目前國內(nèi)大學(xué)的高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析課程的內(nèi)容，一般都是由極限論、一元微積分、級數(shù)論和多元微積分這四大部分所組成，其中一元微積分對應(yīng)了通常國外所說的“初等微積分”課程，而極限論、級數(shù)論和多元微積分這三部分加起來則對應(yīng)了所謂的“高等微積分”課程。

微積分可以說是人類科學(xué)思想史上最偉大的創(chuàng)造，憑借著微積分這一有力工具，人們可以計算大自然和人類社會中所有各種數(shù)量的精確值，以及用來發(fā)現(xiàn)和表達(dá)各種量化的規(guī)律，從而為造就和支撐現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和人類文明的宏偉大廈奠定了堅實雄厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。另一方面，數(shù)學(xué)家們還進(jìn)一步從微積分中發(fā)展出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析理論，從這個理論中，后來又發(fā)展出了常微分方程、復(fù)變函數(shù)論、微分幾何、偏微分方程、概率論、實變函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析等許多分支學(xué)科，因此可以說數(shù)學(xué)分析其實是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展源頭和理論基礎(chǔ)。

最近，科學(xué)出版社隆重推出了柯朗與約翰寫的兩卷名著《微積分和數(shù)學(xué)分析引論》（以下簡稱《引論》）中譯本的重排本。這兩卷《引論》的英文原版的書名為《Introduction to Calculus and Analysis》（有世界圖書出版公司北京公司的影印本）。在1989年，著名的Springer-Verlag出版社重印了全套的兩卷《引論》，并且將其列入了重要的“Classics in Mathematics（數(shù)學(xué)經(jīng)典）”系列叢書之中。雖然這兩卷名著的英文版都初版于半個世紀(jì)前左右，但是其生命力經(jīng)久不衰，全世界范圍內(nèi)無數(shù)的學(xué)生和教師從中受益，已經(jīng)被公認(rèn)為是一套大學(xué)數(shù)學(xué)的經(jīng)典傳世名著。

圖1：《引論》第一卷的英文影印本

《引論》的第一卷在前面兩章里，分別講解了極限理論和微積分基本定理，然后再依次接著講了進(jìn)一步的微分法和積分法、微積分在物理學(xué)與幾何學(xué)中的應(yīng)用、泰勒展開式、數(shù)值方法、級數(shù)理論、傅里葉級數(shù)、簡單的常微分方程等基礎(chǔ)內(nèi)容。

圖2：《引論》第一卷中譯本的目錄

《引論》第二卷的基本思想是將一元微積分推廣到高維的歐氏空間，其主要內(nèi)容包括了多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、線性變換、多元函數(shù)微分學(xué)、多重積分、曲面積分、微分方程、變分學(xué)、單復(fù)變函數(shù)等內(nèi)容。

圖3：《引論》第二卷中譯本的目錄

科學(xué)出版社早在1979年就已經(jīng)翻譯出版了兩卷《引論》的中譯本，譯者們主要由當(dāng)時的北京大學(xué)數(shù)學(xué)系一批資深的數(shù)學(xué)教授來擔(dān)任，他們扎實的數(shù)學(xué)專業(yè)水平與很好的中文表達(dá)功底，充分保證了全部中譯文的準(zhǔn)確與流暢。只是受限于當(dāng)時的印刷條件，每一卷都分成了小開本（32開本）的兩個分冊，這樣全部兩卷的中譯本合起來就有四冊。在2001年，科學(xué)出版社將兩卷四冊的《引論》列入了“數(shù)學(xué)名著譯叢”系列叢書中。四十年多來，兩卷《引論》的中文版發(fā)行，對于促進(jìn)國內(nèi)廣大師生們學(xué)習(xí)微積分與數(shù)學(xué)分析，提高大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)水平，起到了很大的作用。

圖4：《引論》第一卷的2001年版中譯本

現(xiàn)在，科學(xué)出版社通過運用比較大的開本（16開本），重新排版印刷了兩卷《引論》的中譯本，恢復(fù)了原來的一卷一冊的做法（第一卷重排本有576頁，第二卷重排本有838頁），這對于讀者學(xué)習(xí)和使用會更加方便，并且封面和版式的設(shè)計更加大氣，數(shù)學(xué)符號的排版也更加優(yōu)美，增加了閱讀的舒適感。

