形如的形式在數(shù)學(xué)中被定義為復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，、為任意實數(shù)。

要說復(fù)數(shù)的產(chǎn)生，先從數(shù)的演變史開始說起。

最初，人們從自然界中啟發(fā)，得到了數(shù)字1、2、3……，當(dāng)然還有0，這就是自然數(shù)，來源人們對現(xiàn)實世界的認(rèn)知。

接著，如果1個饅頭要均分給5個人，要怎么分，每人分多少呢？1段樹枝被折成相等的2半，那一半是多少，怎么表示呢？人類為了知識的記錄和文化的傳播，一切從簡，就發(fā)明了分?jǐn)?shù)，當(dāng)然也可以寫成小數(shù)的形式：

=0.2，=0.5，=0.6等等。

到目前為止，來自于人們對現(xiàn)實世界的直觀總結(jié)所建立的數(shù)字表達(dá)，它有明顯的可參照對象、有軌跡可循、看得見、摸得著、想得到，人們后來就認(rèn)為這些都是理所當(dāng)然的，所以就叫它們?yōu)橛欣頂?shù)。即所有可以表示為分?jǐn)?shù)形式的數(shù)都叫有理數(shù)，當(dāng)然自然數(shù)也可以表示為分?jǐn)?shù)=0，=1，=3，=2，=5……。

隨著人類文化的不斷迭代發(fā)展，數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)表示在不斷的豐富，除了 法、-法，根據(jù)類似2 2 2（3個2相加）難道就不能表示為更簡單的形式么？3x2，于是乘法誕生，因為對于3 3 3 3 3 3 3 3這樣的繁瑣的運算，可以用更簡單的表示8x3，so easy！

文化再次不停地迭代，5x5=25，3x3=9，2x2=4，是否完全可以再簡單地表達(dá)？人類總是向著大道至簡的目標(biāo)前進(jìn)，于是5x5==25，2x2==4……，有了平方數(shù)。

人類文化在迭代中不斷地向前狂奔，有些人就腦洞大開了，不對呀！4是2的平方，9是3的平方，16是4的平方，媽呀！也就是說1的平方是1，0的平方是0，那么在平方結(jié)果中，只有0、1、4、9、16、25……會出現(xiàn)，那中間是不是少了很多數(shù)啊，誰的平方是2呢？又誰的平方是3呢？誰的平方是5？……連續(xù)自然數(shù)平方的結(jié)果并不是連續(xù)的自然數(shù)！

好吧，既然誰也不知道？那就給它個定義吧，難道還有數(shù)學(xué)不能描述的世界嗎？數(shù)學(xué)就是為大世界服務(wù)的，必須補上這個漏洞，好嘞，的平方就是2，它表示=2，類似的=3，甚至還有=5等等。

突然感覺不好把握了，那么既然已經(jīng)定義并存在了，它到底是多少??？因為1的平方是1，2的平方是4，的平方是2，所以肯定比2小，也肯定比1大，但是能具體和其他數(shù)比較一下嗎？至少知道大概是多少吧？突然發(fā)現(xiàn)，這已超出當(dāng)時人類的腦洞了，不好理解了。

畢達(dá)哥拉斯（約公元前580至公元前500）是古希臘的大數(shù)學(xué)家。他提出“萬物皆為數(shù)”的觀點：數(shù)的元素就是萬物的元素，世界是由數(shù)組成的，世界上的一切沒有不可以用數(shù)來表示的，數(shù)本身就是世界的秩序。

為了理解，為了客觀形象地認(rèn)識它，就讓現(xiàn)實世界來描述它，在幾何學(xué)中，邊長為1個單位的正方形，其面積很好算，比如邊長為1米的正方形土地面積為1x1=1平方米，那么它的對角線是多少？根據(jù)勾股定理，設(shè)對角線長為，那么 =,即=1 1=2,好了，=，對，那個對角線的長度就是你們要找的的大小。

