在1900年，德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）發(fā)布了23個(gè)數(shù)學(xué)難題。當(dāng)時(shí)，這些問(wèn)題都沒(méi)有解決。希爾伯特希望這些問(wèn)題能對(duì)20世紀(jì)的數(shù)學(xué)產(chǎn)生重大影響，實(shí)際上它們確實(shí)產(chǎn)生了影響。解決其中任何一個(gè)問(wèn)題都會(huì)讓你一舉成名。

在希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題中，截至目前，只有少數(shù)幾個(gè)問(wèn)題尚未解決。不過(guò)，這取決于我們?nèi)绾味x“未解決”，因?yàn)槠渲幸恍﹩?wèn)題已經(jīng)有了部分解決方案，而另一些問(wèn)題被認(rèn)為過(guò)于模糊而無(wú)法回答。

千禧年難題

2000年5月，克雷數(shù)學(xué)研究所公布了世界上最難且最具影響力的7個(gè)問(wèn)題，并為每個(gè)正確解決方案提供100萬(wàn)美元獎(jiǎng)金。這個(gè)列表如下：

1. P vs NP

2. 已龐加萊猜想（已解決）

3. BSD猜想（貝赫和斯維訥通-戴爾猜想）(Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)

4. 納維-斯托克斯方程 (Navier-Stokes Equations)

5. 霍奇猜想 (Hodge Conjecture)

6. 楊-米爾斯理論 (Yang-Mills Theory)

7. 黎曼猜想 (Riemann Hypothesis)

在這7個(gè)問(wèn)題中，只有黎曼猜想也在希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題中，使其成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的瑰寶。

2003年，俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼（Grigori Perelman）解決了龐加萊猜想，該猜想在2006年被最終接受為正確解。佩雷爾曼拒絕了獎(jiǎng)金和獎(jiǎng)勵(lì)。他認(rèn)為這并不是他功勞，而是理查德·漢密爾頓（Richard Hamilton）的，因?yàn)檎撬探o了格里戈里里奇流（Ricci flow，解決該猜想的關(guān)鍵工具）。

這些問(wèn)題每個(gè)都需要花費(fèi)數(shù)年的努力學(xué)習(xí)才能理解。有人甚至指出：

這可能是賺取100萬(wàn)美元最難的方式！

因此，讓大多數(shù)人了解這些問(wèn)題的本質(zhì)對(duì)于任何老師來(lái)說(shuō)都是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。以下所有解釋都會(huì)直觀易懂，旨在讓讀者了解問(wèn)題的本質(zhì)，而不是闡述嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述。我們將從計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域最難的問(wèn)題開(kāi)始，但從數(shù)學(xué)角度講，這是最容易理解的問(wèn)題。

P vs NP，對(duì)速度的需求

在60和70年代，人們開(kāi)始意識(shí)到，讓計(jì)算機(jī)程序運(yùn)行并解決給定問(wèn)題并不總是足夠的。許多不同的算法可以解決相同的問(wèn)題，但它們的運(yùn)行時(shí)間可能相差很大。因此，尋求高效算法的競(jìng)賽開(kāi)始了。

為了理解這個(gè)問(wèn)題，我們需要對(duì)一些術(shù)語(yǔ)達(dá)成共識(shí)。

• 問(wèn)題：在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，問(wèn)題是我們希望計(jì)算機(jī)解決的任務(wù)，比如找到兩個(gè)城市之間的最短路線或解決一個(gè)數(shù)獨(dú)難題。

• P（多項(xiàng)式時(shí)間）：P指的是計(jì)算機(jī)可以相對(duì)快速解決的問(wèn)題類(lèi)別。更技術(shù)性地說(shuō)，如果存在一個(gè)算法可以在基于輸入大小的“合理”時(shí)間內(nèi)解決問(wèn)題，則問(wèn)題屬于P。“合理”通常定義為多項(xiàng)式時(shí)間，這意味著解決問(wèn)題所需的時(shí)間以輸入大小的多項(xiàng)式函數(shù)的速率增長(zhǎng)。

