微積分的誕生，是全部數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大創(chuàng)舉．它曾經(jīng)歷了兩千多年的孕育和準(zhǔn)備階段；隨著十六、十七世紀(jì)歐洲的文藝復(fù)興、產(chǎn)業(yè)革命等一系列社會(huì)改革，社會(huì)生產(chǎn)得到了具大的發(fā)展，從而對(duì)數(shù)學(xué)的需求更加迫切，微積分也應(yīng)運(yùn)而生；經(jīng)過(guò)十八、十九世紀(jì)數(shù)學(xué)家們的努力，使微積分逐步趨于完善，并發(fā)展成為今天具有廣泛應(yīng)用的龐大的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)分支學(xué)科——數(shù)學(xué)分析。
我們?cè)诒緯?shū)中介紹的主要內(nèi)容是：數(shù)學(xué)分析內(nèi)容中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想、蘊(yùn)涵的哲學(xué)思想，數(shù)學(xué)分析內(nèi)容中常用的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)分析中的美學(xué)思想以及在創(chuàng)立微積分的過(guò)程中作出了卓越貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家所采用的思想和方法，
第一部分 數(shù)學(xué)分析內(nèi)容中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想
一、函數(shù)的思想
“用函數(shù)來(lái)思考”是大數(shù)學(xué)家克萊因領(lǐng)導(dǎo)的數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)的口號(hào)。函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的基本概念，也是數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象。函數(shù)的思想，就是運(yùn)用函數(shù)的方法，必要時(shí)引入輔助函數(shù)，將常量視為變量、化靜為動(dòng)、化離散為連續(xù)，將所討論的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題加以解決的一種思想方法。
1．函數(shù)概念的產(chǎn)生與發(fā)展
（1）函數(shù)概念的起源
函數(shù)概念的萌芽，可以追溯到古代對(duì)圖形軌跡的研究，隨著社會(huì)的發(fā)展，人們開(kāi)始逐漸發(fā)現(xiàn)，在所有已經(jīng)建立起來(lái)的數(shù)的運(yùn)算中，某些量之間存在著一種規(guī)律：一個(gè)或幾個(gè)量的變化，會(huì)引起另一個(gè)量的變化，這種從數(shù)學(xué)本身的運(yùn)算中反映出來(lái)的量與量之間的相互依賴(lài)關(guān)系，就是函數(shù)概念的萌芽。在代數(shù)學(xué)的方程理論中，對(duì)不定方程的求解，使得人們對(duì)函數(shù)概念逐步由模糊趨向清晰。
（2）函數(shù)概念的產(chǎn)生
恩格斯指出：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)” 。笛卡兒在1637年出版的《幾何學(xué)》中，第一次涉及到變量，他稱(chēng)為“未知和未定的量”，同時(shí)也引入了函數(shù)的思想。英國(guó)數(shù)學(xué)家格雷果里在1667年給出的函數(shù)的定義，被認(rèn)為是函數(shù)解析定義的開(kāi)始。他在“論圓和雙曲線的求積”中指出：從一些其他量經(jīng)過(guò)一系列代數(shù)運(yùn)算或任何其他可以想象的運(yùn)算而得到的一個(gè)量。這里的運(yùn)算指的是五種代數(shù)運(yùn)算以及求極限運(yùn)算，但這一定義未能引起人們的重視。
一般公認(rèn)最早給出函數(shù)定義的是德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲，他在1673年的一篇手稿中，把任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的幾何量，如切線、法線、點(diǎn)的縱坐標(biāo)都稱(chēng)為函數(shù)；并且強(qiáng)調(diào)這條曲線是由一個(gè)方程式給出的。萊布尼茲又在1692年的論文中，稱(chēng) 冪的 、 、 等為 的冪數(shù)，把冪與函數(shù)看作同義語(yǔ)，以后又用“函數(shù)”表示依賴(lài)于一個(gè)變量的量。
（3）函數(shù)概念的擴(kuò)張
函數(shù)概念被提出后，由于微積分學(xué)的發(fā)展，函數(shù)概念也不斷進(jìn)行擴(kuò)張，日趨深化。致使函數(shù)概念日趨精確化、科學(xué)化。函數(shù)概念在發(fā)展過(guò)程中，大致經(jīng)過(guò)了以下幾個(gè)階段的擴(kuò)張。
第一次擴(kuò)張主要是解析擴(kuò)張，提出了“解析的函數(shù)概念”。瑞士數(shù)學(xué)家約翰．伯努利于1698年給出了函數(shù)新的定義：由變量 和常量用任何方式構(gòu)成的量都可以叫做 的函數(shù)。這里的“任何方式”包括了代數(shù)式子和超越式子。1748年歐拉在《無(wú)窮小分析引論》中給出的函數(shù)定義是：“變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式，它是由這個(gè)變量和一些常量以任何方式組成的”。1734年歐拉還曾引入了函數(shù)符號(hào) ，并區(qū)分了顯函數(shù)和隱函數(shù)、單值函數(shù)和多值函數(shù)、一元函數(shù)和多元函數(shù)等。在十八世紀(jì)占主要地位的觀點(diǎn)是，把函數(shù)理解為一個(gè)解析表達(dá)式(有限或無(wú)限的)。
函數(shù)概念的第二次擴(kuò)張是從幾何方而的擴(kuò)張，提出了“幾何的函數(shù)概念”。十八世紀(jì)中期的一些數(shù)學(xué)家發(fā)展了萊布尼茲將函數(shù)看作幾何量的觀點(diǎn)，而把曲線稱(chēng)為函數(shù)(因?yàn)榻馕霰磉_(dá)式在幾何上表示為曲線)。達(dá)朗貝爾在1746年研究弦振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，提出了用單獨(dú)的解析表達(dá)式給出的曲線是函數(shù)，后來(lái)歐拉發(fā)現(xiàn)有些曲線不一定是由單個(gè)解析式給出的，因此提出了一個(gè)新的定義，函數(shù)是：“ 平面上隨手畫(huà)出來(lái)的曲線所表示的 與 的關(guān)系”。即把函數(shù)定義為由單個(gè)解析式表達(dá)出的連續(xù)函數(shù)，也包括由若干個(gè)解析式表達(dá)出的不連續(xù)函數(shù)（不連續(xù)函數(shù)的名稱(chēng)是由歐拉提出的）。
函數(shù)概念的第三次擴(kuò)張，樸素地反映了函數(shù)中的辯證因素，體現(xiàn)了“自變”到“因變”的生動(dòng)過(guò)程。形成了“科學(xué)函數(shù)定義的雛型”。1775年，歐拉在《微分學(xué)》一書(shū)中，給出了函數(shù)的另一定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴(lài)于另一些變量，即當(dāng)后者變化時(shí)，前者也隨之變化，則稱(chēng)前面的變量為后面變量的函數(shù)”。值得指出的是，這里的“依賴(lài)”、“隨之變化”等等的含義仍不十分確切。這個(gè)定義限制了概念的外延，它只能算函數(shù)概念的科學(xué)雛型。在這次函數(shù)概念的擴(kuò)張中，十九世紀(jì)最杰出的法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在1821年所著的《解析教程》中，給出了如下函數(shù)定義：“在某些變量間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變量的值，其他變量的值也隨之確定，則將最初的變量稱(chēng)為自變量，其他各個(gè)變量稱(chēng)為函數(shù)”。這個(gè)定義把函數(shù)概念與曲線、連續(xù)、解析式等糾纏不清的關(guān)系給予了澄清，也避免了數(shù)學(xué)意義欠嚴(yán)格的“變化”一詞。函數(shù)是用一個(gè)式子或多個(gè)式子表示，甚至是否通過(guò)式子表示都無(wú)關(guān)要緊。
函數(shù)概念的第四次擴(kuò)張，可稱(chēng)為“科學(xué)函數(shù)定義”進(jìn)入精確化階段。德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷于1837年給出了函數(shù)定義：“若對(duì)x(a≤x≤b)的每一個(gè)值，y總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，不管建立起這種對(duì)應(yīng)的法則的方式如何，都稱(chēng)y是x的函數(shù)”。這一定義徹底地拋棄了前面一些定義中解析式的束縛，強(qiáng)調(diào)和突出函數(shù)概念的本質(zhì)，即對(duì)應(yīng)思想，使之具有更加豐富的內(nèi)涵。因而，此定義才真正可以稱(chēng)得上是函數(shù)的科學(xué)定義，為理論研究和實(shí)際應(yīng)用提供了方便。狄利克雷還給出了著名的函數(shù)（人們稱(chēng)為狄利克雷函數(shù)），這個(gè)函數(shù)是難以用簡(jiǎn)單的包含自變量x的解析式表達(dá)的，但按照上述定義的確是一個(gè)函數(shù)。為使函數(shù)概念適用范圍更加廣泛，人們對(duì)函數(shù)定義作了如下補(bǔ)充：“函數(shù)y=f(x)的自變量，可以不必取[a,b]中的一切值，而可以?xún)H取其任一部分”，換句話說(shuō)就是x的取值可以是任意數(shù)集，這個(gè)集合中可以有有限個(gè)數(shù)、也可以有無(wú)限多個(gè)數(shù)，可以是連續(xù)的、也可以是離散的。這樣就使函數(shù)成了一個(gè)非常廣泛的概念。但是，自變量及函數(shù)仍然僅限于數(shù)的范圍，而且也沒(méi)有意識(shí)到“函數(shù)”應(yīng)當(dāng)指對(duì)應(yīng)法則本身。