但是，究竟比1或者2或者任何其他整數(shù)大多少，能給一個大小比例嗎？就像=0.6一樣。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希伯索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形的邊長為1，則對角線的長不是一個像往常一樣講道理的數(shù)，它不是正常數(shù)），它真的沒有辦法用分?jǐn)?shù)來表示，可是它確實存在??！這一不可公度性與畢氏學(xué)派的“萬物皆為數(shù)”（有理數(shù)）的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐，認(rèn)為這將動搖他們在學(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位，于是極力封鎖該發(fā)現(xiàn)的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉(xiāng)，不幸的是，還是遇到了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的門徒，在一條海船上被殘忍地投入了水中殺害。

沒天理啊，沒有道理?。∮谑且粋€沒有道理的數(shù)（無理數(shù)）就這樣出現(xiàn)在了數(shù)學(xué)領(lǐng)域中。歐幾里得（約公元前330年至公元前275年）《幾何原本》中就提出了一種證明是無理數(shù)的經(jīng)典方法。圓周率、以及后來發(fā)現(xiàn)的自然常數(shù)= ……等等都是無理數(shù)。

“萬物皆為數(shù)”如果繼續(xù)有用，那么就得讓數(shù)域繼續(xù)膨脹，于是把無理數(shù)拉進(jìn)隊伍里！有理數(shù)和無理數(shù)合在一起被稱為實數(shù)，為什么叫作實數(shù)，這是因為和虛數(shù)相對應(yīng)的，有實就有虛，好了，就引出來今天的主角，虛數(shù)！

如果說實數(shù)是來源于對自然界數(shù)量的刻畫（英文中標(biāo)量、也叫純量scalar,就是刻畫的意思），有理數(shù)是來源于對比列的刻畫，無理數(shù)是來源于對某種長度的刻畫，那么，虛數(shù)就是人為制造的，是在現(xiàn)實生活中完全找不到實際相應(yīng)背景的，它用英文單詞imaginary來表示，imaginary的英文原意即為虛構(gòu)的、想象的、假象的，簡寫為。

為什么非要假想一個這樣實際不存在的數(shù)呢？因為在當(dāng)時的數(shù)學(xué)公理體系中，時常有以下這樣的現(xiàn)象發(fā)生。

對于1元2次方程=1的解是1和-1，如果是=-1呢？它有解嗎？

數(shù)學(xué)從某種程度上來說，應(yīng)該是對稱的、完美的、無所不包的、沒有漏洞的，我不能無視=-1，好吧，當(dāng)然我們也可以回避它，在數(shù)學(xué)史上，大家就是這么做的，“我為什么要解決這個問題？”，對于此類問題很長時間都沒有需要解決的緊迫性。

一個正數(shù)乘一個正數(shù)為正數(shù)，一個負(fù)數(shù)乘一個負(fù)數(shù)也是正數(shù)，因此，一個數(shù)自乘之后必然為正數(shù)，不管這個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。也正因為如此，古希臘學(xué)者丟番圖雖然知道1元2次方程有2個根，但其中有一個為虛數(shù)時，他寧可認(rèn)為這個方程是不可解的。一直到16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們都普遍認(rèn)可丟番圖這種處理虛數(shù)的辦法，“我們就是無視它！”。

事情的轉(zhuǎn)機是這樣的，人類不僅僅滿足于求2次方程。

16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)（1501至1576）在1545年發(fā)表的《大術(shù)》一書中，公布了3次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當(dāng)公式”，由它奠基了3次方程解的通用公式。

對于3次方程 p q = 0的其中一個解為：

=

比如：- 15- 4 = 0

就會得到= ，對于的出現(xiàn)，按照傳統(tǒng)的認(rèn)識，我們肯定會一臉懵逼，按照以前的定論，這個方程就該無解了，一出現(xiàn)負(fù)數(shù)開平方，就像=-1這樣，我們會認(rèn)為是沒有結(jié)果的，這一頁會被翻過去的。但是如果你把4帶入-15- 4 = 0，你會發(fā)現(xiàn)它是有解的，而且該方程通用解法的另外兩個解公式，也會出現(xiàn)。是公式錯了嗎？也不是啊，當(dāng)沒有出現(xiàn)負(fù)數(shù)開方的時候，依靠公式計算的結(jié)果就是正確的?。?/span>

