2000多年前的古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說預(yù)言過，我們的世界建立在數(shù)學(xué)之上，當(dāng)時(shí)很多人都不理解這句話，甚至把把它當(dāng)做一句笑話。廣袤的宇宙如何是用抽象的數(shù)學(xué)建立起來的？一石一鳥，一草一木，日月繁星，現(xiàn)實(shí)之世界如何與虛無縹緲的數(shù)學(xué)發(fā)生聯(lián)系？當(dāng)時(shí)古希臘的所有人都嘲笑他，認(rèn)為是不可理喻的瘋癲囈語。

時(shí)間到了近代。隨著量子力學(xué)的發(fā)展，一些物理學(xué)家試圖用實(shí)數(shù)來構(gòu)建量子理論，由于沒有實(shí)驗(yàn)測(cè)試，人們無法得知虛數(shù)是否在量子物理中真的有必要，或者只是一種計(jì)算工具而已。

于是來自南科大的范靖云團(tuán)隊(duì)使用光子和光粒子進(jìn)行了這樣的實(shí)驗(yàn)，他們?cè)?span lang='EN-US'>2022年1 月 24 日發(fā)表在物理學(xué)頂級(jí)期刊《物理評(píng)論快報(bào)》（Physical Review Letters，PRL）上的論文《Testing Real Quantum Theory in an Optical Quantum Network》中進(jìn)行了報(bào)告。

同時(shí)，中國科技大學(xué)潘建偉教授使用由超導(dǎo)體制成的量子計(jì)算機(jī)也進(jìn)行了該項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，隨后論文《Ruling Out Real-Valued Standard Formalism of Quantum Theory》也在 PRL 上發(fā)表。

上述兩篇發(fā)表的論文實(shí)際上驗(yàn)證了畢達(dá)哥拉斯的預(yù)言，----描述量子力學(xué)必須要用復(fù)數(shù)----。這個(gè)由中國人發(fā)現(xiàn)、了不起的科學(xué)成就說明復(fù)數(shù)與實(shí)體世界有著強(qiáng)烈的對(duì)應(yīng)關(guān)系，換言之，人類智慧結(jié)晶的數(shù)學(xué)，似乎可以幫助人類自己破解宇宙的秘密。

這個(gè)背后有什么更深層次的原因呢？于是，有關(guān)數(shù)學(xué)的故事，讓我們從頭了解一下。

1.有理數(shù)

人類的智慧是從計(jì)數(shù)開始的。數(shù)字的出現(xiàn)就意味著數(shù)學(xué)的起源。人類文明的歷史有多長(zhǎng)，數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程就有多長(zhǎng)。

在大約300萬年以前，一些原始部落中的人類通過結(jié)繩記事，以繩子上打結(jié)的數(shù)量來記錄將要處理的時(shí)間數(shù)量，或者以繩結(jié)的大小來體現(xiàn)事件的重要程度，數(shù)的概念開始逐步的發(fā)展起來。數(shù)學(xué)經(jīng)常被縮寫為math或maths，是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科。

隨著生產(chǎn)力的進(jìn)一步發(fā)展，研究天文，土地糧食作物的合理分配，稅務(wù)和貿(mào)易等相關(guān)的計(jì)算顯得尤為重要，數(shù)學(xué)也就是為了解決實(shí)際生活、生產(chǎn)問題，為了測(cè)量土地、計(jì)算產(chǎn)量、商貿(mào)活動(dòng)、軍事斗爭(zhēng)以及為了預(yù)測(cè)天文事件而形成的。

現(xiàn)在用上帝視角回看這段時(shí)期，數(shù)學(xué)在這段時(shí)期的發(fā)展結(jié)果就是有理數(shù)，它和現(xiàn)實(shí)世界是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。每一個(gè)數(shù)字，結(jié)果都可以在自然界找到相對(duì)應(yīng)物，無論你家有多少只家禽，或者尼羅河沖出肥沃土地的面積是多少，還是腓尼基人發(fā)現(xiàn)月亮高度與航海時(shí)間、距離之間的關(guān)系。

2.無理數(shù)

公元前600多年，古希臘地區(qū)出了一位主張“萬物皆數(shù)”的數(shù)學(xué)家，認(rèn)為“數(shù)”可以解釋世界上的一切事物。這就是畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，前570年－前495年），他既是數(shù)學(xué)家，也是哲學(xué)家和音樂理論家。他對(duì)數(shù)字癡迷到近乎崇拜；同時(shí)認(rèn)為一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和證實(shí)。

畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：世界上只存在整數(shù)和分?jǐn)?shù)，除此以外，沒有別的什么數(shù)了?？墒遣痪镁统霈F(xiàn)了一個(gè)問題：當(dāng)一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是1的時(shí)候，對(duì)角線的長(zhǎng)m等于多少，是整數(shù)呢，還是分?jǐn)?shù)？畢達(dá)哥拉斯和他的門徒費(fèi)了九牛二虎之力，也不知道這個(gè)m究竟是什么數(shù)，大約認(rèn)為是707/500,接近1.414，但顯然不完全相等。世界上除了整數(shù)和分?jǐn)?shù)以外還有沒有別的數(shù)？這個(gè)問題引起了畢達(dá)哥拉斯著名學(xué)生西帕索斯（Hippasus）的興趣，他花費(fèi)了很多的時(shí)間去鉆研，最終西帕索斯斷言：m既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，是當(dāng)時(shí)人們還沒有認(rèn)識(shí)的新數(shù)。

西帕索斯的發(fā)現(xiàn)，推翻了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的理論，動(dòng)搖了這個(gè)學(xué)派的基礎(chǔ)，為此引起了他們的恐慌。為了維護(hù)學(xué)派的威信，他們嚴(yán)密封鎖西帕索斯的發(fā)現(xiàn)，如果有人膽敢泄露出去，就處以極刑。不幸的是，這位無理數(shù)發(fā)現(xiàn)第一人，最終還是被殘忍的拋入了大海。

西帕索斯雖然被害死了,但是他發(fā)現(xiàn)的“新數(shù)”卻還存在著。后來，人們從他的發(fā)現(xiàn)中知道了除去整數(shù)和分?jǐn)?shù)之外,世界上還存在著一種“新數(shù)”。正方形的對(duì)角線和邊長(zhǎng)的比是這種新數(shù)，給這種新數(shù)起個(gè)什么名字呢?當(dāng)時(shí)人們覺得，整數(shù)和分?jǐn)?shù)是人們已經(jīng)習(xí)慣的，容易理解，就把整數(shù)和分?jǐn)?shù)合稱“有理數(shù)”，英文為“rational number”，而把西帕索斯發(fā)現(xiàn)的新數(shù)起名叫“無理數(shù)”，英文為“irrational number”。

無理數(shù)的出現(xiàn)，打破了古希臘人對(duì)于數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界的統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，他們無法理解在實(shí)際中的意義幾何，難道世界是虛幻的？這就是著名的“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。當(dāng)越來越多的無理數(shù)出現(xiàn)，（例如，正五邊形邊與對(duì)角線之比中出現(xiàn)的、自然對(duì)數(shù)函數(shù)的常底數(shù)e，即歐拉常數(shù)、圓周率π、黃金比例φ 、著名一元三次方程x3=x+1的唯一一個(gè)正根的塑膠數(shù) ρ、超越方程 的實(shí)數(shù)根常數(shù) Ω等等），人們意識(shí)到，也許這個(gè)世界是不完美的，可能存在著很多不確定性。

確實(shí)如此?？茖W(xué)家們從微觀世界著手，逐漸發(fā)現(xiàn)，構(gòu)成原子組成的電子，運(yùn)動(dòng)速度極快，似乎即出現(xiàn)在這里，也出現(xiàn)在那里，于是形成了電子云。由于無法精確的描述電子，所以通常用概率波來表示，電子可以出現(xiàn)在任何地方，甚至可以穿墻，這種現(xiàn)象被稱為“量子隧穿效應(yīng)”。這說明，不確定性是量子世界的常態(tài)。

事實(shí)上，我們的世界很有可能就是由不確定性組成的。在組成我們大千世界的微觀環(huán)境里，不確定性形成的概率則奠定了我們現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)。

3.0與無限

1420年，時(shí)年42歲的意大利一代傳奇大師布魯內(nèi)萊斯基（Filippo Brunelleschi）出現(xiàn)在佛羅倫薩大教堂的門口，引起了當(dāng)時(shí)巨大的轟動(dòng)。他當(dāng)眾演示了一種名為透視法的方法。目標(biāo)正是那座圣約翰洗禮堂，布魯內(nèi)萊斯基左手拿著畫好的洗禮堂透視圖，在設(shè)定為“視線”的位置掏了個(gè)小孔。右手持鏡，鏡子上反射出來的洗禮堂圖像，和肉眼所見的真實(shí)洗禮堂如出一轍。

多么天才的方法。失傳的“滅點(diǎn)”被布魯內(nèi)萊斯基找到了。

滅點(diǎn)(Vanishing Point）亦稱消失點(diǎn)。透視學(xué)中，所有平行線，當(dāng)它們有遠(yuǎn)近的時(shí)候，不論在視平線以上、以下或左邊、右邊，都集中消失在一點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)，就叫做滅點(diǎn)或消失點(diǎn)，如是垂直于畫面的線，則不論上下左右，都集中消失于主點(diǎn)。