函數(shù)概念的第五次擴(kuò)張，提出了“近代函數(shù)定義”。出現(xiàn)了美國(guó)數(shù)學(xué)家維布倫的函數(shù)定義，這個(gè)定義是建立在重新定義變量、變域和常量的基礎(chǔ)上的。所謂變量，是代表某集合中任意一個(gè)“元素”的記號(hào)，由變量所表示的任一元素，稱(chēng)為該變量的值。變量x代表的“元素”的集合,為該變量的變域，而常量是上述集合中只包含一個(gè)“元素”情況下的特殊變量。這樣的變量與常量的定義，比原來(lái)的定義更趨一般化了，而且克服了以往變量定義的缺陷，變量“變動(dòng)”改進(jìn)為變量在變域（集合）中代表一個(gè)個(gè)元素。利用這一變量的定義，維布倫給出了近代函數(shù)定義：“設(shè)集合X、Y，如果X中每一個(gè)元素x都有Y中唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么我們就把此對(duì)應(yīng)叫做從集合X到集合Y的映射,記作f：X Y，y=f(x)”。映射的特殊情況，從數(shù)集到數(shù)集的映射就是前面狄利克雷的函數(shù)定義；從“數(shù)集”到“集”僅一字之差，但含意卻大不相同。從而使函數(shù)概念擺脫了數(shù)的束縛，使得函數(shù)概念能廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個(gè)分支及其它學(xué)科中。
函數(shù)概念的第六次擴(kuò)張，提出了“現(xiàn)代函數(shù)定義”。19世紀(jì)康托爾創(chuàng)建了集合論，函數(shù)概念進(jìn)入了集合論的范疇，使函數(shù)概念純粹地使用集合論語(yǔ)言進(jìn)行定義。在這種情形下，函數(shù)、映射又歸結(jié)為一種更為廣泛的概念——關(guān)系?！霸O(shè)集合X、Y，定義X與Y的積集X Y如下：X Y＝{(x，y)|x X，y Y}。積集X Y中的一個(gè)子集R稱(chēng)為X與Y的一個(gè)關(guān)系，若(x，y) R，則稱(chēng)x與y有關(guān)系R,記為xR(y)；若(x，y) R，則稱(chēng)x與y無(wú)關(guān)系R。設(shè) 是x與y的關(guān)系，即 X Y，如果(x，y)、(x，z) ，必有y=z，那么稱(chēng) 為X到Y(jié)的映射或函數(shù)”。這就是現(xiàn)代的函數(shù)定義，它在形式上回避了“對(duì)應(yīng)”術(shù)語(yǔ)，使用的全部是集合論的語(yǔ)言，一掃原來(lái)定義中關(guān)于“對(duì)應(yīng)”的含義存在著的模糊性，而使函數(shù)念更為清晰、正確，應(yīng)用范圍更加廣泛了。
2．函數(shù)概念的本質(zhì)
我們以 為例分析函數(shù)概念的本質(zhì)。
①在抽象出的具體函數(shù)關(guān)系中， 、 的地位與作用是不相同的。因?yàn)榭陀^事物的聯(lián)系在分割開(kāi)來(lái)考察時(shí)，總有確定的因果關(guān)系。在 中， 處于主動(dòng)地位，我們稱(chēng)自變量， 處于被動(dòng)地位，我們稱(chēng)因變量，y與 的關(guān)系是自變量與因變量的關(guān)系，其中自變量處于主動(dòng)地位，因變量處于依從地位，所以自變量的變化處于主導(dǎo)地位。
②y與 之間用等號(hào)連結(jié)，但不是簡(jiǎn)單的數(shù)量上相等的關(guān)系，而是變量y與 之間的等價(jià)關(guān)系。等式左右兩邊y與 都是依賴(lài)于 的，這是同一性；但又包含著不容忽視的差異性：左邊的 我們只知道它依賴(lài)于 ，但按怎樣確定的方式依賴(lài)于 ，并沒(méi)有表達(dá)出來(lái)。馬克思稱(chēng)它為“依賴(lài)于 的函數(shù)”。而右邊的 是直接用 的組合表示出來(lái)的，馬克思稱(chēng)之為“用 表示的函數(shù)”和 （用 表示的函數(shù)）之間的等價(jià)關(guān)系。只有這時(shí)左邊才是右邊數(shù)量的表現(xiàn)。因此函數(shù) 左右兩邊是抽象與具體的統(tǒng)一。左邊的 是抽象的，右邊的 是具體的，因此活動(dòng)的主動(dòng)性在右邊。也就是說(shuō)，對(duì)于研究函數(shù)，我們關(guān)心的是用 表示出來(lái)的具體的依賴(lài)關(guān)系。
③ 反映的是變量與變量之間的關(guān)系。但從式子本身看，我們直接得到的是狀態(tài)間的關(guān)系，其中 與y之間可變性的關(guān)系雖然是變量本身所固有的，但是在關(guān)系式 中卻是隱藏著的。所以函數(shù)關(guān)系是 與y之間明顯的狀態(tài)關(guān)系與隱藏的可變性關(guān)系的統(tǒng)一體，而函數(shù)關(guān)系式揭示明顯狀態(tài)關(guān)系是主要的方面。
根據(jù)以上分析，由第①點(diǎn)，自變量與因變量的主從地位中，自變量處于主導(dǎo)的地位，那么自變量的變化范圍一一定義域與因變量的變化范圍——值域中，值域是由定義域經(jīng)過(guò)函數(shù)關(guān)系所決定的。因此自變量的變化范圍起著主要的決定作用。這表現(xiàn)在數(shù)學(xué)上，將自變量的變化范圍一—定義域，作為函數(shù)的基本要素之一。
由第②點(diǎn)分析的抽象與具體的對(duì)立統(tǒng)一，也就是“依賴(lài)于 的函數(shù)”與“用 表示的函數(shù)”二者的對(duì)立統(tǒng)一。其中“用 表示的函數(shù)”起主導(dǎo)作用。因?yàn)閷?duì)一個(gè)函數(shù)，我們不但要了解y依賴(lài)于 ，而且更重要的是了解y按照怎樣的條件所規(guī)定的關(guān)系依賴(lài)于 。要確定一個(gè)函數(shù)，只抽象地知道y依賴(lài)于 是不夠的，我們的目的在于要知道y怎樣具體地依賴(lài)于 。在數(shù)學(xué)上就是要確定具體的對(duì)應(yīng)法則。所以對(duì)應(yīng)法則是構(gòu)成函數(shù)的另一個(gè)基本要素。
由此可見(jiàn)，函數(shù)的基本要素有兩條：(1)定義域，(2)對(duì)應(yīng)法則。只要這兩條確定了，函數(shù)就完全確定了，抓住了這兩條，就在數(shù)學(xué)上抓住了函數(shù)慨念的本質(zhì)。如， 與 在數(shù)學(xué)上代表完全相同的函數(shù)，因?yàn)樗鼈兊亩x域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同。至于用什么字母表示自變量、因變量并非本質(zhì)問(wèn)題。而 與 是不同的函數(shù)，因?yàn)閷?duì)應(yīng)法則雖然相同，但定義域不同。又如， 與 代表同一個(gè)函數(shù)。因?yàn)閷?duì)應(yīng)關(guān)系是否相同的實(shí)質(zhì)不在于表達(dá)式的形式是否一樣，而在于對(duì)同一個(gè) ，是否對(duì)應(yīng)著相同的y值。 同理 與 ，也代表同一個(gè)函數(shù)。
由第③點(diǎn)，明顯的狀態(tài)關(guān)系與隱藏的可變性關(guān)系中，明顯的狀態(tài)關(guān)系是主要方面，函數(shù)刻劃運(yùn)動(dòng)主要是從狀態(tài)方面來(lái)表現(xiàn)運(yùn)動(dòng)，是從運(yùn)動(dòng)的反面“靜止”來(lái)度量運(yùn)動(dòng)，而要揭示 與 之間的可變性關(guān)系，函數(shù)工具是有局限性的，這是數(shù)學(xué)分析發(fā)展中要進(jìn)一步解決的課題。
3．函數(shù)思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用
（1）以函數(shù)為橋梁，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程、不等式間的轉(zhuǎn)化
①方程與函數(shù)相比，前者是靜止，后者是運(yùn)動(dòng)。方程的根可視為對(duì)應(yīng)函數(shù)在某種特定狀態(tài)下的值。當(dāng)研究方程問(wèn)題時(shí)，特別是證明方程根的存在性與個(gè)數(shù)時(shí)，我們可以從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)，化靜為動(dòng)，這樣往往可以化難為易、化繁為簡(jiǎn)。
②我們?cè)谧C明不等式時(shí)，可以將不等式問(wèn)題化為函數(shù)問(wèn)題，為解決問(wèn)題帶來(lái)方便。
（2）以函數(shù)為背景，實(shí)現(xiàn)函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用
數(shù)列和函數(shù)相比，前者離散，后者連續(xù)。從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)，將數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題，是求數(shù)列問(wèn)題的一種有效方法。
（3）化離散為連續(xù)，解決級(jí)數(shù)問(wèn)題
（4）引入輔助函數(shù)，證明有關(guān)問(wèn)題
二、極限的思想
極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級(jí)數(shù))為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科。
所謂極限的思想，是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問(wèn)題的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。
極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來(lái)定義的。如果要問(wèn)：“數(shù)學(xué)分析是一門(mén)什么學(xué)科?”那么可以概括地說(shuō)：“數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科”。
1.極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展
（1）極限思想的由來(lái).