好吧，那么就讓我們暫且勇敢一點，認(rèn)為是沒有錯誤的，因為=121，我們暫且可以認(rèn)為=11，

因為，按照運算規(guī)則得到的=2 11，

所以得到= =2 2-=4，嗯嗯，結(jié)果很正確。是的，雖然在運算途中出現(xiàn)了，但在結(jié)果里它沒有出現(xiàn)，而且我們得到了正確的結(jié)果。諸如類似這種負(fù)數(shù)開方在很多數(shù)學(xué)運算中都會出現(xiàn)，如果你允許它的存在，繼續(xù)計算下去，它不但不影響結(jié)果的正確性，而且它有助于得到正確的結(jié)果，它已成為諸多數(shù)學(xué)運算得到正確結(jié)果的有效橋梁，說明它很科學(xué)，它的存在很有必要。

既然它是必要的，我們?yōu)槭裁淳筒怀姓J(rèn)它呢，好吧，我們就認(rèn)為=，它是1個虛數(shù)單位，并且規(guī)定= -1,= 1,= -1,但是它實在不是我們現(xiàn)實世界中的所見即所得，所以就給它起了個名字“虛數(shù)”，純粹虛構(gòu)的數(shù)。

每次數(shù)域領(lǐng)地擴(kuò)大的時候，都會沖擊著某些人的靈魂， “虛數(shù)”這個名字本身就代表著最初的偏見。16、17世紀(jì)歐洲大多數(shù)數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)負(fù)數(shù)是數(shù)，帕斯卡（法國數(shù)學(xué)家1623至1662）認(rèn)為從0減去4是純粹的胡扯，還有畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的希伯索斯扔到海里一樣，虛數(shù)的出現(xiàn)還是引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，當(dāng)時很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)，萊布尼茨（德國數(shù)學(xué)家1646至1716）在1702年說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。1633年，笛卡爾（法國數(shù)學(xué)家1596至1650）正式給出了“虛數(shù)”的稱謂，不過他并不承認(rèn)虛數(shù)的存在。牛頓也是如此，他認(rèn)為虛數(shù)并不能夠在他的物理世界中得到意義，所以拒不承認(rèn)虛數(shù)的存在。歐拉（瑞士數(shù)學(xué)家1707至1783）在《代數(shù)指南》中說“所有如、、、之類的表達(dá)式，皆不可能，或者說為虛數(shù)……而在這類數(shù)中，我們可以真正地斷言，它們既非零，非大于零，亦非小于零，這必然使它們成為虛幻的或不可能的”。

好吧，我們來正式地梳理一下“虛數(shù)“的成長史：

拉斐爾.邦貝利（意大利數(shù)學(xué)家1526至1572）在1572年發(fā)表的《代數(shù)學(xué)》中總結(jié)整理了卡當(dāng)《大術(shù)》中的發(fā)現(xiàn)，提出負(fù)數(shù)的平方根很有可能是一種全新類型的數(shù)字，他稱之為“復(fù)雜的數(shù)”，而且他還詳細(xì)的介紹了“復(fù)雜的數(shù)”計算規(guī)則。

法國數(shù)學(xué)家笛卡爾1637年在其《幾何學(xué)》中第一次給出“虛數(shù)”的名稱，并和“實數(shù)”相對應(yīng)。

棣莫弗（法國數(shù)學(xué)家1667至1754）在1722年發(fā)現(xiàn)了著名的和虛數(shù)運算有關(guān)的棣莫弗定理。

達(dá)朗貝爾（法國數(shù)學(xué)家1717至1783）在1747年指出，如果按照多項式的四則運算規(guī)則對虛數(shù)進(jìn)行運算，那么它的結(jié)果總是的形式（、都是實數(shù)）