• NP（非確定性多項(xiàng)式時(shí)間）：NP指的是計(jì)算機(jī)可以快速驗(yàn)證給定解決方案的問(wèn)題。換句話說(shuō)，如果有人給你一個(gè)NP問(wèn)題的可能解決方案，你可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)檢查它是否正確，但找到解決方案可能需要更長(zhǎng)時(shí)間。注意：NP問(wèn)題不是非P類(lèi)問(wèn)題。NP問(wèn)題的另一個(gè)定義是，可以在多項(xiàng)式的時(shí)間里猜出一個(gè)解的問(wèn)題。

顯然，P類(lèi)問(wèn)題也屬于NP。P vs NP的問(wèn)題是，NP中的每個(gè)問(wèn)題是否也屬于P。換句話說(shuō)，如果我們可以快速驗(yàn)證解決方案，我們是否也可以快速找到解決方案？

如果P=NP，這意味著我們可以快速驗(yàn)證解決方案的每個(gè)問(wèn)題也可以快速解決。如果P不等于NP，那么有些問(wèn)題我們可以快速驗(yàn)證解決方案，但我們無(wú)法快速找到解決方案。

解決P vs NP問(wèn)題將對(duì)諸如密碼學(xué)，優(yōu)化和人工智能等領(lǐng)域產(chǎn)生重大影響。如果事實(shí)證明P = NP，許多目前被認(rèn)為是“困難”的問(wèn)題可以更有效地解決，從而在這些領(lǐng)域取得突破。

大多數(shù)計(jì)算機(jī)科學(xué)家認(rèn)為P ≠ NP。正如麻省理工學(xué)院教授和復(fù)雜性研究員斯科特·艾倫森（Scott Aaronson）所說(shuō)：

如果P = NP，那么世界將與我們通常認(rèn)為的完全不同。在“創(chuàng)造性飛躍”中將沒(méi)有特殊價(jià)值，解決問(wèn)題與找到解決方案之間也沒(méi)有根本差距。每個(gè)能欣賞交響樂(lè)的人都會(huì)是莫扎特；每個(gè)能識(shí)別出好的投資策略的人都會(huì)是沃倫·巴菲特。

龐加萊猜想 ， 揭開(kāi)三維空間的秘密

龐加萊猜想是拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的一個(gè)著名問(wèn)題。

拓?fù)鋵W(xué)是關(guān)于形狀和空間性質(zhì)的數(shù)學(xué)，不是關(guān)于形狀的詳細(xì)信息，如大小、距離和角度，而是更普遍的性質(zhì)，如空間是否是一個(gè)整體（連通性）、其中是否有洞（孔）等。

為了理解龐加萊猜想，這里需要給單連通下個(gè)定義，

想象你有一個(gè)橡皮筋繞在一個(gè)形狀周?chē)?。如果你可以將橡皮筋縮小到一個(gè)點(diǎn)，而不撕裂或抬起它離開(kāi)表面，那么這個(gè)形狀被認(rèn)為是“單連通的”。

直觀地說(shuō)，一個(gè)空間或形狀是單連通的，如果它只有一個(gè)部分且其中沒(méi)有“洞”。

龐加萊猜想始于杰出的法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊。1904年，龐加萊在研究三維空間及其拓?fù)湫再|(zhì)時(shí)提出了以下猜想：

任何三維、單連通、封閉的形狀（意味著它沒(méi)有孔或邊界）本質(zhì)上都是一個(gè)球體。換句話說(shuō)，如果你有一個(gè)單連通且封閉的三維形狀，你可以在不撕裂或粘貼的情況下連續(xù)地將其變形為一個(gè)球體。

這一點(diǎn)看似直觀，但在數(shù)學(xué)上證明起來(lái)卻是一項(xiàng)極具挑戰(zhàn)性的任務(wù)。

20世紀(jì)60年代，史蒂芬·斯梅爾（Stephen Smale）解決了一個(gè)名為“斯梅爾猜想”的相關(guān)問(wèn)題，適用于大于或等于5的維度（龐加萊猜想是3維）。這一突破給人們帶來(lái)了希望，認(rèn)為龐加萊猜想的解決方案可能就在眼前。后來(lái)，邁克爾·弗里德曼（Michael Freedman）解決了四維中的類(lèi)似問(wèn)題，這使他在1986年獲得了菲爾茲獎(jiǎng)。

