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本文所闡述的數(shù)學思想基本反映了實變函數(shù)的精髓，對于非數(shù)學專業(yè)人士而言，你如果讀懂了此文，可以不必再去讀專門的書籍。你認為有點夸張嗎？嘿嘿，真的一點不夸張。為了讀起來不那么費勁，我盡量避免復雜的數(shù)學符號與推導。
極限是微積分的靈魂，沒有極限也就沒有微積分。然而，微積分中與函數(shù)序列有關的很多問題的解決強烈依賴于收斂的方式，眾所周知，一個連續(xù)的函數(shù)序列可以處處收斂到一個Riemann不可積函數(shù)（你能構造出這樣的例子嗎？），因此積分與極限的交換順序問題在微積分里是一個非常復雜的問題，很多時候需要經(jīng)過很繁復的推導來證明積分與極限能否交換順序。函數(shù)項級數(shù)的收斂性問題也是這樣。因此，在微積分中通常都是假定函數(shù)列或級數(shù)是一致收斂的，這樣所有的問題都變得簡單了。令人遺憾的是，上帝總是在故意刁難我們，大多數(shù)情況下，我們做不到一致收斂！ 在微積分中有兩種收斂概念：處處收斂與一致收斂，后者遠強于前者。舉個簡單的例子：令 fn(x)=xn, x∈(0,1)， fn(x)在（0，1）上顯然處處收斂到0，但不一致收斂到0。也許你會說，fn(x)的積分是收斂到0的，積分與極限可以交換順序啊，問題是這具有普遍性嗎？修改一下上面的例子： gn(x)=(n+1)xn, x∈(0,1)， 你再試試，gn(x)的積分與極限能否交換順序？可是不難看出gn(x)依然是處處收斂到0的！ 上帝真殘酷，給我們出了這么大個“難題”，別擔心，毛主席教導我們：“人定勝天”。只要我們敢想，就沒有克服不了的困難！盡管克服這個困難的人不是中國人，甚至他可能不認識毛主席。 函數(shù)極限的真正意義在于用“好”的或“簡單”的函數(shù)去逼近“壞”的或“復雜”的函數(shù)。積分與極限交換順序問題的本質也是如此，通過容易計算的函數(shù)積分去逼近一般函數(shù)的積分。多項式逼近連續(xù)函數(shù)的Weirstrass 定理以及三角級數(shù)逼近可測函數(shù)的Fourier分析都可歸類為逼近問題。由于收斂概念有多種，所以函數(shù)逼近相應的也有多種含義；即“一致逼近”、“逐點（處處）逼近”、“幾乎處處逼近”、“依測度逼近”，前兩種逼近出現(xiàn)在微積分中，后兩種逼近出現(xiàn)在“實變函數(shù)“中，什么叫“幾乎處處逼近（收斂）”？即去掉一個零測度集后處處收斂?！耙罍y度收斂”又稱為“概收斂”，概率論中常使用這個概念，簡單地說就是對任意正數(shù)ε，滿足|fn(x)-f(x)|>ε的點集的測度隨著n越來越大而越來越小。這幾種收斂概念依次由強到弱。 既然一致收斂在很多問題中起到了決定性作用，我們能不能在犧牲掉另外一些東西后保證一個處處收斂甚至幾乎處處收斂的函數(shù)序列一致收斂呢？能從這個角度想問題本身就很了不起！我們先來看看上面的例子，fn(x)為什么不能一致收斂到0？原因在于當x充分接近1時，xn也接近到1（不管n有多大，只要它固定）。因此，如果x隨著n變，xn的極限有可能不等于零，事實上，如果令xn=1-1/n，則fn(xn)=（1-1/n）n的極限為1/e。既然問題的關鍵就出在x不能離1“太近”，我們給x圈定個范圍如何？這個范圍與原來的區(qū)間（0，1）不能相差太大，否則可能對所要解決的問題毫無幫助。實際上，只要x小于任何給定的小于1的正數(shù)就可以，即對任意正數(shù)δ<1，fn(x)與gn(x)在（0，δ）上一定是一致收斂到0的。這是偶然的還是必然的？換句話說，任何一個處處收斂（幾乎處處收斂）的函數(shù)列是不是都可以在挖掉一個“長度”充分小的集合后是一致收斂的？Egoroff（葉果洛夫）很了不起，他給出了這個問題的肯定回答，這就是著名的Egoroff定理。 定理（葉果洛夫（Egoroff））設E是Rn中的可測集，且mE<+∞，{fn(x)}是 （i）fn(x)幾乎處處收斂到f(x)； （ii）對任意正數(shù) 瞧，我們果真做到了一致收斂！問題到此就算解決了嗎？在Eδ上由于函數(shù)列是一致收斂的，所以很多問題很容易得到解決，然而在E-Eδ上怎么辦呢？例如，在（0，δ）上，前面提到的兩個函數(shù)列fn(x)與gn(x)的積分肯定都收斂到零，也就是說，在（0，δ）上積分與極限可以交換順序，可為什么在（0，1）上結論就不對呢？顯然，問題出在剩下的區(qū)間（δ，1）上。因此僅僅有Egoroff定理是不夠的，欲知詳情如何，且看下回分解。 |
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