與一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對(duì)無(wú)限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于間接證法——?dú)w謬法來(lái)完成了有關(guān)的證明。
到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過(guò)程中改進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問(wèn)題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無(wú)意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念的方向”。
　（2）極限思想的發(fā)展
極限思想的進(jìn)一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。16世紀(jì)的歐洲處于資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中大量的問(wèn)題，只用初等數(shù)學(xué)的方法已無(wú)法解決，要求數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用以描述和研究運(yùn)動(dòng)、變化過(guò)程的新工具，這是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積分的社會(huì)背景。
　起初牛頓和萊布尼茨以無(wú)窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，后來(lái)因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變量ΔＳ與時(shí)間的改變量Δｔ之比ΔＳ／Δｔ表示運(yùn)動(dòng)物體的平均速度，讓?duì)ぃ魺o(wú)限趨近于零，得到物體的瞬時(shí)速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)理論。他意識(shí)到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)，他說(shuō)：“兩個(gè)量和量之比，如果在有限時(shí)間內(nèi)不斷趨于相等，且在這一時(shí)間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等”。但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無(wú)法得出極限的嚴(yán)格表述。牛頓所運(yùn)用的極限概念，只是接近于下列直觀性的語(yǔ)言描述：“如果當(dāng)ｎ無(wú)限增大時(shí)，ａｎ無(wú)限地接近于常數(shù)Ａ，那么就說(shuō)ａｎ以Ａ為極限”。
　這種描述性語(yǔ)言，人們?nèi)菀捉邮埽F(xiàn)代一些初等的微積分讀物中還經(jīng)常采用這種定義。但是，這種定義沒(méi)有定量地給出兩個(gè)“無(wú)限過(guò)程”之間的聯(lián)系，不能作為科學(xué)論證的邏輯基礎(chǔ)。
　正因?yàn)楫?dāng)時(shí)缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時(shí)速度概念中，究竟Δｔ是否等于零?如果說(shuō)是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含著它的那些項(xiàng)去掉呢?這就是數(shù)學(xué)史上所說(shuō)的無(wú)窮小悖論。英國(guó)哲學(xué)家、大主教貝克萊對(duì)微積分的攻擊最為激烈，他說(shuō)微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”。
　貝克萊之所以激烈地攻擊微積分，一方面是為宗教服務(wù)，另一方面也由于當(dāng)時(shí)的微積分缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，連牛頓自己也無(wú)法擺脫極限概念中的混亂。這個(gè)事實(shí)表明，弄清極限概念，建立嚴(yán)格的微積分理論基礎(chǔ)，不但是數(shù)學(xué)本身所需要的，而且有著認(rèn)識(shí)論上的重大意義。
　（3）極限思想的完善
　極限思想的完善與微積分的嚴(yán)格化密切聯(lián)系。在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，微積分理論基礎(chǔ)的問(wèn)題，許多人都曾嘗試解決，但都未能如愿以?xún)?。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)的研究對(duì)象已從常量擴(kuò)展到變量，而人們對(duì)變量數(shù)學(xué)特有的規(guī)律還不十分清楚；對(duì)變量數(shù)學(xué)和常量數(shù)學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系還缺乏了解；對(duì)有限和無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系還不明確。這樣，人們使用習(xí)慣了的處理常量數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)思想方法，就不能適應(yīng)變量數(shù)學(xué)的新需要，僅用舊的概念說(shuō)明不了這種“零”與“非零”相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系。
　到了18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，并且都對(duì)極限作出過(guò)各自的定義。其中達(dá)朗貝爾的定義是：“一個(gè)量是另一個(gè)量的極限，假如第二個(gè)量比任意給定的值更為接近第一個(gè)量”，它接近于極限的正確定義；然而，這些人的定義都無(wú)法擺脫對(duì)幾何直觀的依賴(lài)。事情也只能如此，因?yàn)?9世紀(jì)以前的算術(shù)和幾何概念大部分都是建立在幾何量的概念上面的。
　首先用極限概念給出導(dǎo)數(shù)正確定義的是捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾，他把函數(shù)ｆ（ｘ）的導(dǎo)數(shù)定義為差商Δｙ／Δｘ的極限ｆ′（ｘ），他強(qiáng)調(diào)指出ｆ′（ｘ）不是兩個(gè)零的商。波爾查諾的思想是有價(jià)值的，但關(guān)于極限的本質(zhì)他仍未說(shuō)清楚。
　到了19世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了極限概念及其理論，他在《分析教程》中指出：“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值（絕對(duì)值）無(wú)限地減小使之收斂到極限0，就說(shuō)這個(gè)變量成為無(wú)窮小”。
　柯西把無(wú)窮小視為以0為極限的變量，這就澄清了無(wú)窮小“似零非零”的模糊認(rèn)識(shí)，這就是說(shuō)，在變化過(guò)程中，它的值可以是非零，但它變化的趨向是“零”，可以無(wú)限地接近于零。
　柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，作出極限的明確定義，然后去完成牛頓的愿望。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語(yǔ)，如“無(wú)限趨近”、“要多小就多小”等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡，沒(méi)有達(dá)到徹底嚴(yán)密化的程度。
　為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)的定義，給微積分提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。所謂 ａｎ＝Ａ，就是指：“如果對(duì)任何ε＞0，總存在自然數(shù)Ｎ，使得當(dāng)ｎ＞Ｎ時(shí)，不等式｜ａｎ－Ａ｜＜ε恒成立”。
　這個(gè)定義，借助不等式，通過(guò)ε和Ｎ之間的關(guān)系，定量地、具體地刻劃了兩個(gè)“無(wú)限過(guò)程”之間的聯(lián)系。因此，這樣的定義是嚴(yán)格的，可以作為科學(xué)論證的基礎(chǔ)，至今仍在數(shù)學(xué)分析書(shū)籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是數(shù)及其大小關(guān)系，此外只是給定、存在、任取等詞語(yǔ)，已經(jīng)擺脫了“趨近”一詞，不再求助于運(yùn)動(dòng)的直觀。
　眾所周知，常量數(shù)學(xué)靜態(tài)地研究數(shù)學(xué)對(duì)象，自從解析幾何和微積分問(wèn)世以后，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，人們有可能對(duì)物理過(guò)程進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究。之后，維爾斯特拉斯建立的ε－Ｎ語(yǔ)言，則用靜態(tài)的定義刻劃變量的變化趨勢(shì)。這種“靜態(tài)——?jiǎng)討B(tài)——靜態(tài)”的螺旋式的演變，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證規(guī)律。
　2.極限思想的思維功能
　極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無(wú)限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。借助極限思想，人們可以從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”，從直線形認(rèn)識(shí)曲線形，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變，從近似認(rèn)識(shí)精確。
　無(wú)限與有限有本質(zhì)的不同，但二者又有聯(lián)系，無(wú)限是有限的發(fā)展。無(wú)限個(gè)數(shù)的和不是一般的代數(shù)和，把它定義為“部分和”的極限，就是借助于極限的思想方法，從有限來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)限的。
　“變”與“不變”反映了事物運(yùn)動(dòng)變化與相對(duì)靜止兩種不同狀態(tài)，但它們?cè)谝欢l件下又可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是“數(shù)學(xué)科學(xué)的有力杠桿之一”。例如，要求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，用初等方法是無(wú)法解決的，困難在于速度是變量。為此，人們先在小范圍內(nèi)用勻速代替變速，并求其平均速度，把瞬時(shí)速度定義為平均速度的極限，就是借助于極限的思想方法，從“不變”來(lái)認(rèn)識(shí)“變”的。
　曲線形與直線形有著本質(zhì)的差異，但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，正如恩格斯所說(shuō)：“直線和曲線在微分中終于等同起來(lái)了”。善于利用這種對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段之一。直線形的面積容易求得，求曲線形的面積問(wèn)題用初等的方法是不能解決的。劉徽用圓內(nèi)接多邊形逼近圓，一般地，人們用小矩形的面積來(lái)逼近曲邊梯形的面積，都是借助于極限的思想方法，從直線形來(lái)認(rèn)識(shí)曲線形的。
　量變和質(zhì)變既有區(qū)別又有聯(lián)系，兩者之間有著辯證的關(guān)系。量變能引起質(zhì)變，質(zhì)和量的互變規(guī)律是辯證法的基本規(guī)律之一，在數(shù)學(xué)研究工作中起著重要作用。對(duì)任何一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形來(lái)說(shuō)，當(dāng)它邊數(shù)加倍后，得到的還是內(nèi)接正多邊形，是量變而不是質(zhì)變；但是，不斷地讓邊數(shù)加倍，經(jīng)過(guò)無(wú)限過(guò)程之后，多邊形就“變”成圓，多邊形面積便轉(zhuǎn)化為圓面積。這就是借助于極限的思想方法，從量變來(lái)認(rèn)識(shí)質(zhì)變的。
　近似與精確是對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，兩者在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算的重要訣竅。前面所講到的“部分和”、“平均速度”、“圓內(nèi)接正多邊形面積”，分別是相應(yīng)的“無(wú)窮級(jí)數(shù)和”、“瞬時(shí)速度”、“圓面積”的近似值，取極限后就可得到相應(yīng)的精確值。這都是借助于極限的思想方法，從近似來(lái)認(rèn)識(shí)精確的。