盡管在更高維度取得了這些進(jìn)展，但三維中的原始龐加萊猜想仍未解決。這個(gè)問(wèn)題成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域最著名和具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題之一，吸引了許多有才華的數(shù)學(xué)家嘗試解決它。

突破終于在2002-2003年到來(lái)，當(dāng)時(shí)俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼在互聯(lián)網(wǎng)上發(fā)布了一系列論文，概述了使用理查德·S·漢密爾頓的里奇流理論（Ricci flow）證明該猜想，簡(jiǎn)而言之，里奇流是一種使形狀幾何變得平滑的數(shù)學(xué)過(guò)程。

佩雷爾曼的工作在漢密爾頓的理念基礎(chǔ)上進(jìn)行了建設(shè)和擴(kuò)展，以證明龐加萊猜想。佩雷爾曼的證明非常高深，數(shù)學(xué)家們花了好幾年時(shí)間理解和驗(yàn)證它的正確性，2006年，專(zhuān)家小組最終確認(rèn)了他的證明的有效性。

2006年8月，佩雷爾曼被授予菲爾茲獎(jiǎng)。然而，他拒絕了這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，后來(lái)還拒絕了來(lái)自克萊數(shù)學(xué)研究所的100萬(wàn)美元獎(jiǎng)金，原因是他對(duì)榮譽(yù)或金錢(qián)并不感興趣，還有一個(gè)論點(diǎn)是，這個(gè)榮譽(yù)應(yīng)該歸于漢密爾頓，因?yàn)樗虝?huì)了佩雷爾曼里奇流理論。

龐加萊猜想的解決被認(rèn)為是21世紀(jì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域最重要的成就之一。它進(jìn)一步加深了我們對(duì)三維空間及其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的理解，可能對(duì)物理學(xué)和宇宙學(xué)等領(lǐng)域產(chǎn)生影響。

如今，龐加萊猜想已被解決，但千禧年難題列表上仍有其他6個(gè)未解決的問(wèn)題。雖然這些問(wèn)題對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)可能非常復(fù)雜和抽象，但它們對(duì)于推動(dòng)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展以及提高我們對(duì)數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界的理解具有重要意義。這些問(wèn)題可能需要數(shù)學(xué)家花費(fèi)數(shù)年甚至數(shù)十年的時(shí)間進(jìn)行研究，但解決它們將會(huì)為數(shù)學(xué)領(lǐng)域帶來(lái)巨大的突破，對(duì)未來(lái)的科學(xué)發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。

BSD猜想（貝赫和斯維訥通-戴爾猜想），橢圓曲線的奇妙性質(zhì)

這個(gè)起源于20世紀(jì)60年代的猜想是一個(gè)關(guān)于橢圓曲線的數(shù)論問(wèn)題。

這些由非常簡(jiǎn)單的方程定義的曲線充滿了神秘和優(yōu)雅。事實(shí)上，描述它們的方程如此簡(jiǎn)單，即使是高中生也能理解。然而，盡管世界上一些最偉大的數(shù)學(xué)家付出了頑強(qiáng)的努力，關(guān)于它們的許多簡(jiǎn)單問(wèn)題仍然沒(méi)有解決。

橢圓曲線是一條對(duì)稱曲線，通常寫(xiě)成

的形式，其中a和b是常數(shù)。橢圓曲線具有一些迷人的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都有應(yīng)用，包括密碼學(xué)。

當(dāng)這些曲線在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)考慮時(shí)，它們看起來(lái)如下：

事實(shí)證明，數(shù)論中的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于橢圓曲線的等價(jià)問(wèn)題。通常這些問(wèn)題與曲線上的有理點(diǎn)有關(guān)（即，兩個(gè)坐標(biāo)都是有理數(shù)）。

然而，橢圓曲線最重要的特征是它們不僅僅是曲線，也不僅僅是幾何圖形。事實(shí)上，它們具有一種稱為阿貝爾群結(jié)構(gòu)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