圖5：《引論》第一卷中譯本的重排本

兩卷《引論》的作者是R. 柯朗與F. 約翰，他們兩位都是十分優(yōu)秀的分析學(xué)家，對微積分與數(shù)學(xué)分析的理解極其透徹，同時他們又擅長于數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)寫作，因此他們就能夠?qū)懗雠c眾不同的兩卷《引論》。柯朗與約翰都認(rèn)為，微積分與數(shù)學(xué)分析的講解，不能僅僅從邏輯論證出發(fā)，從定理到定理，而是要在講定理與公式的推演證明的同時，還要充分地講解隱藏在數(shù)學(xué)理論背后的直觀思想，這是因為這些杰出的思想曾經(jīng)引導(dǎo)歷史上的大數(shù)學(xué)家們作出了重要的發(fā)現(xiàn)，它們可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握這門課程的內(nèi)容。

圖6：科學(xué)出版社海報中對R. 柯朗的介紹

自從《引論》第一、二卷的英文版分別在1965年和1974年出版以后，在世界范圍內(nèi)取得了極大的成功。著名的數(shù)學(xué)雜志《The Mathematical Gazette》曾經(jīng)這樣高度評價《引論》的第一卷：

“

“這是一本講得很清楚的書，充滿了給出思想動機的解釋，并且提供了相當(dāng)多很有用的可以入手做的習(xí)題……。該書還有三個不同于同類書的突出特點：（1）有許多關(guān)于數(shù)學(xué)歷史背景的介紹；（2）用一整章來專門講數(shù)值計算方法；（3）用一整章來講微積分對物理學(xué)和幾何學(xué)的重要應(yīng)用。該書挑選習(xí)題的指導(dǎo)方針是：既在數(shù)值方面看上去很有意思、又能夠體現(xiàn)直觀的數(shù)學(xué)思想，并且最終指向了實際應(yīng)用。該書在本評論者看來，它對于任何想使數(shù)學(xué)分析課程不那么抽象的人們來說，是最好的一本分析教材……。盡管其中所講的數(shù)學(xué)都是嚴(yán)格的，但是通過給出了許多例子和面向?qū)嶋H的應(yīng)用，使得該書非常具有可讀性，并且它所給出的論證過程也十分容易理解?！?/p>”

學(xué)生們在學(xué)習(xí)微積分與數(shù)學(xué)分析時，一般都要接觸到大量的數(shù)學(xué)概念與定理，他們中的許多人在聽課或讀書時，經(jīng)常會不太理解在這么多的概念與定理背后的思想動機是什么，為什么要學(xué)習(xí)與研究它們？數(shù)學(xué)家們是怎樣一步步想出來這些非常奇妙的數(shù)學(xué)方法的？限于篇幅的原因，大多數(shù)的教材最多只能給出少量概念與定理的思想動機介紹，而兩卷《引論》則對微積分與數(shù)學(xué)分析中基本上所有重要的概念與定理，都詳細(xì)地給出了它們的動機和基本思想的描述，以及具體的計算與論證過程，這是十分難得的。學(xué)生們通過仔細(xì)的閱讀和思考，然后再做完《引論》精心挑選和編排的練習(xí)和問題（第二卷附有全部問題的解答），就能夠加深對于微積分與數(shù)學(xué)分析中最基本思想和內(nèi)容的理解。

在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們知道邏輯推導(dǎo)與直觀思想始終是一對很不容易處理的矛盾，這是因為一門數(shù)學(xué)課程的邏輯結(jié)構(gòu)與這門課程的歷史發(fā)展過程在很多時候是不太一致的。在嚴(yán)密的推理體系中，往往很難解釋數(shù)學(xué)理論背后的直觀思想（這不是講幾句話就能解決的），有些十分重視邏輯推演的教學(xué)過程可能會讓學(xué)生去關(guān)注一些其實不太重要的細(xì)節(jié)問題。而在另一方面，如果沒有具體的數(shù)學(xué)邏輯推導(dǎo)過程，又無法真正地體現(xiàn)深刻的數(shù)學(xué)直觀思想。因此從這個角度上可以說，柯朗與約翰所寫的這兩卷《引論》，很好地解決了在微積分與數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中邏輯與直觀這一對固有的矛盾問題。

