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在數(shù)學(xué)史上，有人說(shuō)18世紀(jì)是分析學(xué)的世紀(jì)。的確，整個(gè)18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們花了許多精力將微積分應(yīng)用到各個(gè)方面，建立了一個(gè)又一個(gè)本質(zhì)上仍是微積分的分支學(xué)科。但是，微積分初創(chuàng)時(shí)的邏輯缺陷——最廣為人知的當(dāng)屬貝克萊關(guān)于增量o前后矛盾的批評(píng)，并沒有得到解決。微積分的嚴(yán)格化直到19世紀(jì)才完成。尤其是19世紀(jì)后半葉興起了著名的“分析算術(shù)化”運(yùn)動(dòng)，這個(gè)運(yùn)動(dòng)的領(lǐng)袖是偉大的魏爾斯特拉斯。  魏爾斯特拉斯對(duì)分析嚴(yán)格化最重要的貢獻(xiàn)是創(chuàng)造了一整套ε-δ語(yǔ)言、ε-N語(yǔ)言，用這套語(yǔ)言重新建立了微積分體系。具體來(lái)講，重新定義了極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等微積分里的基本概念，取代了曾經(jīng)將微積分嚴(yán)格化向前推進(jìn)了一步的柯西的“無(wú)限趨近”、“要多小有多小”之類的描述性語(yǔ)言。當(dāng)今大學(xué)的微積分或數(shù)學(xué)分析教材，講授的本質(zhì)上就是魏爾斯特拉斯的微積分。 直到今天，仍然有大學(xué)教師主張，由于ε-δ語(yǔ)言、ε-N語(yǔ)言比較抽象，有些大學(xué)新生一時(shí)難以適應(yīng)，不妨先粗略地描述一下極限的概念，就直奔微分、積分運(yùn)算而去，最后再回過(guò)頭來(lái)講解ε-δ語(yǔ)言。在教學(xué)中有些的確是這樣安排進(jìn)度的。然而令人有些驚訝的是，如果我們翻閱上世紀(jì)六七十年代前蘇聯(lián)的中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，一些題目就已經(jīng)要求對(duì)ε-δ語(yǔ)言、ε-N語(yǔ)言有深入的理解了，還要求掌握一些應(yīng)用這套語(yǔ)言的技巧。 本文我們來(lái)一起探討一道1977年在今愛沙尼亞首都塔林舉行的第11屆全蘇聯(lián)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，熟練運(yùn)用ε-N語(yǔ)言才能給出正確的證明。引入題目之前，我們先對(duì)數(shù)列極限的ε-N語(yǔ)言給出一種直觀而通俗的解讀。  分析無(wú)窮數(shù)列{an}。如上圖所示，以實(shí)數(shù)軸上一點(diǎn)a為中心畫出一個(gè)小區(qū)間(a-ε，a+ε)，當(dāng)n大到一定程度，an皆落入小區(qū)間以內(nèi)；若小區(qū)間再小一些，只要n大到更大的程度，an又落入小區(qū)間以內(nèi)。不論小區(qū)間多么小，都是如此。 所以，數(shù)列極限可以這樣定義：對(duì)于數(shù)列{an}，如果有一定數(shù)a，對(duì)于無(wú)論怎樣小的一個(gè)正數(shù)ε，都相應(yīng)地存在一個(gè)正整數(shù)N(ε)（表示它隨ε而變動(dòng)），只要n＞N?，就有|an-a|＜ε，則稱a是數(shù)列{an}的極限，記作  也不難發(fā)現(xiàn)，在(a-ε，a+ε)之外，只能有有限個(gè)an。 這樣的數(shù)列極限的定義用語(yǔ)，稱作ε-N語(yǔ)言。定義函數(shù)極限的ε-δ語(yǔ)言與此類似，不再贅述，微積分教材里都有介紹，讀者不妨參照我們的上述解讀深入地理解一下。  我們要探討的題目是這樣的：  回顧上文數(shù)列極限的定義， 證明：  顯然，直觀的解釋就是，不論ε多么小，一定能找到一個(gè)足夠大的N，只要n≥N，不等式（1）就成立。而證明的關(guān)鍵技巧在于另外引入一個(gè)“更足夠大”的k，使得不等式（2）成立。這當(dāng)然也是能做到的，也符合直觀。 由不等式（1）立得：  ? 所以，只要取m≥N+k，當(dāng)然有m-1≥N，我們可以套用（3）式；不僅如此，若從m-1開始遞減，直到N≥N，我們可以反復(fù)套用（3）式，于是得到如下的不等式鏈：
不等式鏈（4）的最右端從第二項(xiàng)起，仍是一個(gè)有窮數(shù)列，顯然它的和小于以ε為首項(xiàng)、1/2為公比的無(wú)窮數(shù)列：    ? |
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