歐拉在1777年《微分公式》第一次使用符號來表示。

威塞爾（挪威測量學(xué)家1745至1818）在1797年試圖給予這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，然而沒有得到學(xué)術(shù)界的重視。

阿爾岡（德國數(shù)學(xué)家1777至1855）在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法。

即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一條數(shù)軸來表示，但是兩個數(shù)軸是無關(guān)的，在數(shù)學(xué)的平面上，無關(guān)的維度最直觀的表達(dá)就是正交，即把實軸和虛軸正交，橫軸上取全部的實數(shù)的點，縱軸上取全部虛數(shù)的點，那么平面上的其他點，就是表示那個數(shù)既含有實也含有虛的，這下用一個平面就包含了所有的數(shù)系。

高斯在1831年，用實數(shù)組（，）代表復(fù)數(shù)，并建立了復(fù)數(shù)的某些運算，使得復(fù)數(shù)的某些運算也像實數(shù)一樣地“代數(shù)化”。也是他在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個名詞。高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間一一對應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法。

1831年高斯認(rèn)為復(fù)數(shù)不夠普及，次年他發(fā)表了一篇備忘錄，奠定復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)的地位。柯西及阿貝爾的努力，掃除了復(fù)數(shù)使用的最后顧忌，后者更是首位以復(fù)數(shù)研究著名。

至此，復(fù)數(shù)理論比較完整和系統(tǒng)地建立起來。

這個大廈就是復(fù)數(shù)體系，英文為complex number, complex就是復(fù)雜的、復(fù)合的意思，復(fù)數(shù)就是復(fù)合了實數(shù)和虛數(shù)的復(fù)雜數(shù)系，因此可以表示為，是實部，是虛部，和的大小分別是對實部和虛部大小的刻畫，當(dāng)為0時，那就是在實數(shù)域裸奔，當(dāng)為0時，那就是在虛數(shù)域飛翔，所以有實軸和虛軸的平面也可以稱為復(fù)平面，任何一個復(fù)數(shù)也可以表示為有序?qū)崝?shù)對，它們分別表示一個復(fù)數(shù)在實、虛兩個維度的大小。

與純粹的實數(shù)不同，在復(fù)數(shù)集合中有可能不存在大小關(guān)系，也就是說兩個復(fù)數(shù)之間也許不能比較大小。任何量的大小比較都是在1個維度限定下進(jìn)行的，當(dāng)超越1個維度時，量的傳統(tǒng)大小比較將毫無意義?；叵胛覀冏畛醯亩x：數(shù)字是那些能夠由小到大進(jìn)行排列的符號，在這個意義上，復(fù)數(shù)確實不是數(shù)字。這并不意外，在它的定義平面上，它們還有自己的方向?qū)傩?，這也使數(shù)變得越來越抽象了。但是，復(fù)數(shù)集合是強大的，它包含實數(shù)集合，因為只需要在復(fù)數(shù)中令虛數(shù)前面的系數(shù)為0就可以了。

復(fù)數(shù)的存在，保證了n次方程根的完備性，只要允許“真根”（正實根）、“假根”（負(fù)實根）和“虛根”（復(fù)數(shù)根）存在，n次方程將有n個根，一個方程解的數(shù)量與它的次數(shù)相同，這是”代數(shù)基本定理“。

歐拉和高斯用復(fù)數(shù)來解決代數(shù)和數(shù)論。

哈密頓（愛爾蘭數(shù)學(xué)家1805至1865）用復(fù)數(shù)來研究物理，并根據(jù)復(fù)數(shù)發(fā)明四元數(shù)理論。

柯西和高斯設(shè)計了適用于復(fù)數(shù)的微積分，被證明非常強大。

法國數(shù)學(xué)家雅克.哈達(dá)瑪說：“實數(shù)領(lǐng)域中兩個事實之間的最短路徑經(jīng)由復(fù)數(shù)領(lǐng)域“

下面就是數(shù)的進(jìn)化史，不斷有新數(shù)被編進(jìn)隊伍，數(shù)也越來越抽象，但也越來越強大。