這些群包含有限個(gè)或無(wú)限個(gè)曲線上的有理點(diǎn)。稱為秩（rank）的概念類(lèi)（似于向量空間的維數(shù)）表示具有無(wú)限階的獨(dú)立基點(diǎn)（曲線上）的數(shù)量，即我們可以通過(guò)群操作不斷“加”這個(gè)點(diǎn)，而不會(huì)回到起點(diǎn)。如果曲線上只包含有限數(shù)量的有理點(diǎn)，則秩為零。

計(jì)算橢圓曲線的秩是出了名的困難，但我們有一個(gè)由Mordell得到的很好的結(jié)果，告訴我們秩總是有限的。也就是說(shuō)，我們只需要有限數(shù)量的基點(diǎn)，就可以在曲線上生成所有有理點(diǎn)。

BSD猜想將橢圓曲線上的有理點(diǎn)個(gè)數(shù)與與曲線相關(guān)的特定數(shù)學(xué)對(duì)象聯(lián)系起來(lái)，稱為L函數(shù)。猜想表明，通過(guò)檢查L(zhǎng)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以確定橢圓曲線上有理點(diǎn)的行為。更具體地說(shuō)，猜想聲稱L函數(shù)可以告訴我們是否有無(wú)窮多個(gè)有理點(diǎn)，僅有少數(shù)，還是根本沒(méi)有。

事實(shí)上，它說(shuō)與之相關(guān)的L函數(shù)可以準(zhǔn)確地告訴我們曲線的秩是什么。這就是BSD猜想。

盡管進(jìn)行了大量的數(shù)值測(cè)試和尋找證明的研究，這個(gè)謎題仍然沒(méi)有解決。

納維-斯托克斯方程，流體運(yùn)動(dòng)的奧秘

納維-斯托克斯方程方程是一組描述流體流動(dòng)和與周?chē)h(huán)境相互作用的數(shù)學(xué)方程。這些方程在氣象學(xué)、工程學(xué)、醫(yī)學(xué)和海洋學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，幫助我們了解諸如天氣模式、洋流、飛機(jī)翼上的氣流以及藥物在人體內(nèi)的分布等現(xiàn)象。這是一個(gè)非常重要且具有實(shí)際應(yīng)用的問(wèn)題。

這個(gè)激動(dòng)人心的領(lǐng)域的歷史可以追溯到艾薩克·牛頓和萊昂哈德·歐拉。特別是牛頓關(guān)于粘度的工作以及歐拉關(guān)于歐拉方程的發(fā)展，描述了（非粘性）流體的運(yùn)動(dòng)，為未來(lái)的進(jìn)步奠定了基礎(chǔ)。

1822年，法國(guó)工程師和物理學(xué)家克勞德-路易·納維（Claude-Louis Navier）通過(guò)考慮粘度（流體流動(dòng)的阻力）擴(kuò)展了歐拉的工作。納維方程描述了粘性流體的運(yùn)動(dòng)，標(biāo)志著流體動(dòng)力學(xué)理解的重要進(jìn)步。

在19世紀(jì)40年代，愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家喬治·加布里埃爾·斯托克斯（George Gabriel Stokes）通過(guò)對(duì)已有方程進(jìn)行一些修正和改進(jìn)，進(jìn)一步完善了納維方程。如今，這些被稱為納維-斯托克斯方程方程的方程已成為所有流體動(dòng)力學(xué)的基本方程。

這些方程簡(jiǎn)單地描述了已知的物理定律，如守恒定律和牛頓的第二定律。方程考慮了流體的速度、壓力、密度和粘度以及作用在流體上的外部力，以預(yù)測(cè)其隨時(shí)間的運(yùn)動(dòng)。雖然納維-斯托克斯方程得到了廣泛認(rèn)可，但它們非常復(fù)雜，是一個(gè)非線性偏微分方程系統(tǒng)，使得尋找一般解變得極具挑戰(zhàn)性。

多年來(lái)，研究人員已經(jīng)開(kāi)發(fā)出了各種方法來(lái)尋找納維-斯托克斯方程的解，截至目前，僅對(duì)有限數(shù)量的簡(jiǎn)化案例存在精確的解析解。盡管納維-斯托克斯方程在近兩個(gè)世紀(jì)的各個(gè)領(lǐng)域中得到了成功應(yīng)用，但存在性和光滑性問(wèn)題仍然未解。該方程系統(tǒng)如下：

