20世紀世紀是數(shù)學大發(fā)展的世紀，許多重大的數(shù)學難題得到完滿解決。下面我們就簡單介紹一下比較有名的數(shù)學大猜想。

說到數(shù)學猜想，21世紀以來最著名的莫過于“千禧年難題”。這是效法德國數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特于1900年8月8日在巴黎召開的第二屆世界數(shù)學家大會上提出的23個數(shù)學難題，于2000年5月24日美國克雷數(shù)學研究所的科學顧問委員會選定了七個“千年大獎問題”，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得百萬美元的獎勵。其目的不是為了形成新世紀數(shù)學發(fā)展的新方向，而是集中在對數(shù)學發(fā)展具有中心意義、數(shù)學家們夢寐以求而期待解決的重大難題。

這七個“千年大獎問題”是：P/NP問題，霍奇（Hodge）猜想，龐加萊（Poincare）猜想，黎曼（Rieman ）猜想，楊－米爾斯 (Yang-Mills) 理論, 納衛(wèi)爾－斯托可（Navier-Stokes）方程，BSD（Birch and Swinnerton-Dyer）猜想。

P/NP問題

通常我們認為計算機可以解決的問題只限于多項式時間內(nèi)，即所需時間最多是問題規(guī)模的多項式函數(shù)。有大量的問題可以在確定型圖靈機上用多項式時間求解，此類問題稱為P類。還有一些問題雖然暫時沒有能在確定型圖靈機上用多項式時間求解的算法，但對于給定的可疑解可以在多項式時間內(nèi)驗證，此類問題稱為NP類。那么，后者能否歸并到前者內(nèi)呢，即P=NP？它是計算機與算法方面的重大問題，甚至有人將其比喻為計算機科學的圣杯。由斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陳述的。

不嚴格的講，P/NP問題就是如果一個問題我可以快速地驗證任意給定答案的正確性，那么我是否可以找到某個算法快速地解決它？

舉個栗子，如果跟你說543623可以寫成兩個較小的數(shù)的乘積，你可能一下子不知道對不對，但是如果直接告訴你543623=3037ⅹ179，你只需要拿出手機打開計算機驗證一下就好了。那么是否能找到一個快速判斷543623的分解性的算法呢？

霍奇猜想

此猜想于1958年由英國數(shù)學家霍奇（W.V.D.Hodge）提出：“對于射影代數(shù)簇空間，在非奇異復射影代數(shù)簇上, 任何一個霍奇類都可以表達為代數(shù)閉鏈類的有理線性（幾何部件的）組合?！?/span>

通俗一點講，就是“再好再復雜的一座宮殿，都可以由一堆積木壘成”。用專業(yè)（并不）的話說就是: 任何一個形狀的幾何圖形，不管它有多復雜（只要你能想得出來），它都可以用一堆簡單的幾何圖形拼成。

二十世紀的前半葉，數(shù)學家希望得到研究復雜形狀的方法?；鞠敕ㄊ侨魏我粋€復雜形狀都可以由一組簡單的幾何形狀基本模塊粘合形成。這是極其傳統(tǒng)的數(shù)學方法，也是千年來歐幾理得幾何公理系統(tǒng)的原始思想。

問題是對于給定的復雜形狀，在怎樣的程度上，我們可以通過把維數(shù)不斷增加，把越來越多的簡單幾何基本模塊粘合在一起，來形成該復雜形狀。數(shù)學家希望用這種思想，用各種不同類型的方式一步一步地擴展，最終建立一組強有力的代數(shù)方程或幾何工具，使各種復雜的對象分類成一些具體的簡單的幾何對象及其組合。

在這種擴展過程中，幾何出發(fā)點變得模糊起來——到底從那些簡單幾何對象組合起；組合的程序又是什么。因此，必須加上一些沒有任何幾何解釋的＂非幾何＂基本模塊，以期達到：在非奇異復射影代數(shù)簇上, 任何一個霍奇類對象都可以表示為代數(shù)閉鏈類的有理線性組合——

這就是霍奇猜想。

龐加萊猜想

1904年，法國數(shù)學家亨利·龐加萊提出了著名的龐加萊猜想：“任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面?！?/span>

簡單來說，如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是'單連通的'，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面（四維空間中與原點有相同距離的點的全體）的對應問題，即龐加萊猜想。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數(shù)學家們就在為此奮斗。

龐加萊猜想是一個拓撲學中帶有基本意義的命題，有助于人類更好地研究三維空間，其帶來的結(jié)果將會加深人們對流形性質(zhì)的認識。

提到這個猜想就不得不說它的證明者——俄羅斯數(shù)學家格里戈里·佩雷爾曼。是的，這個猜想已經(jīng)被解決了。2006年，在佩雷爾曼公布其關(guān)于龐加萊猜想的3篇文章中的第一篇之后近4年，專家們終于達成了共識：佩雷爾曼解決了這個學科最令人肅然起敬的問題之一。然而這關(guān)鍵的3份論文都是發(fā)布在arXiv.org這個專門刊登數(shù)學和物理預印本論文的網(wǎng)站上，并未在任何正規(guī)雜志上發(fā)表。按照克雷數(shù)學研究所的規(guī)定，佩雷爾曼不能獲得100萬美元的獎金。對此，佩雷爾曼的回應是 “我已經(jīng)發(fā)表了我所有的算法，我能提供給公眾的就是這些了?！?/span>