下面我們對《引論》第一卷中各章的精彩內(nèi)容，分別作一些簡單的導(dǎo)讀。

第1章“引言”導(dǎo)讀

《引論》第一卷的第1章主要講極限理論。極限理論的主要內(nèi)容有：數(shù)列的極限、函數(shù)的極限、連續(xù)函數(shù)、關(guān)于實數(shù)的基本定理、以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。之所以要在講微積分前系統(tǒng)地講清楚極限的理論，主要是想為整個微積分與數(shù)學(xué)分析課程打好一個比較堅實的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。

目前在高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中，學(xué)生們感到非常困難的地方是極限理論中的定義的理解和掌握?；仡櫄v史，在微積分的理論發(fā)展了將近兩百年后，才由柯西在19世紀(jì)初奠定了微積分理論的邏輯基礎(chǔ)?？挛鞑粌H定義了函數(shù)的“極限”，他還用這個極限概念定義了“連續(xù)”、“可微”和“（連續(xù)函數(shù)意義下的）可積”等一系列最基本的分析學(xué)概念，并且證明了連續(xù)函數(shù)一定（在連續(xù)函數(shù)意義下）可積，從而比較徹底地澄清了18世紀(jì)圍繞著函數(shù)的可微、可積等基本概念的模糊狀態(tài)。后來在19世紀(jì)中葉，黎曼進(jìn)一步給出了“黎曼積分”的基本概念，使得可積分的函數(shù)類擴(kuò)大到了不連續(xù)的函數(shù)。19世紀(jì)后期的魏爾斯特拉斯還提出了今天我們課本上函數(shù)極限的 定義，由此完善了整個微積分和分析理論的邏輯基礎(chǔ)。

《引論》在講極限理論的時候，將重點放在了直觀上容易理解的連續(xù)函數(shù)上。它與我們一般先講極限、再講連續(xù)不同，是先講連續(xù)、后講極限?！兑摗窂倪B續(xù)函數(shù)的直觀意義和基本概念入手，先引出了函數(shù)連續(xù)的定義。這個定義簡單地說就是：對一切滿足的，成立

然后再通過放松條件（將后面不等式中的 換成了數(shù) ），就給出了函數(shù)極限的一般定義，此時的數(shù) 就是函數(shù)當(dāng) 時的極限。接下來《引論》還給出了實數(shù)連續(xù)統(tǒng)的完備性定理（即區(qū)間套定理）和連續(xù)函數(shù)的常用基本性質(zhì)?！兑摗穼O限理論的這個比較簡單扼要的處理，足以滿足后面講解微分學(xué)、積分學(xué)和級數(shù)理論的全部需要。

第2章“積分學(xué)和微分學(xué)的基本概念”導(dǎo)讀

《引論》第一卷的第2章主要講一元微積分的基本思想和基本運算。與其他同類課程先講微分學(xué)、后講積分學(xué)不同，《引論》是先講積分，然后再講導(dǎo)數(shù)，目的是讓學(xué)生盡早地接觸微積分基本定理，這樣就緊緊抓住了整個微積分的根本思想——微分與積分的互逆關(guān)系，由此出發(fā)就不難理解微積分與數(shù)學(xué)分析理論的各個組成部分之間的有機聯(lián)系?！兑摗废戎v積分后講微分（導(dǎo)數(shù)）的順序，符合歷史上人們對微積分的認(rèn)識過程，將兩者放在一起講，能夠更好地揭示積分和微分的本質(zhì)。以阿基米德為代表的古代數(shù)學(xué)家早在兩千年前，就已經(jīng)開始用以直代曲、無窮累加的思想來計算幾何量的精確值。

在本章中，《引論》先講了黎曼積分的定義及其計算，并且像歷史上的數(shù)學(xué)家一樣，用不等分的小區(qū)間對指數(shù) 是有理數(shù)的情形，來計算冪函數(shù)的積分值，由此來認(rèn)識和推導(dǎo)定積分的基本性質(zhì)。然后用變動上限的定積分來定義指數(shù)函數(shù) ，這不僅能夠論證在初等數(shù)學(xué)中無法嚴(yán)格解釋的初等函數(shù)基本性質(zhì)，而且也為學(xué)生以后學(xué)習(xí)用變動上限的定積分來定義的新函數(shù)（例如很重要的橢圓函數(shù)）埋下了伏筆。