人們通常會(huì)看到這些方程用向量符號(hào)表示，

還有一個(gè)稱為“質(zhì)量守恒”的附加條件：

尋找N-S方程的解激勵(lì)了全球的數(shù)學(xué)家和研究人員，解決這個(gè)問(wèn)題不僅將驗(yàn)證流體動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)，而且可能推動(dòng)科學(xué)、工程和技術(shù)的進(jìn)步。

霍奇猜想，代數(shù)、幾何與拓?fù)渲g的橋梁

這個(gè)猜想可能是千禧年問(wèn)題中最難理解的一個(gè)?；羝娌孪胧谴鷶?shù)幾何中一個(gè)未解決的問(wèn)題，代數(shù)幾何是研究由代數(shù)方程定義的幾何對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系的數(shù)學(xué)分支。

要解釋霍奇猜想，我們首先需要了解幾個(gè)基本概念：

• 代數(shù)簇：這些是由代數(shù)方程定義的幾何對(duì)象。例如，圓是由方程x2 + y2 = r2定義的，其中r是半徑。

• 子簇：這只是一個(gè)更大簇內(nèi)的簇。例如，一個(gè)圓是一個(gè)半徑相同的球體的子簇。

• 拓?fù)洌哼@是研究形狀和空間的一門(mén)學(xué)科，專(zhuān)注于在連續(xù)變形（如拉伸或彎曲）下保持不變的性質(zhì)，而無(wú)需撕裂或粘合。

• 代數(shù)拓?fù)洌哼@是一門(mén)使用代數(shù)工具研究拓?fù)淇臻g的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。它像一本詞典，可以將拓?fù)鋯?wèn)題翻譯成更簡(jiǎn)單的代數(shù)問(wèn)題，更容易操作和理解。特別地，我們可以使用群和環(huán)的性質(zhì)來(lái)了解空間的拓?fù)洹?/p>

• 上同調(diào)：這是一種將代數(shù)不變量（稱為上同調(diào)群）分配給給定拓?fù)淇臻g的方法。因此，它是一種用于研究代數(shù)簇和其他空間拓?fù)湫再|(zhì)的數(shù)學(xué)工具。

• 上同調(diào)類(lèi)：這些是上同調(diào)群的元素，它們以代數(shù)方式表示空間的拓?fù)涮卣?。通過(guò)研究這些類(lèi)之間的關(guān)系，我們可以深入了解拓?fù)淇臻g本身的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。從某種意義上說(shuō)，它們是這些多樣性特征的數(shù)值不變量。

霍奇猜想涉及一種特殊類(lèi)型的上同調(diào)類(lèi)，稱為霍奇類(lèi)，它們攜帶額外的代數(shù)信息。

簡(jiǎn)單地說(shuō)，霍奇猜想認(rèn)為，通過(guò)研究代數(shù)簇的代數(shù)結(jié)構(gòu)（通過(guò)霍奇類(lèi)），可以完全理解代數(shù)簇的某些拓?fù)湫再|(zhì)。

更具體地說(shuō)，霍奇猜想聲稱，在一種特定類(lèi)型的代數(shù)簇（稱為“射影復(fù)流形”）上的每個(gè)霍奇類(lèi)實(shí)際上都是與子簇相關(guān)的上同調(diào)類(lèi)的線性組合（加權(quán)平均）。

降維說(shuō)，霍奇猜想斷言，通過(guò)研究這些空間內(nèi)部的漂亮形狀（子簇），可以了解空間形狀的基本信息，如孔的數(shù)量。

霍奇猜想被認(rèn)為是代數(shù)幾何中的一個(gè)核心問(wèn)題，因?yàn)樗鼘榇鷶?shù)簇的代數(shù)和拓?fù)湫再|(zhì)之間的深層聯(lián)系提供依據(jù)。盡管許多數(shù)學(xué)家付出了努力，但仍未找到普遍適用的證明。

楊-米爾斯理論，自然的隱藏本質(zhì)

這個(gè)問(wèn)題也很難解釋。不僅是因?yàn)閱?wèn)題的復(fù)雜性，還因?yàn)橄袢魏瘟孔永碚撘粯?，在我們?nèi)祟?lèi)看來(lái)，自然的外觀和感覺(jué)與其在小尺度上的真實(shí)本質(zhì)存在著根本的差異。

