>在著名德國(guó)科學(xué)家歐拉1770年出版的代數(shù)著作中，我們看到了對(duì)虛數(shù)的大量運(yùn)用。但作為緩和，他又加上了如下評(píng)論：“所有像、……這樣的表達(dá)式都是不可能的或想像中的數(shù)，因?yàn)樗鼈儽硎镜氖秦?fù)數(shù)的平方根。對(duì)于這類數(shù)，我們也許可以斷言，它們既不是無，也不比無更多或更少。它們純屬虛幻或不可能。”

然而，盡管有這些毀謗和借口，虛數(shù)很快就成了數(shù)學(xué)中像分?jǐn)?shù)或根式一樣無法避免的東西。如果不使用虛數(shù)，幾乎可以說寸步難行。

可以說，虛數(shù)家族代表著實(shí)數(shù)的一個(gè)虛構(gòu)的鏡像。正如我們從基本數(shù)1可以產(chǎn)生所有實(shí)數(shù)，我們也可以把當(dāng)作虛數(shù)的基本數(shù)（通常用符號(hào)i表示），由它產(chǎn)生所有虛數(shù)。

不難看出，

=×=3i, 

=×=0.264…i，等等，

因此每一個(gè)實(shí)數(shù)都有自己的虛數(shù)搭擋。我們還能像卡爾丹起初所做的那樣把實(shí)數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來，組成像這樣的表達(dá)式。這種混合形式通常被稱為復(fù)數(shù)。

闖入數(shù)學(xué)領(lǐng)域之后足足兩個(gè)世紀(jì)，虛數(shù)仍然被一張難以置信的神秘面紗包裹著，直到兩位業(yè)余數(shù)學(xué)家，即挪威的測(cè)量員韋塞爾（Wessel）和巴黎的簿記員阿爾岡（Robot Argand），最終對(duì)虛數(shù)做出了簡(jiǎn)單的幾何解釋。

按照他們的解釋，一個(gè)復(fù)數(shù)，例如3＋4i，可以像在圖10中那樣表示出來，其中3對(duì)應(yīng)著水平距離，4對(duì)應(yīng)著垂直距離。

事實(shí)上，所有實(shí)數(shù)（無論是正是負(fù)）都可以用橫軸上的點(diǎn)來表示，所有純虛數(shù)都可以用縱軸上的點(diǎn)來表示。我們把一個(gè)實(shí)數(shù)（代表橫軸上的一個(gè)點(diǎn)）比如3乘以虛數(shù)單位i，就得到了位于縱軸上的純虛數(shù)3i。因此，一個(gè)數(shù)乘以i，在幾何上等價(jià)于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。（見圖 10）。

圖10

如果把3i再乘以i，則須再旋轉(zhuǎn)90°，結(jié)果又回到了橫軸，不過現(xiàn)在位于負(fù)數(shù)那一邊。因此，

3i × i == -3，

或

= -1。

說“i的平方等于-1”遠(yuǎn)比說“兩次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°便成反向”更容易理解。

當(dāng)然，同樣的規(guī)則也適用于混合的復(fù)數(shù)。把3＋4i乘以i，我們得到

（3 + 4i）i = 3i + 4 = 3i -4 = -4+ 3i。

由圖10立即可以看到，-4 + 3i這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于3 + 4i這個(gè)點(diǎn)圍繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。同樣，由圖 10也可以看出，一個(gè)數(shù)乘以-i不過是它圍繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°罷了。

如果你仍然覺得虛數(shù)蒙有一層神秘的面紗，那就讓我們通過解決一個(gè)虛數(shù)有實(shí)際應(yīng)用的簡(jiǎn)單問題來揭開它吧。

有一個(gè)喜歡冒險(xiǎn)的年輕人，在他曾祖父的遺稿中發(fā)現(xiàn)了一張羊皮紙，上面透露了一個(gè)藏寶地點(diǎn)。它是這樣寫著的：

乘船至北緯    、西經(jīng)    ，[3]即可找到一座荒島。島的北岸有一大片草地，草地上有一顆橡樹和一顆松樹。[4]那里還能看到一個(gè)年代已久的絞架，那是我們?cè)?jīng)用來吊死叛變者的。從絞架走到橡樹，記住走了多少步；到了橡樹之后，向右轉(zhuǎn)個(gè)直角再走這么多步，在那里打個(gè)樁。然后回到絞架朝松樹走，記住所走的步數(shù)。到了松樹之后，向左轉(zhuǎn)個(gè)直角再走這么多步，在那里也打個(gè)樁。在兩個(gè)樁的中間挖掘，即可找到財(cái)寶。