3．建立概念的極限思想
極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終。可以說(shuō)數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都離不開(kāi)極限。在幾乎所有的數(shù)學(xué)分析著作中，都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法,然后利用極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。如：
（1）函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)的定義，是當(dāng)自變量的增量 時(shí)，函數(shù)值的增量 趨于零的極限。
（2）函數(shù) 在 點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義，是函數(shù)值的增量 與自變量的增量 之比 ，當(dāng) 時(shí)的極限。
（3）函數(shù) 在 上的定積分的定義，是當(dāng)分割的細(xì)度趨于零時(shí)，積分和式 的極限。
（4）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的斂散性是用部分和數(shù)列 的極限來(lái)定義的。
（5）廣義積分 是定積分 其中 為任意大于 的實(shí)數(shù)）當(dāng) 時(shí)的極限，等等。
4．解決問(wèn)題的極限思想
極限思想方法是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法，也是數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之處。數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題（例如求瞬時(shí)速度、曲線弧長(zhǎng)、曲邊形面積、曲面體體積等問(wèn)題），正是由于它采用了極限的思想方法。
有時(shí)我們要確定某一個(gè)量，首先確定的不是這個(gè)量的本身而是它的近似值，而且所確定的近似值也不僅僅是一個(gè)而是一連串越來(lái)越準(zhǔn)確的近似值；然后通過(guò)考察這一連串近似值的趨向，把那個(gè)量的準(zhǔn)確值確定下來(lái)。這就是運(yùn)用了極限的思想方法。
三、連續(xù)的思想
數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象是函數(shù)，主要是連續(xù)函數(shù)。因此對(duì)函數(shù)連續(xù)性的討論是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要內(nèi)容。我們有必要對(duì)數(shù)學(xué)分析中連續(xù)的思想做深入地探討。
1．連續(xù)思想的產(chǎn)生和發(fā)展
客觀世界的許多現(xiàn)象和事物不僅是運(yùn)動(dòng)變化的，而且其運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程往往是連綿不斷的，這些連綿不斷發(fā)展變化的事物在量的方面的反映就是連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)就是刻畫(huà)變量連續(xù)變化的數(shù)學(xué)模型。
16、17世紀(jì)微積分的醞釀和產(chǎn)生，直接開(kāi)始于對(duì)物體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)的研究。象伽利略所研究的落體運(yùn)動(dòng)、開(kāi)普勒所研究的繞日運(yùn)轉(zhuǎn)的行星所掃描的扇形面積、牛頓所研究的“流”等都是連續(xù)變化的量。這個(gè)時(shí)期以及18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家，雖然已經(jīng)大張旗鼓地研究了連續(xù)變化的量，即連續(xù)函數(shù)，但仍停留在幾何直觀上，把能一筆畫(huà)成的曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)叫做連續(xù)函數(shù)。
直到19世紀(jì)，當(dāng)柯西以及維爾斯特拉斯等數(shù)學(xué)家建立起來(lái)嚴(yán)格的極限理論之后，才對(duì)連續(xù)函數(shù)作出了純數(shù)學(xué)的精確表述。
2．連續(xù)思想的解釋
（1）連續(xù)的直觀含義
連續(xù)的直觀含義就是連綿不斷的，所以一個(gè)函數(shù) 在 上是一個(gè)“連續(xù)函數(shù)”的直觀意義就是它的圖象是一條連綿不斷的曲線。若用函數(shù)值 隨 的值的改變而變動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，就是當(dāng) 逐漸改變時(shí)，函數(shù) 的相應(yīng)變動(dòng)也是逐漸的，不會(huì)有任何突增或突減的跳躍式振蕩。從數(shù)量上來(lái)說(shuō)，逐漸的改變也就是逐步作微小的改變，所以當(dāng)我們把函數(shù)的連續(xù)性局部化到 的鄰域來(lái)看時(shí)， 在 點(diǎn)連續(xù)的直觀意義就是當(dāng) 在 點(diǎn)的鄰域內(nèi)作微小變動(dòng)時(shí)， 的相應(yīng)函數(shù)值也在 的鄰域內(nèi)作微小變動(dòng)。
（2）連續(xù)的精確表述
為研究函數(shù)的連續(xù)，先介紹增量的概念。
設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?，如?#####荊弊員淞看傭ǖ?變到新點(diǎn) 時(shí)，其差稱(chēng)為自變量的改變量或增量，記作 ，自然有 ；對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從 變到 ，其差稱(chēng)為函數(shù)的改變量或增量，記作 或 。由于新點(diǎn) 的改變方向以及 的增減性不同，所以 和 可能為正，也可能為負(fù)。
我們?cè)诹私饬嗽隽康母拍钜院螅柚跇O限給出函數(shù)連續(xù)的四種精確定義：
定義1：設(shè)函數(shù) 在 點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若 ，則稱(chēng)函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)。
定義2：設(shè)函數(shù) 在 點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若 ，則稱(chēng)函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)。
定義3：設(shè)函數(shù) 在 點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若 ，則稱(chēng)函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)。
定義4：設(shè)函數(shù) 在 點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若
，則稱(chēng)函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)。
函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)的特點(diǎn)是：當(dāng)自變量在 點(diǎn)的附近變化很小時(shí)，函數(shù)值 的變化也很小。
從上面的定義可以看出，函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)的充要條件是：
①函數(shù) 在 點(diǎn)有定義
②當(dāng) 時(shí)，左、右極限 和 存在且相等
③左、右極限等于 在 點(diǎn)的函數(shù)值。
若以上三個(gè)條件至少有一個(gè)不成立，則稱(chēng) 在 點(diǎn)間斷。
（3）連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性和在區(qū)間上的連續(xù)性都是一個(gè)局部概念。函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)，意味著 不僅在 點(diǎn)有極限，而且極限等于它的函數(shù)值，從而根據(jù)函數(shù)極限的局部性質(zhì)，可得到連續(xù)函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)。
性質(zhì)1（局部有界性）：若函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù) 在 點(diǎn)的某鄰域 內(nèi)有界。
性質(zhì)2（局部保號(hào)性）：若函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)，且 ,則函數(shù) 在 點(diǎn)的某鄰域 內(nèi)與 同號(hào)，并存在某正數(shù) ，使得 。
性質(zhì)3（四則運(yùn)算法則）：若函數(shù) 、 都在 點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù) 、 、 （這里 ）在 點(diǎn)也連續(xù)。
性質(zhì)4（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）：若函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)， 在點(diǎn) 連續(xù)，且 ，則復(fù)合函數(shù) 在 點(diǎn)也連續(xù)。
性質(zhì)5（反函數(shù)的連續(xù)性）：若函數(shù) 在 上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，則其反函數(shù) 在相應(yīng)的定義域上也連續(xù)。
性質(zhì)6（初等函數(shù)的連續(xù)性）：任何初等函數(shù)在它的定義域上都連續(xù)。
3．連續(xù)思想的應(yīng)用
因?yàn)閿?shù)學(xué)分析的研究對(duì)象主要是連續(xù)函數(shù)，因此數(shù)學(xué)分析中的許多問(wèn)題都是與連續(xù)有關(guān)的。
（1）求連續(xù)變量的極限問(wèn)題
求函數(shù)的極限問(wèn)題是數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容，如果給定的函數(shù)是連續(xù)的，我們應(yīng)用連續(xù)函數(shù)求極限的法則，就可以把求極限的復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值的問(wèn)題，從而大大簡(jiǎn)化了求極限的手續(xù)，我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中遇到的大多數(shù)函數(shù)是具有連續(xù)性的初等函數(shù)。如果給定的函數(shù)不連續(xù)，我們可以通過(guò)整理、化簡(jiǎn)、變換等途徑將其化歸為連續(xù)函數(shù)，再利用上面的方法來(lái)求其極限。
（2）離散問(wèn)題的連續(xù)化處理
（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)討論
我們知道，函數(shù)的連續(xù)性是一個(gè)局部性質(zhì)，對(duì)區(qū)間也不例外。但如果是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，卻能把局部性質(zhì)轉(zhuǎn)化為整體性質(zhì)，象閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、最大最小值性、介值性、根的存在性、一致連續(xù)性等。
（4）連續(xù)與一致連續(xù)的關(guān)系討論
我們分析函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)的關(guān)系
①定義：
②相同點(diǎn)與不同點(diǎn)：
③關(guān)系：
一致連續(xù)與連續(xù)的關(guān)系是：區(qū)間上的一致連續(xù)函數(shù)一定是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，但反之不然。但對(duì)于閉區(qū)間來(lái)說(shuō)，一致連續(xù)與連續(xù)是等價(jià)的。
有些函數(shù)，我們可以借助極限進(jìn)行連續(xù)延拓，使之成為一致連續(xù)。
（5）連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系討論
①定義：
②相同點(diǎn)與不同點(diǎn)：
③關(guān)系：

（6）連續(xù)性與可積性的關(guān)系討論