楊-米爾斯理論是由物理學(xué)家楊振寧和羅伯特·米爾斯于20世紀(jì)50年代提出的，它構(gòu)成了粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ)。

楊-米爾斯和質(zhì)量間隙問(wèn)題是理論物理中一個(gè)未解決的問(wèn)題，涉及到亞原子粒子的行為和自然界的基本力量。因此，在解釋這個(gè)問(wèn)題之前，我們需要了解一些概念。

• 量子力學(xué)：這是物理學(xué)的一個(gè)分支，描述了原子和亞原子粒子等非常小尺度上的物質(zhì)和能量的行為。20世紀(jì)初，物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)自然在較低尺度上是固有的離散的。能量和物質(zhì)不是連續(xù)的實(shí)體。然而，離散粒子在未測(cè)量時(shí)似乎具有波動(dòng)性。當(dāng)你確定它們的位置時(shí)，它們變得確定且類(lèi)似于點(diǎn)狀。那么這種波動(dòng)性從哪里來(lái)呢？

• 量子場(chǎng)論：這個(gè)理論非常成功。它是一個(gè)將量子力學(xué)原理與研究高速運(yùn)動(dòng)物體行為的狹義相對(duì)論原理相結(jié)合的框架。物理場(chǎng)是一個(gè)在任何地方都具有值的物體，就像我們可以在地球上的任何地方測(cè)量重力一樣。同樣地，有一個(gè)電子場(chǎng)，如果這個(gè)場(chǎng)中有一個(gè)“漣漪”，我們就稱之為電子。所以在某種意義上，單個(gè)電子通過(guò)全局電子場(chǎng)與自然界的其他事物相連，而粒子本身只是基礎(chǔ)場(chǎng)的一個(gè)激發(fā)部分。

每個(gè)粒子都有這樣一個(gè)場(chǎng)。法拉第稱之為“電場(chǎng)”，他觀察到它會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)。移動(dòng)的電場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生磁性，今天電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的相互作用形成了電磁場(chǎng)。相關(guān)的粒子被稱為光子，這種現(xiàn)象被稱為光。

• 楊-米爾斯理論：這是一種量子場(chǎng)論，為描述粒子及其通過(guò)強(qiáng)力和弱力（以及相應(yīng)的膠子場(chǎng)和W和Z玻色子場(chǎng)）之間的相互作用提供了數(shù)學(xué)框架。強(qiáng)力和弱力是自然界中四種基本力之一（另外兩種是引力和電磁力）。

在量子場(chǎng)論中，粒子可以具有不同的能量級(jí)，包括一個(gè)基態(tài)，這是最低可能的能量級(jí)。“質(zhì)量間隙”是指通過(guò)楊-米爾斯理論相互作用的粒子的基態(tài)和第一個(gè)激發(fā)態(tài)之間的能量差。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，質(zhì)量間隙是將粒子從其基態(tài)激發(fā)到更高能量級(jí)所需的最小能量。

這就像原子中的電子殼，電子可以通過(guò)吸收光子來(lái)激發(fā)。

楊-米爾斯和質(zhì)量間隙問(wèn)題要求給出一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，證明楊-米爾斯理論中存在質(zhì)量間隙，即證明通過(guò)強(qiáng)力或弱力相互作用的粒子之間的基態(tài)和第一個(gè)激發(fā)態(tài)之間存在最小的能量差。就這么簡(jiǎn)單！

黎曼猜想，質(zhì)數(shù)的隱藏本質(zhì)

希爾伯特本人曾經(jīng)著名地說(shuō)過(guò)：

如果我在睡了一千年后醒來(lái)，我的第一個(gè)問(wèn)題是：黎曼猜想被證明了嗎？

要了解黎曼猜想，我們需要了解黎曼ζ函數(shù)，它是一個(gè)全純（復(fù)可微）函數(shù)，

對(duì)于復(fù)數(shù)s，其中實(shí)部Re(s) > 1。

黎曼ζ函數(shù)很重要，因?yàn)樗c質(zhì)數(shù)分布有關(guān)，通過(guò)所謂的歐拉乘積相連。歐拉乘積首先由歐拉發(fā)現(xiàn)，他也是第一個(gè)找到ζ函數(shù)顯式值的人。

