一：集合的含義與表示

1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。 　　把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。

2、集合的中元素的三個特性： 　　

(1)元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。 　　

(2)元素的互異性：一個給定集合中的元素是的，不可重復的。 　　

(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合 　　

3、集合的表示：{…} 　　

(1)用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5} 　　

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。 　　

a、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……} 　　

b、描述法：

①區(qū)間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合。{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

②語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 　　

③Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。 　　

4、集合的分類：　　

(1)有限集：含有有限個元素的集合 　　

(2)無限集：含有無限個元素的集合 　　

(3)空集：不含任何元素的集合 　　

5、元素與集合的關系： 　　

(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：a?A 　　

(2)元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a￠A 　　

注意：

常用數(shù)集及其記法：

非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N 　　

正整數(shù)集N*或N 　　

整數(shù)集Z 　　

有理數(shù)集Q 　　

實數(shù)集R 　　

6、集合間的基本關系 　　

(1).“包含”關系(1)—子集 　　

定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集。 　　

二、函數(shù)的概念 　　

1、函數(shù)的定義：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A---B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x)，x∈A. 　　

(1)其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域; 　　

(2)與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域. 　　

2、函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應法則 　　

3、函數(shù)的表示方法：

(1)解析法：明確函數(shù)的定義域 　　

(2)圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點等等。 　　

(3)列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義域的特征。 　　

4、函數(shù)圖象知識歸納 　　

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上. 　　

(2)畫法：A、描點法：B、圖象變換法：平移變換;伸縮變換;對稱變換，即平移。 　　

(3)函數(shù)圖像平移變換的特點： 　　

1)加左減右——————只對x 　　

2)上減下加——————只對y 　　

3)函數(shù)y=f(x)關于X軸對稱得函數(shù)y=-f(x) 　　

4)函數(shù)y=f(x)關于Y軸對稱得函數(shù)y=f(-x) 　　

5)函數(shù)y=f(x)關于原點對稱得函數(shù)y=-f(-x) 　　

6)函數(shù)y=f(x)將x軸下面圖像翻到x軸上面去，x軸上面圖像不動得，函數(shù)y=|f(x)| 　　

7)函數(shù)y=f(x)先作x≥0的圖像，然后作關于y軸對稱的圖像得函數(shù)f(|x|) 　　

三、函數(shù)的基本性質(zhì) 　　

1、函數(shù)解析式子的求法 ：　　

(1、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域. 　　

(2、求函數(shù)的解析式的主要方法有：1)代入法；2)待定系數(shù)法；3)換元法；4)拼湊法；

2.定義域：

概念：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。 　　

求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是： 　　

(1)分式的分母不等于零; 　　

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零; 　　

(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零; 　　

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. 　　

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合. 　　

(6)指數(shù)為零底不可以等于零， 　　

(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義. 　　

3、相同函數(shù)的判斷方法：

①表達式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關)；

②定義域一致(兩點必須同時具備).

4、區(qū)間的概念：

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間 　　

(2)無窮區(qū)間 　　

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示 　　

5、值域(先考慮其定義域)　

(1)觀察法：直接觀察函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來求函數(shù)的值域; 　　

(2)反表示法：針對分式的類型，把Y關于X的函數(shù)關系式化成X關于Y的函數(shù)關系式，由X的范圍類似求Y的范圍。 　　

(3)配方法：針對二次函數(shù)的類型，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)來確定函數(shù)的值域，注意定義域的范圍。 　　

(4)代換法(換元法)：作變量代換，針對根式的題型，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的類型。 　　

6.分段函數(shù) 　　

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。 　　

(2)各部分的自變量的取值情況. 　　

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集. 　　

(4)常用的分段函數(shù)有取整函數(shù)、符號函數(shù)、含絕對值的函數(shù) 　　

7.映射 ：

概念：一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A---B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f(對應關系)：A(原象)---B(象)” 　　

對于映射f：A→B來說，則應滿足：

(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是的; 　　

(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個; 　　

(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。 　　

注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的，而函數(shù)僅僅是針對數(shù)字來說的。所以函數(shù)是映射，而映射不一定的函數(shù) 　　

8、函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))及最值　　

(1、增減函數(shù) 　　

(1)設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1 　　

(2)如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1 　　

注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種 　　

(2、圖象的特點 ：如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的. 　　

(3、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A)定義法：任取x1，x2∈D，且x1 ，作差f(x1)-f(x2)；變形(通常是因式分解和配方)；定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負)；下結論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性). 　　

(B)圖象法(從圖象上看升降) 　　

(C)復合函數(shù)的單調(diào)性：復合函數(shù)：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數(shù)。 　　

復合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關，其規(guī)律：“同增異減” 　　

注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 　　

9、函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì)) 　　

(1、偶函數(shù) ：一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù). 　　

(2、奇函數(shù)：一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù). 　　

(3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征 ：偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱. 　　

利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟： 　　

a、首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于原點對稱;若是不對稱，則是非奇非偶的函數(shù);若對稱，則進行下面判斷; 　　

b、確定f(-x)與f(x)的關系; 　　

c、作出相應結論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù); 　　

若f(-x)=-f(x)或f(-x) f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù). 　　

(4)利用奇偶函數(shù)的四則運算以及復合函數(shù)的奇偶性 　　

a、在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù); 　　

b、復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇。 　

注意：函數(shù)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.

首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱， 　　

(1)再根據(jù)定義判定; 　　

(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; 　　

(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定. 　　

10、函數(shù)最值及性質(zhì)的應用 　　

(1、函數(shù)的最值 　　

a利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的(小)值 　　

b利用圖象求函數(shù)的(小)值 　　

c利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的(小)值： 　　

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有值f(b)； 　　

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b); 　　

(2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性 　　

奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性; 　　

偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。 　　

(3、判斷含糊單調(diào)性時也可以用作商法，過程與作差法類似，區(qū)別在于作差法是與0作比較，作商法是與1作比較。 　　

(4)絕對值函數(shù)求最值，先分段，再通過各段的單調(diào)性，或圖像求最值。 　　

(5)在判斷函數(shù)的奇偶性時候，若已知是奇函數(shù)可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判斷函數(shù)為奇函數(shù)。(高一階段可以利用奇函數(shù)f(0)=0)。