一．概念描述

現(xiàn)代數(shù)學(xué)：倒數(shù)是指與一分?jǐn)?shù)有特殊關(guān)系的數(shù)。即乘積是1的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，互稱(chēng)為倒數(shù)。但是零沒(méi)有倒數(shù)。非零任意數(shù)a的倒數(shù)是1/a，非零分?jǐn)?shù)a/b的倒數(shù)是b/a。

小學(xué)數(shù)學(xué)：2007年北京版教材第11冊(cè)的第13頁(yè)這樣闡釋倒數(shù)：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

二．概念解讀

公元前2000多年前，古巴比倫人就用“倒數(shù)表”把除號(hào)表示成六十進(jìn)位制的小數(shù)，通過(guò)乘除數(shù)的倒數(shù)來(lái)做除法。

印度數(shù)學(xué)家馬哈維拉（又名大雄），約850年撰寫(xiě)了《計(jì)算精華》一書(shū)。其中共含9章：①術(shù)語(yǔ)；②算術(shù)運(yùn)算；③與分?jǐn)?shù)有關(guān)的運(yùn)算；④有各種特點(diǎn)的運(yùn)算；⑤與三分律（比例律）有關(guān)的運(yùn)算；⑥混合運(yùn)算；⑦面積計(jì)算；⑧與挖掘有關(guān)的計(jì)算；⑨與影子有關(guān)的計(jì)算。他認(rèn)

識(shí)到一個(gè)分?jǐn)?shù)除以另一個(gè)分?jǐn)?shù)，等于把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒相乘，也就是乘上除數(shù)的倒數(shù)。

(1)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)

找一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，如3/4，把3/4這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置，使原來(lái)的分子做分母、原來(lái)的分母做分子，則這個(gè)分?jǐn)?shù)變?yōu)?/3。3/4是4/3的倒數(shù)，也可以說(shuō)4/3是3/4的倒數(shù)。求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，則要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)。對(duì)于-2/3這樣的，也可以把分子看作-2。

(2)整數(shù)的倒數(shù)

找一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，如12，把12化成分?jǐn)?shù)，即12/1，再把12/1這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置，使原來(lái)的分子做分母、原來(lái)的分母做分子。則這個(gè)分?jǐn)?shù)變?yōu)?/12，而12是1/12的倒數(shù)；也可以說(shuō)1/12是12的倒數(shù)；還有一種說(shuō)法，12和1/12互為倒數(shù)。不過(guò)，0沒(méi)有倒數(shù)，倒數(shù)是其本身的數(shù)是1。

1的倒數(shù)還是1是因?yàn)椋?化成分?jǐn)?shù)1/1，1/1這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置，讓原來(lái)的分子做分母、原來(lái)的分母做分子，則這個(gè)分?jǐn)?shù)變?yōu)?/1。1/1化成整數(shù)還是1，所以1的倒數(shù)還是1。

0沒(méi)有倒數(shù)是因?yàn)椋?化成分?jǐn)?shù)0/1，0/1這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置，讓原來(lái)的分子做分母、原來(lái)的分母做分子，則這個(gè)分?jǐn)?shù)變?yōu)?/0，但因?yàn)槌龜?shù)（分母）不能為0，否則分?jǐn)?shù)無(wú)意義，所以0沒(méi)有倒數(shù)。

(3)小數(shù)的倒數(shù)

①普通算法。

找1個(gè)小數(shù)的倒數(shù)，如0.25，把0.25化成分?jǐn)?shù)，即1/4，再把1/4這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置，讓原來(lái)的分子做分母，原來(lái)的分母做分子，則這個(gè)分?jǐn)?shù)變?yōu)?/1。再把4/1化成整數(shù)，即4，則0.25是4的倒數(shù)，也可以說(shuō)4是0.25的倒數(shù)。

②用1計(jì)算法。

我們也可以用1去除以這個(gè)數(shù)，如0.25，1/0.25等于4，所以0.25的倒數(shù)是4---因?yàn)槌朔e是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。分?jǐn)?shù)、整數(shù)也都適用這個(gè)規(guī)律。

三．教學(xué)建議

“倒數(shù)”這一概念是在分?jǐn)?shù)乘法之后出現(xiàn)的，它雖然和分?jǐn)?shù)乘法沒(méi)有什么直接聯(lián)系，卻為后面的分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)換成分?jǐn)?shù)乘法的教學(xué)起到了鋪路搭橋的關(guān)鍵性作用；同時(shí)也為初中一年級(jí)的有理數(shù)除法統(tǒng)一成有理數(shù)乘法教學(xué)奠定了良好基礎(chǔ)。從這個(gè)意義上講，學(xué)好“倒數(shù)”是學(xué)習(xí)小學(xué)分?jǐn)?shù)除法與初中有理數(shù)除法的必要準(zhǔn)備。

在教學(xué)倒數(shù)時(shí)，教師可以借助學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備，利用他們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中的經(jīng)驗(yàn)積淀和社會(huì)生活中所形成的樸素認(rèn)知（即數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)），讓他們親自參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，而教師要適度收放。

如黃愛(ài)華老師在教學(xué)“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，由學(xué)生熟悉的“找朋友”一次導(dǎo)入，圍繞著“找朋友”，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后再小組里交流，通過(guò)學(xué)生找朋友，從數(shù)中找到內(nèi)在的聯(lián)系。最后匯報(bào)，黃老師從學(xué)生呈現(xiàn)的信息中總結(jié)出乘積為1的互為朋友的兩個(gè)數(shù)為倒數(shù)。第二環(huán)節(jié)：讓學(xué)生自己尋找求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的方法。黃老師追問(wèn)：是不是所有的自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)都有倒數(shù)？如果有，怎樣很快找到一個(gè)數(shù)的倒數(shù)？請(qǐng)進(jìn)一步研究，看看有什么發(fā)現(xiàn)？一系列的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生探究求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的方法。學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和互為倒數(shù)的朋友找到比較簡(jiǎn)潔易懂的求倒數(shù)的方法。在學(xué)生的發(fā)言中，讓學(xué)生理解求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的方法，同時(shí)讓學(xué)生進(jìn)一步在討論中理解“0”這個(gè)數(shù)沒(méi)有倒數(shù)。這樣對(duì)知識(shí)進(jìn)行了勾連，讓學(xué)生理解知識(shí)不是孤立的，要抓住知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系，進(jìn)行舊知識(shí)的遷移。第三環(huán)節(jié)：讓學(xué)生體會(huì)“互為”的意思。黃老師先是根據(jù)學(xué)生的解釋舉出具體例子讓學(xué)生深入理解“互為”的含義，接著總結(jié)了求自然數(shù)、分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的方法，然后讓學(xué)生進(jìn)一步探索求一個(gè)小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的方法。

之后就在這有序的多次收放中，學(xué)生逐步建構(gòu)起求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的完整方法，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律與奧秘：也就是在這有序的收放中，學(xué)生的思維能力得到培養(yǎng)，思維品質(zhì)得到提升。