函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性在討論函數(shù)的可積性中占據(jù)著特別重要的地位。
連續(xù)性與可積性的關(guān)系：
①區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定可積
②區(qū)間上有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的有界函數(shù)也可積
③區(qū)間上有無(wú)限多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的單調(diào)函數(shù)也可積
④區(qū)間上有無(wú)限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的有界函數(shù)（只要間斷點(diǎn)的測(cè)度為0）也可積
四、導(dǎo)數(shù)的思想
1．導(dǎo)數(shù)概念的引入
15世紀(jì)文藝復(fù)興以后的歐洲，資本主義逐漸發(fā)展，采礦冶煉、機(jī)器發(fā)明、商業(yè)交往、槍炮制造、遠(yuǎn)洋航海、天象觀測(cè)等大量實(shí)際問(wèn)題，給數(shù)學(xué)提出了前所未有的亟待解決的新課題。其中有兩類(lèi)問(wèn)題導(dǎo)致了導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生：
（1）求變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度
（2）求曲線上一點(diǎn)處的切線
這兩類(lèi)問(wèn)題都?xì)w結(jié)為變量變化的快慢程度，即變化率問(wèn)題。牛頓從第一個(gè)問(wèn)題出發(fā)，萊
布尼茲從第二個(gè)問(wèn)題出發(fā)，分別給出了導(dǎo)數(shù)的概念。
（1）求變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度
通常人們所說(shuō)的物體的運(yùn)動(dòng)速度，是指物體在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度。例如：一汽車(chē)從甲地出發(fā)到達(dá)乙地，全程120公里，行駛4小時(shí)，則汽車(chē)行駛的平均速度是30公里/小時(shí)。事實(shí)上，汽車(chē)并不是每時(shí)每刻都以30公里每小時(shí)的速度行駛，這是因?yàn)?，下坡時(shí)會(huì)跑得快些，上坡時(shí)會(huì)跑得慢些，也可能中途停車(chē)等等，即汽車(chē)每時(shí)每刻的速度是變化的。一般來(lái)說(shuō)平均速度并不能反映汽車(chē)在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，我們僅僅知道物體運(yùn)動(dòng)的平均速度是不夠的，還要知道物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。例如：研究子彈頭的穿透能力必須知道彈頭接觸目標(biāo)的瞬時(shí)速度。
下當(dāng) 變化時(shí)，平均速度 也隨著發(fā)生變化；當(dāng) 較小時(shí)，平均速度 是物體在時(shí)刻 處“瞬時(shí)速度”的近似值，當(dāng) 越小其近似程度就越好。于是，物體在時(shí)刻 的瞬時(shí)速度就是當(dāng) 無(wú)限趨近于0（ ）時(shí)，平均速度 的極限。即 =
上式既是瞬時(shí)速度的定義，也給出了計(jì)算瞬時(shí)速度的方法。
（2）求曲線上一點(diǎn)處的切線斜率
問(wèn)題：設(shè)有一條平面曲線，它的方程是 ，求過(guò)該曲線上一點(diǎn) （ ）處的切線斜率？
解決方法：要求的切線斜率是一個(gè)未知量，但它并不是一個(gè)孤立的概念，它與已知的割線有著密切的關(guān)系。
為了揭示這一關(guān)系，在此平面曲線上另外任取一點(diǎn) ，
設(shè)它的坐標(biāo)是 ，其中
由解析幾何的知識(shí)：過(guò)曲線 上兩點(diǎn) ， 的割線斜率為 ，當(dāng) 變化時(shí)，點(diǎn) 在曲線上變動(dòng)，割線 的斜率 也在變化。當(dāng) 越來(lái)越小時(shí)，點(diǎn) 沿曲線逐漸趨近于點(diǎn) ，割線 逐漸趨近于過(guò)點(diǎn) 的切線 。
于是，當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) ，割線 極限位置就是過(guò)點(diǎn) 的切線 ，同時(shí) 的斜率 的極限就是切線 的斜率。即
上式給出了切線的定義，也給出了計(jì)算切線斜率的方法。
上述兩個(gè)問(wèn)題的實(shí)際意義完全不同，一個(gè)是物理學(xué)中的瞬時(shí)速度，一個(gè)是幾何學(xué)中的切線斜率。但從數(shù)量關(guān)系來(lái)看，它們有著完全相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)--—函數(shù)的改變量與自變量改變量之比的極限，可歸為同一類(lèi)數(shù)學(xué)運(yùn)算。
即：如果用函數(shù) 來(lái)表示某一現(xiàn)象的變化規(guī)律，則這一類(lèi)型的數(shù)學(xué)運(yùn)算是：
①在 給自變量一個(gè)改變量 ，得到相應(yīng)函數(shù)的改變量 ，
②寫(xiě)出比值 ，
③求出極限 。
2．導(dǎo)數(shù)的定義
（1）設(shè)函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)有定義，在 處自變量 的改變量是 ，相應(yīng)的函數(shù)的改變量是 ，若極限 存在，則稱(chēng)函數(shù) 在 點(diǎn)可導(dǎo)（或存在），此極限稱(chēng)為函數(shù) 在 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（或微商）。記作： 或 ，
即 或
（2）如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱(chēng)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)，函數(shù) 對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的每一個(gè) 值都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) ，則稱(chēng) 為函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)。即
3．導(dǎo)數(shù)定義的理解
（1）導(dǎo)數(shù)是一種特定結(jié)構(gòu)的極限----比式的極限----函數(shù)的改變量與自變量改變量之比的極限。
（2）極限 存在，則稱(chēng)函數(shù) 在 點(diǎn)可導(dǎo)；極限 不存在，則稱(chēng)函數(shù) 在 點(diǎn)不可導(dǎo)。
（3）只有函數(shù) 在 點(diǎn)和 點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義時(shí)，才能考慮函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即導(dǎo)數(shù) 與函數(shù) 在 點(diǎn)及其附近的值有關(guān)。
（4）函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) 是 在 點(diǎn)的局部變化率；函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，是用一點(diǎn)可導(dǎo)來(lái)定義的，因此仍然沒(méi)有改變可導(dǎo)的局部性質(zhì)。
（5）由導(dǎo)數(shù)的定義可推出：函數(shù) 在 點(diǎn)可導(dǎo)必有函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)；但反之不然。因此連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。
（6）導(dǎo)函數(shù) 與一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) 的關(guān)系：導(dǎo)函數(shù) 是 的函數(shù)， 表示導(dǎo)函數(shù) 在 的特定值（函數(shù) 在 的函數(shù)值）。因此，求 的方法可以用定義，也可以先求出 ，再將 代替 中的 ，但不允許先將 中的 代替成 后再求導(dǎo)。
對(duì)分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，我們一般用定義來(lái)求，有時(shí)還要考慮在分段點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)。
4．導(dǎo)數(shù)思想的應(yīng)用
（1）導(dǎo)數(shù)實(shí)際意義的應(yīng)用
①如果物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是 ，則物體在 時(shí)的瞬時(shí)速度是 在 的導(dǎo)數(shù) 。
②如果平面曲線的方程是 ，則曲線在點(diǎn) （ ）的切線斜率 是 在 的導(dǎo)數(shù) 。
（2）微分中值定理及其應(yīng)用
微分中值定理反映了導(dǎo)數(shù)更深刻的性質(zhì)，也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。微分中值定理應(yīng)包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勞中值定理。
在對(duì)微分中值定理的理解和掌握方面要重視以下幾點(diǎn)：
① 微分中值定理的條件和結(jié)論各是什么？
② 當(dāng)微分中值定理的條件不完全滿足時(shí)，結(jié)論是否還成立？
③ 微分中值定理?xiàng)l件和結(jié)論的幾何意義。
④ 中值點(diǎn) 點(diǎn)的存在性、唯一性、可求性討論。
⑤ 微分中值定理證明和應(yīng)用中的輔助函數(shù)構(gòu)造。
⑥ 微分中值定理的作用是聯(lián)系函數(shù)與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的紐帶，是建立函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)關(guān)系的
橋梁。羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理將函數(shù)與其一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行聯(lián)系，泰勞中值定理將函數(shù)與其高階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行聯(lián)系。
微分中值定理的應(yīng)用：
①證明方程根的存在性
例1 若 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)， ，證明在 內(nèi)方程
至少存在一個(gè)根。
證明：令
顯然 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，又
根據(jù)羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn) ，使 ，
即在 內(nèi)方程 至少存在一個(gè)根 。
②證明等式
例2 證明恒等式
證明：設(shè)
當(dāng) 時(shí)，
=
故有 ,令 代入得：
故當(dāng) 時(shí)，
又因?yàn)樯鲜阶蠖说暮瘮?shù)在 左連續(xù)，在 右連續(xù)，分別取極限即知，當(dāng) 和 時(shí)，
上式也成立。故
例3 設(shè) 在 上連續(xù)（ ），在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，
證明 ，其中 在 內(nèi)。
證明：對(duì) 和 在 上應(yīng)用柯西中值定理得：
存在 ，使 ，即
對(duì) 在 上應(yīng)用拉格朗日中值定理得： 使 ，
故
③證明不等式
例4 證明：若 都是可微函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， ，
則當(dāng) 時(shí)，
證明：令 ，由拉格朗日中值定理得： ，（ 。
當(dāng) 時(shí)，由 知 ，即
亦即 ，所以 ………………….（1）
又令 ，由拉格朗日中值定理得： ，（ 。
當(dāng) 時(shí)，由 知 ，即
亦即 ，所以 ……………….（2）
綜合（1）、（2）可得當(dāng) 時(shí)，
④證明函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系
例5 若 在 上具有二階導(dǎo)數(shù)，且 ，證明在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ，使
證明：由泰勞公式
因?yàn)?
