【原】如何準確理解高中函數(shù)的定義？

數(shù)海碎片 2023-10-15 發(fā)布于湖南

展開全文

這兩天，很多學校高一第一次月考成績出來了，不用問也知道，考試結果不太理想，這是正常的現(xiàn)象。

第一次月考題目比較難，導致學生都考得不太好。

學校這么做有兩點原因，其一是為了給同學們一個下馬威，告訴學生高中的課程不是那么簡單的；其二是讓學生感受平時作業(yè)與考試的難度是有區(qū)別的，課后需要自己花時間鉆研，有些學校的月考題直接上高考難度，難到懷疑人生。

“失敗是成功之母”，希望同學們稍作休整、重拾信心，不能因一次失利而萎靡不振。

因為，我們馬上要面對的是高中數(shù)學的王者——函數(shù)。（進度較快的學校，可能已經(jīng)上到函數(shù)的性質或更后面，但重新認識一遍函數(shù)的定義，對理解函數(shù)有很大幫助）

（一）

高中函數(shù)是很多同學的噩夢，一聽說這個名字，就有點談虎色變，因為很多同學在初中就沒學明白，從心底里畏懼它。

但其實，它沒什么可怕的。

初中沒學明白函數(shù)也不要慌，因為初中考察函數(shù)的方向跑偏了，偏向于考察特殊三角形、四邊形的存在性問題，類似于高中的解析幾何，但到了高中，函數(shù)不會這么考。

所以說，高一新生從學習第三章——函數(shù)的概念與性質開始，每個人又站在同一起跑線上，重新啟航。

就讓我們先從“函數(shù)”這個名字開始說起。

函數(shù)，英文名：function，最初由德國數(shù)學家萊布尼茨在1692年使用，19世紀由清代數(shù)學家李善蘭翻譯外國文獻傳入中國。

為什么取名為“函數(shù)”？

原因是中國古代“函”字與“含”字通用，都有“包含”的意思，函的本義是裝東西的匣子，函數(shù)就是包含、盛裝數(shù)的代號。

所以，取名為“函數(shù)”，相當形象。

高中函數(shù)符號：y=f(x)，f是取function的首字母，代表的含義：在x取不同值時，f(x)也會隨之發(fā)生變化，而不是f與(x)的乘積。

對比一下初、高中函數(shù)的定義，

人教版初二下冊函數(shù)定義

人教A版必修第一冊函數(shù)定義

從兩者定義可以看出，初中函數(shù)強調對應關系的唯一性；而高中函數(shù)，是建立在集合論的基礎之上，強調映射關系，用詞更嚴謹、準確。因此，我們先學完集合，再學函數(shù)，邏輯嚴密。

初中函數(shù)的對應關系包括“一對多”、“多對一”、“一對一”。其中，“一對多”，不能稱之為函數(shù)，這會導致唯一的自變量對應不同的值，會出bug。“多對一”、“一對一”可稱之為函數(shù)，這兩種關系，皆可稱為“映射”，映射是特殊的對應關系。

“多對一”，比如二次函數(shù)

，當x=-2時，函數(shù)值為4；當x=2時，函數(shù)值也為4，多個自變量對應同一個函數(shù)值。

“一對一”，比如一次函數(shù)y=2x，自變量與函數(shù)值一一對應。

那什么關系不能稱為函數(shù)？

“一對多”不行，比如，當x=4時，y=±2，同一個自變量對應有兩個值，這樣的關系不能稱之為函數(shù)。

借助圖像來輔助理解：

（二）

那么，我們該如何理解高中函數(shù)定義中的y=f(x)？

x是自變量，f是對應法則，y是在x確定的情況下所取的值，即為函數(shù)值，或稱為因變量。

特別注意，y=f(x)括號里的x，可以是定值、變量，還可以是函數(shù)。

1、y=f(2)，指的是當x=2時，y的值為多少，取決于是何種對應法則，最終結果是定值。

2、y=f(t)，指的是當x=t時，y的值為多少，最終結果是代數(shù)式。

3、y=f(x+2)，指的是當x=x+2時，y的值為多少，最終結果是代數(shù)式。

4、，指的是當外層括號里時，y的值為多少，最終結果也是代數(shù)式。

每一條的第二個等號，不是等于的意思，其本質是“賦值”，指定它為何值，替換。

我們以函數(shù)為例，

1、y=f(2)，指的是當x=2時，

2、y=f(t)，指的是當x=t時，

3、y=f(x+2)，指的是當x=x+2時，

4、，指的是當外層括號里的時，

重點解釋一下第四點，當括號里x賦值為函數(shù)時，，這一種函數(shù)，我們稱之為復合函數(shù)，或為嵌套函數(shù)，即兩個或兩個以上函數(shù)復合為同一個函數(shù)。

比如:

則：

按正常進度學，需要等高二在選擇性必修第二冊才能見到，但大多數(shù)時候，我們在月考當中就會遇到它們，所以最好提前掌握。

多說一句，...，這一類函數(shù)都可以看成復合函數(shù)，先將括號內的代數(shù)式換元，變?yōu)樾碌淖宰兞縯，找到新元t與舊元x的等量關系，然后全部替換為新元，即可將函數(shù)關系式變得清晰、明了。這也是之后我們求函數(shù)解析式的一種方法。

同理，等函數(shù)都可以這么理解，只不過它們代表的對應法則不同，其它含義都可以照搬。

（三）

y=f(x)還體現(xiàn)函數(shù)三要素：定義域、對應法則、值域。

一、定義域

回到函數(shù)定義，，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域。

二、對應關系

對應關系是函數(shù)的核心，它是對自變量x實施“對應操作”的“程序”，具體表現(xiàn)為函數(shù)的解析式，也說成對應法則。

仍以函數(shù)為例，此種對應關系是自變量的平方加2，即為，等號兩邊括號內的代數(shù)需保持一致。

我們經(jīng)?？吹?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2023/10/1515/273844403_22_20231015035018382.jpeg' data-galleryid="" data-ratio="0.13076923076923078" data-s="300,640" data-type="jpeg" data-w="260" style="width: 212px;height: 28px;" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif">，其中f、g、h代表不同的函數(shù)有不同的對應關系。

如果題目條件只告訴我們y=f(x)，以及函數(shù)滿足的幾點性質，而沒有具體的對應關系，那么，像這樣的函數(shù)我們稱之為抽象函數(shù)。這一類題通常比較難，對抽象思維要求較高。

三、值域

與x相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合。

通常一個函數(shù)的定義域和對應關系確定了，那么，它的值域也就隨之確定。

說到底，高中函數(shù)為什么這么難以理解？