反函數(shù)一般地，如果x與y關(guān)于某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f（x）相對(duì)應(yīng)，y=f（x），則y=f（x）的反函數(shù)為y= f ‘（x）。存在反函數(shù)的條件是原函數(shù)必須是一一對(duì)應(yīng)的(不一定是整個(gè)數(shù)域內(nèi)的)。
反函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y 的關(guān)系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x= f(y)就表示y是自變量，x是因變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x= f(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作x=f^-1(y). 反函數(shù)y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域.反函數(shù)性質(zhì)?。?）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱； （2）函數(shù)存在反函數(shù)的必要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射； ?。?）一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致； ?。?）大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)（唯一有反函數(shù)的偶函數(shù)是f(x)=a,x∈{0}）。奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。被與y軸垂直的直線截時(shí)能過(guò)2個(gè)及以上點(diǎn)即沒(méi)有反函數(shù)。若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。 (5）一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性； ?。?）反函數(shù)是相互的 ?。?）定義域、值域相反對(duì)應(yīng)法則互逆（三反） (8)原函數(shù)一旦確定，反函數(shù)即確定（三定） 例：y=2x-1的反函數(shù)是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函數(shù)是y=log2 x 例題：求函數(shù)3x-2的反函數(shù) 解：y=3x-2的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 將x,y互換,則所求y=3x-2的反函數(shù)是 y=1/3(x+2)（x屬于R） ?。?1）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系：如果X=F(X）在區(qū)間I上單調(diào)，可導(dǎo)，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函數(shù)Y=F’（X）在區(qū)間S={X|X=F(Y),Y屬于I }內(nèi)也可導(dǎo)，且[F‘（X)]'=1\F’（Y）。反函數(shù)說(shuō)明?、旁诤瘮?shù)x=f’(y)中，y是自變量，x是函數(shù)，但習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示函數(shù)，為此我們常常對(duì)調(diào)函數(shù)x=f‘(y)中的字母x,y，把它改寫(xiě)成y=f’(x)，今后凡無(wú)特別說(shuō)明，函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)都采用這種經(jīng)過(guò)改寫(xiě)的形式?！?/strong> ?、品春瘮?shù)也是函數(shù)，因?yàn)樗虾瘮?shù)的定義. 從反函數(shù)的定義可知，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)y=f(x)來(lái)說(shuō)，不一定有反函數(shù)，若函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f‘(x)，那么函數(shù)y=f’(x)的反函數(shù)就是y=f(x)，這就是說(shuō)，函數(shù)y=f(x)與y=f‘(x)互為反函數(shù)。 ?、菑挠成涞亩x可知，函數(shù)y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數(shù)y=f‘(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數(shù)y=f(x)的定義域正好是它的反函數(shù)y=f’(x)的值域；函數(shù)y=f(x)的值域正好是它的反函數(shù)y=f’(x)的定義域（如下表）： 函數(shù)：y=f(x) 反函數(shù)：y=f’(x) 定義域： A C 值域： C A ⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為： 若確定函數(shù)y=f(x)的映射f是函數(shù)的定義域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所確定的函數(shù)x=f’(x)就叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù). 反函數(shù)x=f‘(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域. 開(kāi)始的兩個(gè)例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數(shù)就可以寫(xiě)為f’(t)=t/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數(shù)為：f‘(x)=x/2-3. 有時(shí)是反函數(shù)需要進(jìn)行分類(lèi)討論，如：f(x)=X+1/X，需將X進(jìn)行分類(lèi)討論：在X大于0時(shí)的情況，X小于0的情況，多是要注意的。一般分?jǐn)?shù)函數(shù)的反函數(shù)的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a反函數(shù)應(yīng)用直接求原函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其反函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域，求反函數(shù)的步驟是這樣的： 1、先求出反函數(shù)的定義域，因?yàn)樵瘮?shù)的值域就是反函數(shù)的定義域； （我們知道函數(shù)的三要素是定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則，所以先求反函數(shù)的定義域是求反函數(shù)的第一步） 2、反解x，也就是用y來(lái)表示x； 3、改寫(xiě)，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x； 4、寫(xiě)出原函數(shù)及其值域?！?/strong> 實(shí)例：y=2x+1（值域：任意實(shí)數(shù)） x=(y+1)/2 y=(x+1)/2（x取任意實(shí)數(shù)） 特別地，形如kx+ky=b的直線方程和任意一個(gè)反比例函數(shù)，它的反函數(shù)都是它本身。 |
|
|
來(lái)自： 葛敉瑞 > 《我的圖書(shū)館》