在講完了定積分的基本概念與性質(zhì)后，《引論》才開始從切線入手引入差商，講導(dǎo)數(shù)的基本概念與具體計算，并且還講了很基本的中值定理和微分概念。在微積分與數(shù)學(xué)分析的發(fā)展歷史上，微分與積分的互逆關(guān)系不僅是最主要的直觀思想，而且也是最重要的發(fā)現(xiàn)。《引論》在這里按照數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展過程，很自然地引入和講解了微積分基本定理（即牛頓-萊布尼茨公式）。在這一章的結(jié)尾，《引論》還嚴(yán)格地證明了連續(xù)函數(shù)的定積分的存在性。

第3章“微分法和積分法”導(dǎo)讀

在《引論》第一卷的第3章中，作者進(jìn)一步詳細(xì)地給出了導(dǎo)數(shù)和定積分的基本性質(zhì)、各種常見初等函數(shù)的微分方法和積分方法，以及導(dǎo)數(shù)和定積分的一些最基本的應(yīng)用。每一位學(xué)生都應(yīng)該熟練地掌握本章中的各種公式及運用它們的方法。

第4章“在物理和幾何中的應(yīng)用”導(dǎo)讀

《引論》第一卷的第4章主要目的是介紹微分幾何的基本概念。經(jīng)典微分幾何的主要研究對象是三維歐氏空間中的光滑曲線和光滑曲面（它們的現(xiàn)代名稱叫一維和二維的微分流形）。為了刻畫曲線和曲面的幾何形狀和彎曲程度，數(shù)學(xué)家們引入了曲率的概念?！兑摗吩谶@里重點講了平面曲線的曲率公式，以及微積分對物理學(xué)和幾何學(xué)的一些初步應(yīng)用。

第5章“泰勒展開式”導(dǎo)讀

函數(shù)的泰勒展開式是微積分與數(shù)學(xué)分析里非常優(yōu)美的一套理論，這個理論直接導(dǎo)致產(chǎn)生了嚴(yán)格的級數(shù)理論，并且在后續(xù)的數(shù)學(xué)課程中發(fā)揮了很重要的作用。函數(shù)的泰勒展開式一般都是在講微分學(xué)時，用柯西中值定理來證明展開式的余項公式的。在歷史上，泰勒展開式與函數(shù)的冪級數(shù)展開理論具有天然的內(nèi)在聯(lián)系?！兑摗返谝痪淼?章的開頭就精辟指出：“在微積分發(fā)展的早期，獲得了一項巨大的成就，就是由牛頓和其他科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了許多已知函數(shù)能夠表示成'無窮次多項式’或'冪級數(shù)’，其系數(shù)是由一些極其優(yōu)美而簡明的規(guī)律形成的?！?將泰勒展開式和冪級數(shù)比作“無窮次多項式”，顯示了分析學(xué)的一種重要思想方法，就是用最簡單的多項式函數(shù)來刻畫和逼近其他所有的光滑函數(shù)，使得各種復(fù)雜函數(shù)的問題都可以轉(zhuǎn)化為最簡單的多項式函數(shù)的問題來解決?！盁o窮次多項式”的這種說法確實是很準(zhǔn)確的。

在這一章里，《引論》像早期的數(shù)學(xué)家那樣，先用樸素而又簡單的想法推導(dǎo)出了對數(shù)函數(shù)和反正切函數(shù)的泰勒展開式（其中假定了可以逐項積分），然后從中抽象出了泰勒展開式的一般規(guī)律。接下來《引論》再運用拉格朗日中值定理仔細(xì)估計展開式余項的大小，充分地表達(dá)和解釋了無窮逼近的思想方法。

在講完了泰勒展開式的直觀思想后，《引論》接著再對各個常用的初等函數(shù)展開式余項進(jìn)行了精確的計算，還仔細(xì)推導(dǎo)了數(shù)值方法中經(jīng)典的牛頓插值公式和拉格朗日插值公式。

第6章“數(shù)值方法”導(dǎo)讀

數(shù)值方法（也稱為計算方法）是數(shù)學(xué)中一門很重要的分支學(xué)科?！兑摗吩诘谝痪淼?章的開頭這樣描述了這個學(xué)科的目的和特點：

“

“解一個分析問題總是不能臻于完善。雖然說解的存在性及某些基本性質(zhì)的證明通常能令人滿意，但是仍有有關(guān)的問題留下來待回答。譬如說，這解是用一個極限過程定義的，例如是用一個定積分定義的，于是實際地尋求這個極限的近似值并估計這些近似值的準(zhǔn)確度的問題就提出來了?！?/p>”

