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題目?jī)?nèi)容 15．（1）求AF：FD； （2）求證：CE⊥AD； （3）求證：∠ADC=∠BDE． 分析 （1）作CG∥DE交AB于G，交AD于H，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求得AG=GE=EB=13AB，進(jìn)而求得AH=HD，設(shè)AK=BK=1，則CK=1，AC=BC=√2，根據(jù)中位線的性質(zhì)得出CH=2DE-12DE=32DE，F(xiàn)H=32FD，從而求得AFFD=41； 解答  （1）解：作CG∥DE交AB于G，交AD于H，∵CD=BD， ∴BE=EG， ∵AE=2EB， ∴AG=GE=EB=13AB， ∴AH=HD， ∴CH=12AD， 設(shè)AK=BK=1，則CK=1，AC=BC=√2， ∵CG∥DE，CD=BD， ∴CG=2DE， ∵AG=GE， ∴GH=12DE， ∴CH=2DE-12DE=32DE， ∴CHDE=32， ∵CG∥DE， ∴HFFD=CHDE=32， ∴FH=32FD， ∵AH=HD=FH+FD=52FD， ∴AF=AH+FH=4FD， ∴AFFD=41； （2）證明：∵CG∥DE， ∴CFFE=CHDE=32， ∴CFCE=35， ∴CF=35CE， 作CK⊥AB于K， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AK=BK=1， ∵AE=43， ∴EK=43-1=13， ∴CE=√CK2+EK2=√103， ∴CF=35×√103=√105， ∵AC=BC=√2 ∴DC=√22， ∴AD=√AC2+DC2=√102， ∵AFFD=41； ∴AFAD=45， ∴AF=2√105， ∵CF2+AF2=（√105）2+（2√105）2=2=AC2， ∴△ACF是直角三角形， ∴CE⊥AD； （3）證明：由（1）可知A=DH， ∴CH=DH， ∴∠GCD=∠ADC， ∵CG∥DE， ∴∠BDE=∠GCD， ∴∠ADC=∠BDE． 點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)三角形中位線的判定和性質(zhì)，勾股定理以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，作出輔助線，構(gòu)建三角形的中位線是解題的關(guān)鍵． |
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