100多年后，另一位數(shù)學(xué)天才伯恩哈德·黎曼證明了要解開(kāi)質(zhì)數(shù)之謎的關(guān)鍵在于把歐拉的ζ函數(shù)當(dāng)作復(fù)數(shù)函數(shù)。

這使得黎曼能夠在一個(gè)完全不同的層次上研究它。在這個(gè)問(wèn)題上，歐拉被困住了，因?yàn)樗话堰@個(gè)函數(shù)看作是一個(gè)一維對(duì)象，所以只看到了它的真實(shí)本質(zhì)的陰影。1859年，黎曼用復(fù)分析準(zhǔn)確地看到了它，并勾勒出了如何利用它來(lái)研究數(shù)論的計(jì)劃。

在世紀(jì)之交，這個(gè)計(jì)劃由雅克·阿達(dá)馬爾（Jacques Hadamard）和查爾斯·讓·德·拉·瓦萊·普桑（Charles Jean de la Vallée Poussin）獨(dú)立實(shí)施，導(dǎo)致了著名的質(zhì)數(shù)定理的證明，質(zhì)數(shù)定理告訴我們小于x的質(zhì)數(shù)數(shù)量漸近等于x/ln(x)的函數(shù)。

這個(gè)計(jì)劃使用了黎曼ζ函數(shù)和復(fù)分析。為了理解這個(gè)猜想，我們需要知道一些事情：

• 全純函數(shù)f的解析延拓是擴(kuò)展f的定義域的過(guò)程。事實(shí)證明，這樣的擴(kuò)展是唯一的，因此可以將在復(fù)平面的某些子集上達(dá)成一致的不同函數(shù)視為相同的函數(shù)，但以不同的方式定義。

全純函數(shù)（holomorphic function）是復(fù)分析領(lǐng)域中的一個(gè)重要概念，是指在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都可微的復(fù)變函數(shù)。換句話說(shuō)，全純函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都滿足某種平滑性條件，這使得函數(shù)在這些點(diǎn)附近的行為具有良好的性質(zhì)。

• 我們可以使用這種解析延拓在除s=1之外的所有復(fù)數(shù)上定義黎曼ζ函數(shù)。也就是說(shuō)，盡管上面的級(jí)數(shù)定義只對(duì)Re(s) > 1有意義，但我們可以用一種方法來(lái)評(píng)估Re(s)≤1且s≠1的復(fù)數(shù)上的黎曼ζ函數(shù)。

• 函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)輸出等于零的點(diǎn)。也就是說(shuō)，一個(gè)點(diǎn)z，使得f(z)=0。

• 黎曼ζ函數(shù)的平凡零點(diǎn)是形如s=-2n（其中n是自然數(shù)）的零點(diǎn)。所有其他零點(diǎn)稱為非平凡零點(diǎn)。

黎曼猜想是關(guān)于黎曼ζ函數(shù)的“零點(diǎn)”的猜想。黎曼猜想指出，黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零的實(shí)部都等于1/2。

換句話說(shuō)，這個(gè)猜想聲稱ζ函數(shù)的所有非平凡零都位于復(fù)平面上的一個(gè)特定垂直線上。這條線被稱為“臨界線”。

為了說(shuō)明它在數(shù)論方面的重要性，黎曼自己用諧波分析找到了一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)x下的質(zhì)數(shù)數(shù)量π(x)的精確公式。在這個(gè)公式中，ζ函數(shù)的零點(diǎn)起著控制π(x)的波動(dòng)/不確定性的作用，因此它們包含了關(guān)于數(shù)軸上質(zhì)數(shù)分布的信息。

如果被證明為真，它將幫助我們了解質(zhì)數(shù)在數(shù)線上的分布規(guī)律。這將對(duì)數(shù)論、密碼學(xué)以及其他依賴于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生重大影響。

盡管這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)被研究了160多年，許多數(shù)值計(jì)算也支持這個(gè)猜想，但迄今為止還沒(méi)有人能夠?yàn)槔杪孪胩峁┮粋€(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。