本章首先以定積分的近似計算為例，闡明了數(shù)值方法最基本的思想方法?！兑摗纷屑?xì)推導(dǎo)了著名的辛普森法則，并且精確估計了其中的誤差公式，這些推導(dǎo)和估計方法都是分析中的常用方法。

第7章“無窮和與無窮乘積”導(dǎo)讀

《引論》第一卷的第7章主要講無窮級數(shù)理論。首先講數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散的基本概念，以及收斂的判別法，其中就包括了著名的阿貝爾判別法、條件收斂與絕對收斂的判別法。

在函數(shù)項級數(shù)的收斂性判別問題中，最關(guān)鍵的概念是一致收斂的概念。在歷史上，曾經(jīng)有一些數(shù)學(xué)家因為缺乏一致收斂的概念，而得出了連續(xù)函數(shù)的無窮和一定也是連續(xù)函數(shù)的錯誤結(jié)論?！兑摗纷屑?xì)剖析了一些不一致收斂的級數(shù)例子，并且詳細(xì)推導(dǎo)了函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別準(zhǔn)則，及其對函數(shù)項級數(shù)的積分與求導(dǎo)問題的應(yīng)用。

冪級數(shù)是最常見的函數(shù)項級數(shù)?！兑摗穼⑻├照归_式與冪級數(shù)放在一起講的做法是獨一無二的，這種講法完全講清楚了冪級數(shù)理論的來龍去脈?！兑摗吩谶@里重點講解了牛頓的二項式級數(shù)、橢圓積分的計算過程、復(fù)數(shù)項冪級數(shù)、無窮乘積等基本內(nèi)容。

第8章“三角級數(shù)”導(dǎo)讀

《引論》第一卷的第8章的主題是在分析學(xué)的理論和應(yīng)用中都十分重要的傅里葉級數(shù)（也稱為三角級數(shù)）。傅里葉級數(shù)在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用極為廣泛，幾乎在所有的物理學(xué)分支中都要用到傅里葉級數(shù)，這是因為在聲學(xué)、光學(xué)、熱力學(xué)和電氣工程中，為了要研究周期性的運動，就必須使用傅里葉級數(shù)。另一方面，從微積分和數(shù)學(xué)分析的發(fā)展歷史可以知道，包括冪級數(shù)和傅里葉級數(shù)在內(nèi)的函數(shù)項級數(shù)的一個主要用途，就是用來求解各種各樣的微分方程。人們發(fā)現(xiàn)，許多微分方程的解根本不可能用初等函數(shù)來表示，它們只能用冪級數(shù)或傅里葉級數(shù)來表示。

《引論》在本章的開頭就說：“用冪級數(shù)表示的函數(shù)，或者如拉格朗日所稱呼的'解析函數(shù)’，在分析中的確起著一種中心的作用。但是，由于這類解析函數(shù)在許多實例中太受限制，因此下述事實（即可以用傅里葉級數(shù)表示一類廣泛的函數(shù)）對整個數(shù)學(xué)以及對大量應(yīng)用來說，是一個頗為重大的事件。” 本章首先介紹了周期函數(shù)的概念，然后通過講解物理學(xué)中的諧振的疊加，來導(dǎo)入了傅里葉級數(shù)的基本概念，特別是強調(diào)了任意的帶有間斷點的函數(shù)都可以表示成三角級數(shù)的和。然后《引論》著重講解了判別傅里葉級數(shù)收斂性的“主要定理”，這個很基本的收斂定理在傅里葉級數(shù)理論的發(fā)展歷史上具有重要的作用（見筆者的文章“從傅里葉級數(shù)角度看數(shù)學(xué)分析”）。

《引論》的第一卷在第8章中還講了幾個比較深入的內(nèi)容，其中就包括了傅里葉級數(shù)的一致收斂和絕對收斂性，以及任意連續(xù)函數(shù)的多項式近似等內(nèi)容，特別是詳細(xì)講解了令人驚嘆的伯努利多項式理論中的一些高超分析技巧。

第9章“關(guān)于振動的最簡單類型的微分方程”導(dǎo)讀

《引論》第一卷的第9章比較短，主要介紹了一類最簡單的常微分方程，這種微分方程來源于力學(xué)和物理學(xué)中的振動問題。這一章的目的是為以后學(xué)習(xí)常微分方程這門基礎(chǔ)課程，作一些初步的準(zhǔn)備。