在人類文明發(fā)展歷史上，“數(shù)的意識”出現(xiàn)具有里程碑的意義。原始人類在與大自然進行斗爭的過程中，漸漸明白“有”和“無”、“大”和“小”、多少等等最基本數(shù)的概念。一旦原始人類掌握這些“數(shù)”，學(xué)會運用這些基本“數(shù)”的概念來解決生活當(dāng)中的問題，就宣告人類開始脫離愚昧。

最初“數(shù)”的形成從自然數(shù)開始，隨著人類社會不斷發(fā)展，簡單的自然數(shù)已經(jīng)無法滿足人類生活生產(chǎn)的需求，出現(xiàn)了整數(shù)、分數(shù)、負數(shù)等等?！皵?shù)”的系統(tǒng)也從簡單的自然數(shù)集擴大到有理數(shù)集、實數(shù)集、復(fù)數(shù)集等等。

我們都知道，在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)是沒有平方根的，這樣我們在解一些方程時候就會顯得“無能為力”。進入高中后，把實數(shù)集擴大到復(fù)數(shù)集，負數(shù)可以有平方根，相應(yīng)問題才得以解決。

什么是復(fù)數(shù)？

我們把形如a+bi（a,b均為實數(shù)）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數(shù)單位。當(dāng)b=0時，就是實數(shù)；當(dāng)b≠0時叫虛數(shù)，當(dāng)a=0，b≠0時，叫做純虛數(shù)。從集合論角度來說，復(fù)數(shù)域是實數(shù)域的代數(shù)閉包，也即任何復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域中總有根。

從這里我們可以看出，從實數(shù)集擴大到復(fù)數(shù)集，最大功勞歸于“虛數(shù)”的出現(xiàn)，就像當(dāng)年無理數(shù)的出現(xiàn)，促成實數(shù)集的完整。不過不管無理數(shù)的出現(xiàn)還是虛數(shù)的出現(xiàn)，一開始都不被世人所接受，甚至遭到排擠，幸好無理數(shù)并非“無理”，虛數(shù)并非“虛無縹緲”，經(jīng)得起時間和空間的考驗。

那么在歷史上是如何引進虛數(shù)？是哪些偉大數(shù)學(xué)家把實數(shù)集擴充到復(fù)數(shù)集？今天我們就要一起來簡單了解一下。 

在公元1世紀時期，希臘數(shù)學(xué)家海倫在解決平頂金字塔不可能問題時候，簡單提到了復(fù)數(shù)方根，這是先有可以考查到最早復(fù)數(shù)有關(guān)的文獻記載。

在1545年，意大利米蘭學(xué)者卡爾達諾在《重要的藝術(shù)》一書中，公布了一元三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當(dāng)公式”?？栠_諾是第一個把負數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成：

盡管他認為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40。

在1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何學(xué)》中使“虛的數(shù)”與“實的數(shù)”相對應(yīng)，這是人類歷史上第一次提出“虛數(shù)”這一名稱，由此虛數(shù)開始流傳起來。

不過，雖然笛卡爾提出虛數(shù)這一概念，一些數(shù)學(xué)家也開始接受虛數(shù)，但對于數(shù)學(xué)界來說還是新事物，加上當(dāng)時沒有成熟知識系統(tǒng)，因此也引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，很多大數(shù)學(xué)家都不承認虛數(shù)。

在1702年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨就曾說到：虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物。

瑞士數(shù)學(xué)家歐拉早期也評價道；虛數(shù)是想象的數(shù)，因為它們所表示的是負數(shù)的平方根。對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻。

笛卡爾

歐拉之所以能成為偉大的數(shù)學(xué)家，也在于他能不斷發(fā)現(xiàn)問題，不斷解決問題，不斷進步。在1777年年，歐拉在《微分公式》一文中第一次用i來表示-1的平方根，首創(chuàng)了用符號i作為虛數(shù)的單位。

在1722年，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了著名的棣莫佛定理。指的是設(shè)兩個復(fù)數(shù)（用三角函數(shù)形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），則：Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]。

棣莫弗定理與瑞士數(shù)學(xué)家歐拉提出的歐拉公式之間有重要聯(lián)系。

在1747年，法國數(shù)學(xué)家達朗貝爾指出，如果按照多項式的四則運算規(guī)則對虛數(shù)進行運算，那么它的結(jié)果總是a+bi的形式（a、b都是實數(shù)）。

在1797年，挪威測量學(xué)家韋塞爾試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，但在當(dāng)時沒有得到學(xué)術(shù)界的重視。