關(guān)于佩雷爾曼和龐加萊猜想還有一件軼事。國際數(shù)學家聯(lián)盟主席John Ball曾秘密拜訪佩雷爾曼，他的唯一目的是說服佩雷爾曼接受在國際數(shù)學家大會上頒發(fā)的菲爾茲獎。誰都知道這是數(shù)學界的最高榮譽，此前共有44位數(shù)學家獲此殊榮，沒有人拒絕過接受這個榮譽。然而面對Ball教授兩天共十個小時的勸說，佩雷爾曼的回答只是“我拒絕?！彼忉屨f：“如果我的證明是正確的，這種方式的承認是不必要的?！?/span>

黎曼猜想

代數(shù)中把不能表示為兩個更小的整數(shù)的乘積的自然數(shù)稱為素數(shù)，它們在純數(shù)學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素數(shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式。然而，德國數(shù)學家和物理學家波恩哈德·黎曼觀察到，素數(shù)的出現(xiàn)頻率緊密相關(guān)于一個精心構(gòu)造的黎曼ζ函數(shù)ζ(s)的性態(tài)。黎曼猜想即是關(guān)于黎曼ζ函數(shù)ζ(s)的零點分布的猜想，由黎曼本人于1859年提出，至今仍未解決。

這個猜想之所以被認為是當代數(shù)學中最重要的問題之一，主要是因為很多深入和重要的數(shù)學和物理結(jié)果都能在它成立的大前提下被證明。黎曼猜想提出來已經(jīng)158年，無數(shù)優(yōu)秀的數(shù)學家（包括小約翰·福布斯·納什、戈弗雷·哈羅德·哈代等）和數(shù)學愛好者都嘗試解決黎曼假設(shè)，他們絞盡腦汁，但都沒有完全成功。數(shù)學家利用計算機來檢驗，結(jié)果算了超過10萬億個非平凡零點均未出現(xiàn)反例。

許多數(shù)學家都相信黎曼假設(shè)是正確的，但要證明這一猜想成立卻很難，而要證明它不成立就更難了。

楊-米爾斯規(guī)范場存在性和質(zhì)量缺口假設(shè)

量子物理的定律是以經(jīng)典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的，而楊－米爾斯理論可以說是量子物理的基礎(chǔ)。

大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數(shù)學之間的令人注目的關(guān)系。基于楊－米爾斯方程的預言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。

盡管如此，該方程卻并不存在已知的解。特別是，被大多數(shù)物理學家所確認、并且在他們的對于“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來沒有得到一個數(shù)學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數(shù)學上兩方面引進根本上的新觀念。

納維葉－斯托克斯方程解的存在性與光滑性

納維葉－斯托克斯方程是流體力學中描述粘性牛頓流體的方程，是目前為止尚未被完全解決的方程，目前只有大約一百多個特解被解出來，是最復雜的方程之一。數(shù)學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。可以說該方程是流體力學的基礎(chǔ)。

BSD猜想

該猜想描述了橢圓曲線上的有理解的性狀。數(shù)學家總是被諸如x2+y2=z2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對這一方程給出完全的解答，但是對于更為復雜的方程，這就變得極為困難。BSD猜想認為，橢圓曲線C的有理解構(gòu)成的群的大小與它的Hasse–Weil L-函數(shù)L(C, s)在點s=1附近的性態(tài)有關(guān)。特別的，這個有趣的猜想認為，如果L(C, 1)等于0，那么存在無限多個有理解；相反，如果L(C, 1)不等于0，那么只存在有限多個有理解。

除去上面這七大千禧年難題之外，還有許多為人熟知的數(shù)學猜想。比如我們從小聽到大的費馬大定理、四色定理和哥德巴赫猜想。

費馬猜想（因為已被證明，也叫做費馬大定理）：由17世紀法國數(shù)學家皮耶·德·費瑪提出。它斷言當整數(shù)n >2時，關(guān)于x, y, z的方程xn+ yn= zn沒有正整數(shù)解。該猜想被提出后，經(jīng)過多人猜想辯證，歷經(jīng)三百多年的歷史，最終在1995年被英國數(shù)學家安德魯·懷爾斯徹底證明。

哥德巴赫猜想：德國數(shù)學家克里斯蒂安·哥德巴赫1742年在給瑞士數(shù)學家萊昂哈德·歐拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個素數(shù)之和。但是哥德巴赫自己無法證明它，于是就寫信請教赫赫有名的大數(shù)學家歐拉幫忙證明，但是一直到死，歐拉也無法證明。關(guān)于此猜想目前最接近的解答是中國數(shù)學家陳景潤于1966年取得的：他證明了“任何一個足夠大的偶數(shù)，都可以表示成兩個數(shù)之和，而這兩個數(shù)中的一個就是奇素數(shù)，另一個則是兩個奇素數(shù)的積。”

四色猜想（因為已被證明，也叫做四色定理）：四色定理最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英國大學生在19世紀中葉提出的，內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”。也就是說在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來標記就行。

該猜想已于1976年由美國數(shù)學家阿佩爾（Kenneth Appel）與哈肯（Wolfgang Haken）借助電子計算機證明，但是純邏輯的證明方法目前仍然未被提出。一個多世紀以來，四色定理一直是數(shù)學家們絞盡腦汁試圖攻克的難關(guān)之一。