取 得 ……………….（1）
取 得 ……………….（2）
由（1）—（2）得：

令 { ， }
則 ，即
例6 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)可微，且 ，則
證明：由于 ，故任給 ，存在 ，當(dāng) 時(shí)有 。
當(dāng) 時(shí)，由拉格朗日中值定理得：
故 。再取 使 ，則當(dāng) 時(shí)，
+
故
⑤研究函數(shù)的性態(tài)
例7 證明可導(dǎo)函數(shù)在其導(dǎo)函數(shù)為正值的區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)
證明：設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上的導(dǎo)數(shù) ， 為 內(nèi)任意兩點(diǎn)，且 ，由 在區(qū)間 上可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理得：
由 的任意性得出， 在區(qū)間 上單調(diào)增加。
（3）導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極限中的應(yīng)用
羅必達(dá)法則是以導(dǎo)數(shù)為工具來(lái)解決不定式極限的常用方法。應(yīng)用羅必達(dá)法則求函數(shù)極限
應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
①應(yīng)用羅必達(dá)法則求函數(shù)的極限，一定要注意法則的條件，缺一不可。
②只有 型和 型不定式的極限才能直接應(yīng)用羅必達(dá)法則，羅必達(dá)法則可連續(xù)使用，但每一步都要檢驗(yàn)定理的條件。
③對(duì)于 型不定式的極限，要通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化為 型或 型不定式的極限后才能應(yīng)用羅必達(dá)法則求解。
常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法有：
對(duì)于 型不定式的極限，可化為分式的形式： 或 ，但要注意，究竟選擇哪一種，要具體問(wèn)題具體分析，一般將相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)拿到分母中去且使分子、分母的函數(shù)分別求導(dǎo)后計(jì)算簡(jiǎn)便為原則。如果選擇錯(cuò)了，可能越做越繁，甚至求不出極限。
對(duì)于 型不定式的極限，若有分母，則用通分的方法，化成 型或 型不定式；若無(wú)分母，一般應(yīng)通過(guò)變形或變量代換使其含有分母，再用通分的方法化成 型或 型不定式。
對(duì)于 型的不定式的極限，一般應(yīng)先取對(duì)數(shù)，化為 型不定式的極限，再用上述方法求解。但要注意，在求得 后，還要求出 的數(shù)值。
④羅必達(dá)法則是求不定式極限的一種有效的方法，但不是萬(wàn)能的方法。對(duì)某些 型或 型不定式的極限，雖然滿足條件，但采用羅必達(dá)法則求解時(shí)不一定能求出極限，這時(shí)羅必達(dá)法則失效，應(yīng)考慮采用別的方法來(lái)求。
（4）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)中的應(yīng)用
① 討論函數(shù)的單調(diào)性
② 求函數(shù)的極值與最值
③ 討論函數(shù)的凸凹性
④ 求函數(shù)的拐點(diǎn)
⑤ 求函數(shù)的漸近線
⑥ 描繪函數(shù)的圖象。
五、微分的思想
1．微分思想的產(chǎn)生和發(fā)展
為求物體運(yùn)動(dòng)的速度、變量變化的極值以及曲線的切線等問(wèn)題，導(dǎo)致了微分思想的產(chǎn)生。
在微分思想的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程中，伽利略的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，費(fèi)爾瑪求切線、求極值的方法以及巴羅把“求切線”與“求積”問(wèn)題作為互逆問(wèn)題的聯(lián)系，都為微分思想奠定了基礎(chǔ)。
17世紀(jì)牛頓明確提出了導(dǎo)數(shù)（增量之比的極限），萊布尼茲嘗試給出了微分的定義。
18世紀(jì)歐拉、柯西、魏爾斯特拉斯等人將微分概念精確化，使得微分的現(xiàn)代形式最終完成。
2．微分思想的解釋
在微分學(xué)中有兩個(gè)基本問(wèn)題：變化率問(wèn)題和增量問(wèn)題。我們知道，函數(shù) 在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù) 表示該函數(shù)在點(diǎn) 處的變化率，它是描述函數(shù)變化性態(tài)的一個(gè)局部概念。
有時(shí)我們需要計(jì)算函數(shù) ，當(dāng)自變量在 處有一個(gè)微小改變量 時(shí)，函數(shù)改變量 的大小。
往往是 的一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)，要精確計(jì)算它是困難的，甚至是不可能的；并且我們?cè)诶碚撗芯亢蛯?shí)際應(yīng)用中，往往只需要了解 的近似值就可以了。因而計(jì)算函數(shù)改變量 的近似值就顯得特別重要。
人們把解決上述問(wèn)題的出路放在將 線性化，用 的線性函數(shù)來(lái)近似代替它，這就是引入微分的基本想法。
具體過(guò)程如下：
設(shè)函數(shù) ，當(dāng)自變量 在 處獲得一增量 時(shí)，函數(shù) 也獲得相應(yīng)的增量 。
一般是 的一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)，記為 。直接計(jì)算 往往很困難，于是希望用 的線性函數(shù) （ 與 無(wú)關(guān)）來(lái)近似代替 ，使對(duì) 的計(jì)算得以簡(jiǎn)化。同時(shí)，又要使產(chǎn)生的誤差與 相比可以忽略不計(jì)。即 （*）
（ 是因變量， 是自變量）一般是曲線，而 = 是直線，因此微分的基本思想就是以直代曲。
又由（*）式成立，可得 ，得 ，
故 ，亦即
上式左端函數(shù)表示的是曲線 ，右端表示的是曲線 在點(diǎn) 處的切線。因此上面提到的以直代曲就是局部地以曲線的切線來(lái)代替該曲線，這就是微分的思想。
我們定義函數(shù) 在 點(diǎn)的微分為：
可見(jiàn)，函數(shù) 在 點(diǎn)的微分有兩個(gè)特點(diǎn)：
①它是自變量增量 的線性函數(shù)，
②它與函數(shù)增量之差： 是比 更高階的無(wú)窮小。
根據(jù)上述兩個(gè)特點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，就可以用微分 來(lái)近似表示增量 ，即 ，當(dāng) 越小，其近似程度就越好。這一近似等式是應(yīng)用微分思想解決近似計(jì)算和誤差估計(jì)等實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)。
微分的幾何意義：函數(shù) 在 點(diǎn)的微分等于曲線 在點(diǎn) 處的切線縱坐標(biāo)的增量。（如圖）
3．導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系與區(qū)別
導(dǎo)數(shù)與微分是微分學(xué)中的兩個(gè)最基本的概念。
它們之間的聯(lián)系與區(qū)別為：
一方面，可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，若求出了函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，再乘以 即得該點(diǎn)的微分；若求出了函數(shù)在一點(diǎn)的微分，再除以 即得該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；因此導(dǎo)數(shù)又叫做微商。
另一方面，從她們的來(lái)源和結(jié)構(gòu)來(lái)看，導(dǎo)數(shù)作為有確定結(jié)構(gòu)的差商的極限，比微分的概念更為基礎(chǔ)；但又由于一個(gè)導(dǎo)數(shù)可以表示為兩個(gè)微分之商，因此在分析運(yùn)算中，微分表現(xiàn)出更大的靈活性與適應(yīng)性。
微分是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具，因?yàn)檠芯亢瘮?shù)的各種問(wèn)題都會(huì)涉及到函數(shù)的增量，而微分是 的線性函數(shù)且微分代替增量的誤差是一個(gè)比 更高階的無(wú)窮?。ɑ蛘哒f(shuō)當(dāng) 時(shí)，微分 與增量 是等價(jià)的無(wú)窮?。?。
4．微分思想的應(yīng)用
函數(shù) 的微分 是計(jì)算函數(shù)改變量 的數(shù)學(xué)模型。微分可用于求函數(shù)改變量 的近似值。即 。微分也可用于計(jì)算函數(shù)值的近似值。即 ，就是計(jì)算函數(shù) 在點(diǎn) 附近點(diǎn) + 處函數(shù)值的近似計(jì)算公式。
例 計(jì)算 的近似值（用兩種解法），并簡(jiǎn)述作近似計(jì)算的原則
解：（法1）
令
則
（法2）
令
則
分析：我們知道 的前5為精確數(shù)值為4.6416
由法1，|4.6416-4.7500|=0.1084
由法2，|4.6416-4.6667|=0.0251
由此可知，為微分方法作近似計(jì)算的原則是：
① 使 易算，②使 ，且盡可能小。
六、積分的思想
1．積分思想的產(chǎn)生與發(fā)展
為了解決求物體運(yùn)動(dòng)的路程、變力作功以及由曲線圍成的面積和由曲面圍成的體積等問(wèn)題，導(dǎo)致了積分的產(chǎn)生。
積分思想源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。古希臘德莫克利特的“數(shù)學(xué)原子論”、阿基米德的“窮竭法”、劉徽的“割圓術(shù)”都是積分思想的雛形，并且用這些方法求出了不少幾何形體的面積和體積；然而這些古代方法都建立在特殊的技巧之上，不具有一般性，也不是以嚴(yán)密的理論為基礎(chǔ)的。
隨著數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，借助于生產(chǎn)力空前發(fā)展的強(qiáng)大推動(dòng)，出現(xiàn)了開(kāi)普勒的“同維無(wú)窮小方法”、卡瓦列利的“不可分量法”、費(fèi)馬的“分割求和方法”，到17 世紀(jì)終于發(fā)生了由量變到質(zhì)變的飛躍。牛頓與萊布尼茲揭示了微分與積分的內(nèi)在聯(lián)系--微積分基本定理，從而產(chǎn)生了威力無(wú)比的微積分，使數(shù)學(xué)從常量數(shù)學(xué)跨入變量數(shù)學(xué)，開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)發(fā)展的新紀(jì)元。
2．積分思想的理解
（1）定積分的定義
設(shè) 是定義在區(qū)間 上的有界函數(shù)，用點(diǎn) 將區(qū)間 任意分成 個(gè)子區(qū)間 （ ），這些子區(qū)間及其長(zhǎng)度均記作 （ ）。在每個(gè)子區(qū)間 上任取一點(diǎn) ，作 個(gè)乘積 的和式 ，
