運(yùn)算封閉

從某個(gè)非空數(shù)集中任選兩個(gè)元素，選出的這兩個(gè)元素通過某種運(yùn)算后的得數(shù)仍是該數(shù)集中的元素，那么，就說該集合對(duì)于這種運(yùn)算是封閉的。

1、自然數(shù)

自然數(shù)以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)，它幫我們的祖先用數(shù)碼0，1，2，3，4，……進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)。自然數(shù)對(duì)于加法和乘法是封閉的。

但有時(shí)候，祖先為了計(jì)算“欠賬”引入減法運(yùn)算，一旦引入減法運(yùn)算，自然數(shù)域就被“打破”。

怎么辦？自然數(shù)域需要擴(kuò)展。

2、整數(shù)

自然數(shù)加上負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。整數(shù)對(duì)于加法，減法，乘法是封閉的。

整數(shù)對(duì)于減法運(yùn)算封閉，祖先能算“欠賬”了。但隨著生產(chǎn)力水平不斷提高，需要進(jìn)行“比率”的計(jì)算。比如：計(jì)算羊群中公羊占得多，或是母羊占的多，還是小羊羔占比多。計(jì)算“比率”需要引入除法。一旦引入除法，整數(shù)域又被“打破”，又需要擴(kuò)展。

3、有理數(shù)

有理數(shù)是兩個(gè)整數(shù)的比值，例如3/8，并規(guī)定，0也是有理數(shù)。有理數(shù)的小數(shù)部分必然是有限或者無(wú)限循環(huán)的數(shù)。有理數(shù)對(duì)于加法，減法，乘法，除法運(yùn)算都是封閉的。

但是，如果祖先進(jìn)行測(cè)量，又發(fā)現(xiàn)一個(gè)驚人的問題了：有些圖形邊長(zhǎng)是不可能用兩個(gè)整數(shù)得比值準(zhǔn)確測(cè)量的，即不可公度。比如：腰為1的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)。為了測(cè)量，祖先又引入了開方運(yùn)算。有理數(shù)域又被突破了。

4、實(shí)數(shù)

無(wú)理數(shù)：也稱為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。無(wú)理數(shù)不可能寫作兩整數(shù)之比，即不能由一個(gè)比率構(gòu)成的數(shù)字。若硬是把無(wú)理數(shù)寫成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。 有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)對(duì)于加、減、乘、除，都是封閉的。

注意：實(shí)數(shù)對(duì)于開方運(yùn)算不是封閉的。因?yàn)樨?fù)實(shí)數(shù)是不能進(jìn)行開方運(yùn)算的。

虛數(shù)產(chǎn)生

正因?yàn)閷?shí)數(shù)對(duì)開方運(yùn)算的不封閉性，讓數(shù)學(xué)家們想方設(shè)法要建立一個(gè)更大的數(shù)域，確保這個(gè)數(shù)域?qū)﹂_方運(yùn)算也是封閉的。

1545年數(shù)學(xué)家卡丹在《大術(shù)》一書中提出一個(gè)問題：“將10分成兩個(gè)數(shù)，使得兩個(gè)數(shù)的乘積等于40”。即：

一般認(rèn)為，這個(gè)方程沒有解，但是卡丹不甘心，他堅(jiān)持認(rèn)為：如果有一個(gè)數(shù)的平方 -15，假設(shè)這個(gè)數(shù)為x，那么這個(gè)方程就有兩個(gè)解：5+x，5-x。并且這樣的結(jié)果完全符合實(shí)數(shù)的多項(xiàng)式運(yùn)算法則。即：

而要解決一個(gè)數(shù)的平方是-15，本質(zhì)要使得一個(gè)數(shù)的平方是-1。這樣所有負(fù)數(shù)的開方問題就解決了，開方運(yùn)算就是對(duì)于所有數(shù)都是封閉的了。

于是，數(shù)學(xué)家們硬是虛構(gòu)出來(lái)一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做i：

i稱為虛數(shù)單位，并且規(guī)定:實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，原實(shí)數(shù)運(yùn)算律都成立。于是，虛數(shù)就產(chǎn)生了。

虛數(shù)和實(shí)數(shù)統(tǒng)稱為復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)對(duì)于所有的加、減、乘、除、開方運(yùn)算都是封閉的。復(fù)數(shù)是我們高中階段學(xué)習(xí)的最大的數(shù)域。

后來(lái)，復(fù)數(shù)在物理學(xué)，量子力學(xué)，工程學(xué)方面有著非常廣泛的應(yīng)用。

上表體現(xiàn)隨著運(yùn)算的發(fā)展，數(shù)域不斷擴(kuò)展的過程。

數(shù)學(xué)本質(zhì)

由上文，我們發(fā)現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)的本質(zhì)：

1、數(shù)學(xué)本質(zhì)是抽象

數(shù)學(xué)研究的是抽象概念，運(yùn)用的是抽像方法，數(shù)學(xué)的發(fā)展體現(xiàn)為抽象程度的逐漸深入。

虛數(shù)的建立，數(shù)學(xué)家們硬性規(guī)定i的平方等于-1，本質(zhì)上就是一種抽象定義。

2、數(shù)學(xué)本質(zhì)是公理系統(tǒng)

從抽象的定義出發(fā)，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是又一套公理系統(tǒng)，必須做到邏輯自?。〝?shù)域的封閉其實(shí)是自恰的一種體現(xiàn)），能夠進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐茖?dǎo)。

典型的例子是歐氏幾何，它僅僅從五大公理出發(fā)，就推導(dǎo)出了經(jīng)典歐式空間的所有幾何定理。一旦五大公理中有一條被重新改寫，同樣可以進(jìn)行嚴(yán)密邏輯推導(dǎo)后，新的非歐幾何由此產(chǎn)生了。

3、現(xiàn)實(shí)需要與數(shù)學(xué)關(guān)系

需要計(jì)算“欠賬”，引入減法，擴(kuò)展出整數(shù)；需要計(jì)算“比率”，引入除法，擴(kuò)展出有理數(shù)；需要測(cè)量土地，擴(kuò)展出實(shí)數(shù)；為了量子力學(xué)等應(yīng)用的需要，擴(kuò)展出虛數(shù)……

隨著應(yīng)用的高端，數(shù)域也不斷擴(kuò)展，再到后來(lái)，數(shù)學(xué)發(fā)展其實(shí)已經(jīng)超出了人們對(duì)現(xiàn)實(shí)的理解。

最典型的例子就是黎曼幾何，它太抽象了，值到被提出的幾十年后，愛因斯坦為了建立相對(duì)論才找到了黎曼幾何的用武之地。

最后想說：數(shù)學(xué)，絕非枯燥的計(jì)算，抽象出事物本質(zhì)的研究，才是數(shù)學(xué)真正的魅力所在。