歐拉

直到18世紀末期，復(fù)數(shù)這一概念才慢慢被世人所接受。

在1799年，挪威-丹麥卡斯帕爾·韋塞爾的文章發(fā)表的《Proceedings of the Copenhagen Academy》上，當(dāng)時卡斯帕爾·韋塞爾提出復(fù)數(shù)可看作平面上的一點，同時他又考慮球體，得出四元數(shù)并以此提出完備的球面三角學(xué)理論。以當(dāng)今復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)來看，卡斯帕爾·韋塞爾的理論也是相當(dāng)清楚和完備。

在1806年，德國數(shù)學(xué)家高斯公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個平面上的點來表示。

在直角坐標(biāo)系中，橫軸上取對應(yīng)實數(shù)a的點A，縱軸上取對應(yīng)實數(shù)b的點B，并過這兩點引平行于坐標(biāo)軸的直線，它們的交點C就表示復(fù)數(shù)a＋bi。象這樣，由各點都對應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”，后來又稱“高斯平面”。

在1831年，高斯認為復(fù)數(shù)不夠普及，用實數(shù)組代表復(fù)數(shù)，并建立了復(fù)數(shù)的某些運算，使得復(fù)數(shù)的某些運算也象實數(shù)一樣地“代數(shù)化”。

在1832年，高斯發(fā)表了一篇備忘錄，第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個名詞。同時高斯把卡斯帕爾·韋塞爾觀點再次提出并大力推廣，如將表示平面上同一點的兩種不同方法：直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合。統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，擴展為平面上的點與復(fù)數(shù)一一對應(yīng)。高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間一一對應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法。至此，復(fù)數(shù)的研究開始高速發(fā)展，復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來，更奠定復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)的地位。

高斯

任何一門數(shù)學(xué)分支的發(fā)展和進步，就是一個簡單知識點的形成，靠的不僅僅是幾個數(shù)學(xué)家努力才有今天的成果，還有很多數(shù)學(xué)家默默的付出和奉獻其一生。如復(fù)數(shù)吸引了包括德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺?、德國克羅內(nèi)克、英國數(shù)學(xué)家德·摩根等等在內(nèi)許多著名數(shù)學(xué)家的注意。其中，莫比烏斯發(fā)表了大量有關(guān)復(fù)數(shù)幾何的短文，約翰·彼得·狄利克雷將很多實數(shù)概念，例如素數(shù)，推廣至復(fù)數(shù)，特別是經(jīng)過柯西及阿貝爾的努力，掃除了復(fù)數(shù)使用的最后顧忌。

前后長達幾百年的發(fā)展，經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，從人們懷疑虛數(shù)，到接受虛數(shù)，并證明它并不是靠個人主觀意志想象出來的，而是真實存在的數(shù)。

早期數(shù)的出現(xiàn)，有理數(shù)出現(xiàn)，等等都是伴隨人類與大自然作斗爭，人類的生產(chǎn)生活實踐而產(chǎn)生的。之后無理數(shù)的出現(xiàn)，讓數(shù)學(xué)產(chǎn)生第一次危機，同時也讓數(shù)學(xué)取得重大發(fā)展。

無理數(shù)與有理數(shù)相對，實數(shù)與虛數(shù)相對。實數(shù)有多重要，不管數(shù)學(xué)成績有多差，相信你多多少少總有一些了解。那么復(fù)數(shù)有哪些重要作用？或許很多人就不太清楚。

虛數(shù)的出現(xiàn)，使實數(shù)集擴充到復(fù)數(shù)集領(lǐng)域，實數(shù)域擴大到復(fù)數(shù)域，這直接促進數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，對整個數(shù)學(xué)發(fā)展來說都具有重要的意義。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷進步，數(shù)學(xué)家和科學(xué)家發(fā)展復(fù)數(shù)相關(guān)理論對其他學(xué)科發(fā)展有著重要意義，如為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用；在為解決堤壩滲水的問題起到關(guān)鍵性作用；復(fù)數(shù)理論為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)等等。

書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。讀書學(xué)習(xí)從來沒有捷徑可以走，更何況是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，希望大家從復(fù)數(shù)發(fā)展歷史當(dāng)中能學(xué)習(xí)到，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)講究腳踏實地，勤勤懇懇，同時更不能脫離生活實際，結(jié)合生活例子，才能把數(shù)學(xué)學(xué)的更好。

本文轉(zhuǎn)載自【吳國平數(shù)學(xué)教育】

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