如果當(dāng)最大的子區(qū)間的長(zhǎng)度 時(shí)，和式 的極限存在，并且其極限值與 的分法及 的取法無(wú)關(guān)，則稱(chēng) 在區(qū)間 上可積，此極限值稱(chēng)為 在區(qū)間 上的定積分，記作 ，即 =
（2）定積分是一種新型的極限
定積分是一種特殊的極限，這種極限不同于數(shù)列的極限也不同于函數(shù)的極限。它是一種復(fù)雜的和式的極限，對(duì)于體現(xiàn)自變過(guò)程的變量 的每一個(gè)值，不僅區(qū)間 的分法有無(wú)窮多種，而且對(duì)于每一個(gè)分法，介點(diǎn) 也有無(wú)窮多種取法，因而相應(yīng)的和式 一般有無(wú)窮多個(gè)值。但它仍然有著與數(shù)列極限、函數(shù)極限的本質(zhì)上的相同之處，即當(dāng) 無(wú)限變小時(shí)，相應(yīng)的一切和式 與某一定數(shù) 的距離： 能夠變得并保持任意的小。
（3）定義中對(duì)區(qū)間 無(wú)限細(xì)分的理解
在定積分的定義中，和式 的極限是指在積分區(qū)間 無(wú)限細(xì)分情形下的極限， 是指 （ ）中的最大值趨于0，正是表達(dá)了對(duì)積分區(qū)間 無(wú)限細(xì)分。當(dāng)然，當(dāng)積分區(qū)間 無(wú)限細(xì)分時(shí)，小區(qū)間的個(gè)數(shù) 一定無(wú)限增加，即 ；但反之，當(dāng)小區(qū)間的個(gè)數(shù) 無(wú)限增加，即 時(shí)，并不能保證積分區(qū)間 無(wú)限細(xì)分。
（4）決定可積函數(shù)積分值的因素
函數(shù) 在區(qū)間 上的和式 的值，一般依賴(lài)于四個(gè)因素：函數(shù) 、區(qū)間 、區(qū)間 的分法、 的取法。
但當(dāng) 在區(qū)間 上可積，即 存在時(shí)，則不依賴(lài)于區(qū)間 的分法與 的取法；因此只與函數(shù) 和區(qū)間 兩個(gè)因素有關(guān)。故在可積的條件下，當(dāng)我們用定義來(lái)求某函數(shù)在指定區(qū)間 上的定積分時(shí)，往往可以取一個(gè)特殊的分法（如 等分 ），取 為 內(nèi)的特殊點(diǎn)（如左或右端點(diǎn)）。
因?yàn)槎ǚe分 只與函數(shù) 和區(qū)間 有關(guān)，故與積分變量的字母無(wú)關(guān)，因而 = = 。當(dāng) 、 為常數(shù)時(shí)定積分 是一個(gè)常數(shù)。
（5）定積分可以作為定義函數(shù)的一種新的工具
我們知道連續(xù)函數(shù) 的變上限積分 是 的一個(gè)原函數(shù)，又知道某些函數(shù)的原函數(shù)并不是初等函數(shù)。如橢圓積分 就不是初等函數(shù)，這時(shí)我們就把這個(gè)積分本身，作為此函數(shù)的定義，以此為出發(fā)點(diǎn)來(lái)研究函數(shù)。有時(shí)，積分本身是我們熟悉的函數(shù)也可以這樣做，這既開(kāi)闊了思路，又增加了函數(shù)的一種等價(jià)定義，如我們可以把函數(shù) 作為對(duì)數(shù)函數(shù) 的定義等。
（6）定積分的存在性
在對(duì)積分思想的理解中，還有兩個(gè)問(wèn)題值得考慮：可積的函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足什么條件？滿足什么條件下的函數(shù)一定可積？即什么函數(shù)不可積？什么函數(shù)可積？
下面幾個(gè)結(jié)論回答了這樣的問(wèn)題：
① 可積函數(shù)必有界，有界函數(shù)不一定可積，無(wú)界函數(shù)一定不可積。
② 區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)一定可積
③ 區(qū)間 上的有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)一定可積
④ 區(qū)間 上的單調(diào)函數(shù)一定可積
3．積分思想中的辯證法
定積分作為和式的極限，是解決廣泛的求總量問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。為什么大多數(shù)求總量的問(wèn)題，初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決，而定積分能迎刃而解呢？這是因?yàn)榍蠖ǚe分的方法是辨證的方法，與“總量”一類(lèi)問(wèn)題本身所固有的辨證內(nèi)容相吻合。恩格斯曾指出：“初等數(shù)學(xué)，即常數(shù)的數(shù)學(xué)，是在形式邏輯的范圍內(nèi)活動(dòng)的，至少總的說(shuō)來(lái)是這樣；而變量數(shù)學(xué)，其中最重要的部分是微積分，本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運(yùn)用。而辯證法突破了形式邏輯的狹隘界限，所以它包含著更廣的世界觀的萌芽?！?
（1）初等數(shù)學(xué)不能解決的求總量的問(wèn)題包含著初等數(shù)學(xué)不能解決的“變與不變”的矛盾。但在局部范圍內(nèi)“變與不變”這種相互矛盾的雙方又可以統(tǒng)一，從而可以通過(guò)化整為零，在局部范圍內(nèi)用初等數(shù)學(xué)的方法求出部分量的近似值，再把這 個(gè)部分量的近似值用初等數(shù)學(xué)的方法加起來(lái)，便得到總量的近似值，我們必須對(duì)總量無(wú)限細(xì)分（即當(dāng) ，同時(shí) ）時(shí)，總量的近似值才能轉(zhuǎn)化為總量的精確值。可見(jiàn)求定積分的過(guò)程體現(xiàn)了整體與局部、總量與部分量、變與不變、近似與精確、量變與質(zhì)變等矛盾的對(duì)立統(tǒng)一。
（2）求定積分的過(guò)程一般分為四步：第一步，將初等數(shù)學(xué)不能計(jì)算的總量 任意“分割”成 個(gè)部分量 ；第二步，在局部范圍 上通過(guò)“以不變代變”，用初等數(shù)學(xué)中的乘法求出部分量 的近似值 ；第三步，用初等數(shù)學(xué)中的有限項(xiàng)加法求和式 ，得到總量 的近似值；第四步，通過(guò)“取極限”，將總量的近似值轉(zhuǎn)化為總量的精確值，即
在求定積分的過(guò)程中，我們使用了超越初等數(shù)學(xué)的新運(yùn)算，對(duì)和式 取極限，對(duì)和式取極限就是進(jìn)行無(wú)限項(xiàng)相加，這是初等數(shù)學(xué)所不能勝任的。由于 ，同時(shí) 時(shí)，一方面，使和式 中的每一個(gè)積分元素 轉(zhuǎn)化為總量 的微分 ， 相對(duì)于 趨于消失。這是對(duì)總量 的否定，這一次否定是在保持函數(shù)關(guān)系 不變的條件下進(jìn)行的，否定的結(jié)果，得出了 。另一方面通過(guò)積分，使有限項(xiàng)相加轉(zhuǎn)化為無(wú)限項(xiàng)相加，即求無(wú)窮多個(gè)微分之和，這又是對(duì)微分 的否定，這一次否定是在保持求和 的條件下進(jìn)行的，否定的結(jié)果，得出了總量 ，即定積分 ?？梢?jiàn)求定積分的過(guò)程體現(xiàn)了否定之否定的思想。
由以上分析可以知道，定積分是微分的無(wú)限積累，或者說(shuō)定積分是無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量之和。符號(hào) 的意思是求和，萊布尼茲將“和”（summa）的頭一個(gè)字母s拉長(zhǎng)，并附之以上、下限 和 ，用于表示對(duì)微分 在區(qū)間 上的無(wú)限累加。
4．不定積分與定積分的比較
從定義的泛指而言，一個(gè)定義在 上的函數(shù) 的不定積分是其原函數(shù)的一般表達(dá)式，而 在 上的定積分是Riemann和 的極限。
不定積分與定積分是完全不同的兩個(gè)概念，函數(shù)在所討論區(qū)間上的Riemann和的極限的存在性不取決于該函數(shù)的不定積分的存在性，函數(shù)在所討論區(qū)間上的不定積分的存在性也不取決于該函數(shù)的Riemann和的極限的存在性。
具體討論如下：
（1）函數(shù)可積不一定該函數(shù)存在原函數(shù)
由微積分基本定理，我們知道，當(dāng) 在 上可積時(shí)，對(duì)于任意的 ，函數(shù) 必在 上連續(xù)。
但函數(shù)連續(xù)只是可導(dǎo)的必要條件，而非充分條件。因此 未必可導(dǎo)，即 不一定是 的原函數(shù)。如 只有一個(gè)間斷點(diǎn)，所以在任何區(qū)間上都可積，然而對(duì)于任意的 ， 在 點(diǎn)不可導(dǎo)。因此 在包含原點(diǎn)的任何區(qū)間上都沒(méi)有原函數(shù)。
（2）函數(shù)有原函數(shù)但該函數(shù)不一定可積
例如，函數(shù) ，易知 在閉區(qū)間 上各點(diǎn)都可導(dǎo)，且 ，即 在閉區(qū)間 上有原函數(shù) 。但由于 在閉區(qū)間 上有無(wú)界點(diǎn) ，故 在 上不可積。
（3）不定積分與定積分可以相互轉(zhuǎn)化
在一定的條件下，不定積分與定積分是有聯(lián)系并且可以相互轉(zhuǎn)化的。這里所說(shuō)的條件，就是函數(shù)在所討論的區(qū)間上連續(xù)。即：函數(shù)連續(xù)是該函數(shù)既有原函數(shù)又可積的充分條件
因?yàn)?，?在 上連續(xù)，則由微積分基本定理知，對(duì)于任意的 ， 為 的一個(gè)原函數(shù)；又由可積函數(shù)類(lèi)知， 在 上是可積的。
（4）函數(shù)的連續(xù)性不是該函數(shù)存在原函數(shù)的必要條件
例如，函數(shù) 與
當(dāng) 時(shí)有 ，即 在 上是 的原函數(shù)。
但由于

因此，當(dāng) 時(shí)， 在 上是 的原函數(shù)； 當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在 上不連續(xù)（ 為間斷點(diǎn)），但當(dāng) 時(shí)， 卻仍有原函數(shù)。
5．定積分的應(yīng)用
(1) 用微元法來(lái)建立所求量的積分表達(dá)式
在定積分的應(yīng)用中，經(jīng)常采用微元法來(lái)建立所求量的積分表達(dá)式。
如果某實(shí)際問(wèn)題中的所求量 符合下列條件：① 是一個(gè)與變量 的變化區(qū)間 有關(guān)的量。② 對(duì)于區(qū)間 具有可加性，即如果把區(qū)間 分成許多部分區(qū)間，那么 是對(duì)應(yīng)于各部分區(qū)間上的那些部分量 的和。③部分量 可以近似地等于 。
一般地，采用微元法寫(xiě)出 的積分表達(dá)式的步驟如下：
1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，選取一個(gè)變量，例如 ，作為積分變量，并確定它的積分區(qū)間
2）把區(qū)間 分成許多小區(qū)間，在具有代表性的小區(qū)間 上，求出相應(yīng)的部分量 的近似值，如果 可以近似地表示成 的函數(shù) 與 的乘積，并且 與 僅相差一個(gè)比 高階的無(wú)窮小量，就把 叫做量 的微元，記做 ，即 =
3）以所求量 的微元 作為被積表達(dá)式，在區(qū)間 上積分得 。這就是所求量 的積分表達(dá)式。
例 求由曲線 、直線 及 軸所圍成的曲邊梯形繞 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積
解：在 的變化范圍 內(nèi)任取相鄰兩點(diǎn) 和 ，
過(guò)這兩點(diǎn)作 軸的垂面將旋轉(zhuǎn)體截割出一個(gè)厚度為 的薄片，