這些指令清楚而明確。于是，這位年輕人租了一條船駛往南太平洋。他找到了這座島，也找到了橡樹和松樹，但讓他大失所望的是，絞架不見了。此時(shí)距離寫下那份遺稿已經(jīng)過去太長(zhǎng)時(shí)間，風(fēng)吹日曬雨淋已使絞架的木頭徹底腐爛，歸于泥土，當(dāng)初所在的位置一點(diǎn)痕跡也沒有留下來。

我們這位愛冒險(xiǎn)的年輕人陷入了絕望。憤怒而狂亂的他開始在地上胡亂挖掘。但這個(gè)島面積太大了，他的所有努力都付諸東流。一無所獲的他只得返航。如今，那財(cái)寶可能還在島上埋著呢！

這是一個(gè)不幸的故事，但更為不幸的是，如果這個(gè)小伙子懂點(diǎn)數(shù)學(xué)，特別是懂得如何運(yùn)用虛數(shù)，他或許能夠找到財(cái)寶。現(xiàn)在讓我們?yōu)樗艺铱?，盡管對(duì)他來說已經(jīng)太晚了。

圖11 用虛數(shù)尋寶

把這個(gè)島看成一個(gè)復(fù)數(shù)平面。過兩樹的根畫出一軸（實(shí)軸），過兩樹的中點(diǎn)作另一軸（虛軸）與實(shí)軸垂直（見圖11）。取兩樹距離的一半作為我們的長(zhǎng)度單位，于是可以說，橡樹位于實(shí)軸上的-1點(diǎn)，松樹位于+1點(diǎn)。我們不知道絞架在哪里，不妨用希臘字母Γ（這個(gè)字母的樣子倒像個(gè)絞架！）來表示它的假設(shè)位置。由于該位置并不一定在兩根軸中的某一軸上，所以應(yīng)把Γ看成一個(gè)復(fù)數(shù)，即 Γ = a + bi。

現(xiàn)在我們來做些簡(jiǎn)單的計(jì)算，別忘了前面講過的虛數(shù)的乘法規(guī)則。如果絞架在Γ，橡樹在－1，則兩者的方位距離為

–1–Γ=–(1＋Γ)。

同樣，絞架與松樹的方位距離為1–Γ。根據(jù)上述規(guī)則，將這兩段距離分別沿順時(shí)針（向右）和逆時(shí)針（向左）旋轉(zhuǎn) 90°，就是把它們分別乘以–i和i，這樣便求出了我們打的兩根樁的位置：

第一根樁：(–i)[–(1＋Γ)] + 1= i(Γ + 1) + 1，

第二根樁：( +i)(1–Γ)－1= i(1–Γ)–1。

由于財(cái)寶在兩根樁的正中間，所以我們應(yīng)求出上述兩個(gè)復(fù)數(shù)之和的一半，即

1/2［i(Γ + 1) + 1 + i(1–Γ)–1］

=1/2  (iΓ + i + 1 + i–iΓ–1)= 1/2(2i) = i。

由此可見，Γ所表示的絞架的未知位置已經(jīng)從我們的運(yùn)算過程中消失了。無論絞架在哪里，財(cái)寶都必定在+i這個(gè)點(diǎn)上。

因此，如果這個(gè)年輕人能做這么一點(diǎn)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，他就無須在整個(gè)島上挖來挖去，而只要在圖11中打×的地方尋找財(cái)寶。

如果你仍然不相信，要找到財(cái)寶完全不需要知道絞架的位置，你可以在一張紙上標(biāo)記出兩棵樹的位置，再為絞架假設(shè)幾個(gè)不同的位置，然后按照羊皮紙上的指令去做。你將總是得到復(fù)數(shù)平面上對(duì)應(yīng)于+i的那個(gè)位置！

通過運(yùn)用-1的平方根這個(gè)虛數(shù)，我們還找到了另一項(xiàng)隱秘的財(cái)寶：我們驚訝地發(fā)現(xiàn)，普通的三維空間能與時(shí)間結(jié)合成受四維幾何學(xué)規(guī)則支配的四維空間。我們將在接下來的某一章討論愛因斯坦的思想和他的相對(duì)論，屆時(shí)會(huì)回到這一發(fā)現(xiàn)。 

選自《從一到無窮大》

G.伽莫夫著 張卜天譯

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[1]其他許多數(shù)的平方根也很容易求出。例如＝2.236…，因?yàn)椋?/span>2.236…）×（2.236…）＝5.000…； ＝2.702…，因?yàn)椋?/span>2.702…）×（ 2.702…）＝7.3000…。

[2]

[3]為保密起見，這里略去了文件上實(shí)際給出的經(jīng)緯度數(shù)字。

[4]出于與前面同樣的理由，這里也改變了樹的名稱。在熱帶的寶島上顯然會(huì)有其他各種樹木。