1、函數(shù)的概念：

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y=f(x)，x∈A。

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域。

注意：

如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；

函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式。

（補充）定義域：

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

（3）對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

（4）指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1；

（5）如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合；

（6）指數(shù)為零底不可以等于零； 

（7）實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義。

注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。

2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

注意：

（1）構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))

（2）兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同；②定義域一致 （兩點必須同時具備）

（補充）值域：

（1）函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法，求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域。

（2）應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

3、函數(shù)圖象知識歸納

（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象。

C上每一點的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x，y)，均在C上，即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }。

圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線)，也可能是由與任意平行于Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

（2） 畫法

A. 描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來。

B. 圖象變換法（請參考必修4三角函數(shù)）

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換

（3）作用：

A. 直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；

B. 利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路，提高解題的速度。

C. 發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

4、區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；

（2）無窮區(qū)間；

（3）區(qū)間的數(shù)軸表示。

5、映射

一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A→B”

給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B，且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)。

（1）集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的；

（2）對應(yīng)法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；

（3）對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：

A. 集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;

B. 集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個;

C. 不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

6、常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點

（1）函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；

（2）解析法：必須注明函數(shù)的定義域；

（3）圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；

（4）列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征。

注意：

解析法：便于算出函數(shù)值。

列表法：便于查出函數(shù)值。

圖象法：便于量出函數(shù)值

（補充1）分段函數(shù)：

在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。

分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而是寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況。

（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)；

（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。

（補充二）復(fù)合函數(shù)：

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

注：知識點若與教材有出入，請以教材為準(zhǔn)。