那么以 為半徑的圓作為底面、 作高的薄圓柱的
體積即為旋轉(zhuǎn)體的體積微元 ，即 。
于是旋轉(zhuǎn)體的體積為
（2）定積分的幾何應(yīng)用與物理應(yīng)用
① 求平面圖形的面積，②求已知截面面積的立體的體積，③求旋轉(zhuǎn)體的體積，④求曲
線的弧長(zhǎng)，⑤求旋轉(zhuǎn)曲面的面積，⑥求變力所作的功等等。
七、級(jí)數(shù)的思想
1．級(jí)數(shù)理論的意義
級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分。是研究函數(shù)的重要工具，級(jí)數(shù)是產(chǎn)生新函數(shù)的重要方法，同時(shí)又是對(duì)已知函數(shù)表示、逼近的有效方法，在近似計(jì)算中發(fā)揮著重要作用。
我們?cè)诮⒍ǚe分概念的同時(shí)，引入變上限積分定義出了一類(lèi)新函數(shù)，使我們認(rèn)識(shí)到除了初等函數(shù)之外的函數(shù)類(lèi)；有了級(jí)數(shù)理論后，使我們的眼界進(jìn)一步開(kāi)闊了，認(rèn)識(shí)到了更廣泛的非初等函數(shù)類(lèi)型。
級(jí)數(shù)理論的功能并不僅僅在于引進(jìn)非初等函數(shù)，更重要的是給出了研究這些函數(shù)的有效方法，而且即使是初等函數(shù)，給出了它們的級(jí)數(shù)形式，有時(shí)會(huì)更便于研究它們的性質(zhì)。
我們知道，泰勞公式是用有限項(xiàng)的多項(xiàng)式近似表示函數(shù)，它對(duì)于研究函數(shù)的局部逼近和整體逼近有著重要意義，在此基礎(chǔ)上和一定的條件下，我們可以用無(wú)窮多項(xiàng)的多項(xiàng)式來(lái)準(zhǔn)確地表示一個(gè)函數(shù)，這就是冪級(jí)數(shù)。利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，對(duì)研究函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算都有著非常重要的作用。
當(dāng)然，能表示成冪級(jí)數(shù)的函數(shù)必須具備任意階可微的條件，這對(duì)于有些性質(zhì)較差的函數(shù)（如分段函數(shù)），我們就不能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，此時(shí)付立葉級(jí)數(shù)卻能滿足這樣的函數(shù)的展開(kāi)。
級(jí)數(shù)理論的基礎(chǔ)仍然是極限，級(jí)數(shù)是一個(gè)無(wú)限求和的過(guò)程，它與有限求和有著根本的不同，即參與了極限運(yùn)算，把極限及其運(yùn)算性質(zhì)移植到級(jí)數(shù)中去，就形成了級(jí)數(shù)的一些獨(dú)特性質(zhì)。
級(jí)數(shù)理論的第一個(gè)重要概念是收斂性。此外，級(jí)數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性、一致收斂級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)、函數(shù)的付立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)都是級(jí)數(shù)理論的基本內(nèi)容。
2．?dāng)?shù)列與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系
數(shù)列 逐項(xiàng)累加起來(lái)的式子 稱(chēng)為級(jí)數(shù)?；蛘哒f(shuō)，數(shù)列 逐項(xiàng)累加的極限形式稱(chēng)為級(jí)數(shù)。
若定義級(jí)數(shù)的前 項(xiàng)部分和為 ，則逐項(xiàng)累加的極限 如果存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù) 收斂，否則稱(chēng)為發(fā)散。
數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是用部分和數(shù)列 的斂散性來(lái)定義的。所以數(shù)列極限的理論移植過(guò)來(lái)，就可以建立數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般理論。
由于級(jí)數(shù)是在有限項(xiàng)相加的基礎(chǔ)上施行的極限運(yùn)算，從而確切地定義了無(wú)限項(xiàng)相加，形成了這種特殊的形式，所以它有著比數(shù)列極限更獨(dú)特的性質(zhì)和意義。
下面我們討論數(shù)列與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系：
（1）數(shù)列 收斂，級(jí)數(shù) 不一定收斂；反之，級(jí)數(shù) 發(fā)散，數(shù)列 不一定發(fā)散。
如，數(shù)列 收斂，但級(jí)數(shù) 發(fā)散。又如，級(jí)數(shù) 發(fā)散，但數(shù)列 收斂。
（2）若級(jí)數(shù) 收斂，則數(shù)列 也收斂，且
例1 證明
證明：考慮級(jí)數(shù) ，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的達(dá)朗貝爾判別法可判斷出，該級(jí)數(shù)收斂。故由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知：
（3）數(shù)列 收斂與級(jí)數(shù) 具有相同的斂散性
例2 證明數(shù)列 收斂
證明：我們只需證明級(jí)數(shù) = 收斂即可。
由 知，該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。又由 ，
故由比較判別法知此級(jí)數(shù)收斂，從而數(shù)列 收斂
3．函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的作用
如果我們把有限個(gè)函數(shù)相加稱(chēng)為有限和，那么函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就可稱(chēng)為無(wú)限和，在有限和的情形下，連續(xù)函數(shù)的和函數(shù)仍然連續(xù)，但在無(wú)限和的情形下，連續(xù)函數(shù)的和函數(shù)卻不一定連續(xù)。
如函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ，它的每一項(xiàng)在 上都連續(xù)，但其和函數(shù) 在 上卻不連續(xù)。
類(lèi)似的，在有限和的情形下，逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分是成立的，但在無(wú)限和的情形下，卻不一定成立。
為保證以上運(yùn)算，在無(wú)限和的情形下成立，僅有收斂是不夠的，因此引進(jìn)了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性的理論。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂的條件下，可實(shí)現(xiàn)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)、逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)微分。
4．付立葉級(jí)數(shù)研究的基本問(wèn)題
我們知道，在所有的周期運(yùn)動(dòng)中，以 為周期的正弦函數(shù) 描述的簡(jiǎn)諧振動(dòng)最簡(jiǎn)單，這里的 表示時(shí)間， 表示在時(shí)刻 動(dòng)點(diǎn)的位置， 角頻率， 為初相。
對(duì)于一般的周期運(yùn)動(dòng)，如果能夠把它分解成有限個(gè)或無(wú)限個(gè)不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的迭加，那么就可以通過(guò)簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧振動(dòng)來(lái)研究復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)了。這就是說(shuō)，我們要討論周期函數(shù) 能否表示成如下形式：
……………………………………..（*）
如果令 ，則 。
故（*）式右邊的級(jí)數(shù)可改寫(xiě)為 ………..（**）
這種形式的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就稱(chēng)為三角級(jí)數(shù)。
如何作出形如（**）的三角級(jí)數(shù)？在什么樣的條件下，所作出的三角級(jí)數(shù)收斂且收斂于函數(shù) ？這就是付立葉級(jí)數(shù)研究的基本問(wèn)題。
在上述研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究：以 為周期的函數(shù)在什么條件下能夠作出付立葉級(jí)數(shù)？付立葉級(jí)數(shù)的收斂性如何？非周期函數(shù)能否展成付立葉級(jí)數(shù)以及如何展開(kāi)？展開(kāi)的付立葉級(jí)數(shù)的收斂性又如何？等等問(wèn)題。
5．級(jí)數(shù)理論的應(yīng)用
（1）證明數(shù)列的極限等于0
例1 證明 ，
證明：考慮數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ，由于 ，故由達(dá)朗貝爾判別法知：級(jí)數(shù) 收斂。故
（2）表示函數(shù)及討論函數(shù)的性質(zhì)
例2 討論函數(shù) 的定義域，連續(xù)性，并計(jì)算
解：由于 ，
由達(dá)朗貝爾判別法知：當(dāng) 時(shí) ，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng) 時(shí) ，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng) 時(shí)級(jí)數(shù)為 發(fā)散。因此函數(shù) 的定義域?yàn)?
對(duì)任意的 ，總存在 ，使 ，有

而級(jí)數(shù) 收斂，由 判別法知，級(jí)數(shù) 在 上一致收斂，又 在 上連續(xù)，故由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性定理知： 在 上連續(xù)，從而在 點(diǎn)連續(xù)。
由 的任意性，故 在 上連續(xù)。
應(yīng)用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的逐項(xiàng)積分定理得： = =
= =
（3）求近似值
例3 求定積分 的近似值，使誤差不超過(guò)
解：因?yàn)?，
對(duì)這個(gè)冪級(jí)數(shù)在 上逐項(xiàng)積分，得： = ，
上式右端是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，它的第八項(xiàng) 。
所以，如果保留前7項(xiàng)，其誤差不超過(guò) 。通過(guò)對(duì)前7項(xiàng)的計(jì)算得： 0.7468
（4）求不定式的極限
例4 求極限
解：因?yàn)?=
即
所以 = = 。