滅點(diǎn)出現(xiàn)的意義在于，藝術(shù)家們得以在二維平面上創(chuàng)造出逼真的三維空間。站在數(shù)學(xué)的角度，一切事務(wù)似乎都可以壓縮進(jìn)入到這個(gè)0維的滅點(diǎn)，無論人物，山河，海洋。所以這個(gè)0維的點(diǎn)，不但是0，也是無限的。正是布魯內(nèi)萊斯基的滅點(diǎn)，使得歐洲正在興起的數(shù)學(xué)家們開始直面滅點(diǎn)這個(gè)話題，進(jìn)而開始直面0與無限的關(guān)系。

200年后一個(gè)名叫笛卡爾的法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，這個(gè)不喜歡上班，據(jù)說特別喜歡賴床的天才，一邊高喊著“我思故我在”，另一邊則神奇的發(fā)明了直角坐標(biāo)系，他對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)，因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父。他的這一成就為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，而微積分又是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基石，解析幾何仍是重要的數(shù)學(xué)方法之一。

數(shù)學(xué)里，笛卡爾坐標(biāo)系(Cartesian coordinate system)，亦稱直角坐標(biāo)系，是一種正交坐標(biāo)系。在坐標(biāo)系中，有x軸（橫軸）和y軸（縱軸），并且為了我們方便理解，對(duì)兩軸進(jìn)行了一些實(shí)數(shù)的標(biāo)記，在虛線相交的這些點(diǎn)，便是我們稱之為坐標(biāo)點(diǎn)的例子。在坐標(biāo)系的所有坐標(biāo)點(diǎn)中，一個(gè)特殊的坐標(biāo)點(diǎn)是原點(diǎn)，字母表示為O，實(shí)數(shù)表示為（0，0）。

1927年，比利時(shí)天文學(xué)家和宇宙學(xué)家勒梅特（Georges Lema?tre）首次提出了宇宙大爆炸假說（The Big Bang Theory），他認(rèn)為：宇宙是由一個(gè)致密熾熱的奇點(diǎn)于137億年前一次大爆炸后膨脹形成的。也就是說，宇宙是從無到有，經(jīng)歷了一次劇烈的爆炸后，宇宙常數(shù)趨于0，空間開始膨脹，所以宇宙誕似乎生于0，但卻永遠(yuǎn)沒有終點(diǎn)。。。。。。

回頭再看平面直角坐標(biāo)系，它其實(shí)就是一個(gè)二維化的數(shù)學(xué)宇宙，它起源坐標(biāo)O，向四周發(fā)散，且沒有終點(diǎn)，形成了一個(gè)無限的空間。數(shù)學(xué)再一次驗(yàn)證了它的神奇預(yù)言能力。

                                                第一張黑洞照片（M87星系中心超大質(zhì)量黑洞）

隨后，科學(xué)家們?cè)谟钪嬷邪l(fā)現(xiàn)了越來越多的0和無限的例子，黑洞就是其中之一。據(jù)科學(xué)家估計(jì)，僅僅在銀河系中，大約就有上億個(gè)黑洞，越靠近黑洞，時(shí)空曲率越大，而且曲率趨向無窮，光也無法從黑洞中逃脫。這些黑洞，便構(gòu)成了0和無限的結(jié)合體。

                                                                                          “愛因斯坦-羅森橋”

冥冥之中，似乎數(shù)學(xué)與宇宙有著剪不斷、理還亂的關(guān)系。無理數(shù)的出現(xiàn)，好像驗(yàn)證了宇宙的不確定性。0與無限，似乎在講述宇宙的開始與結(jié)束。但是這一切與“虛數(shù)”相比，則顯得小巫見大巫，真正的燒腦部分才剛剛開始。

4.虛數(shù)的出現(xiàn)

時(shí)光回到16世紀(jì)。文藝復(fù)興的意大利數(shù)學(xué)開始疾馳發(fā)展，一個(gè)名為塔塔利亞（Nicolo Fontana)的數(shù)學(xué)家獨(dú)自發(fā)現(xiàn)了一元三次方程的一般求解方法，為此他在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)比賽中一次次獲得豐厚的獎(jiǎng)金。隨之他將這個(gè)求解的秘密告訴了當(dāng)時(shí)一名百科全書式的全能學(xué)者，卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano）?？栠_(dá)諾的稱號(hào)有如此之多，有數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、占星家、哲學(xué)家和賭徒， 古典概率論創(chuàng)始人等等不一而足。在其大作《大術(shù)》中，他第一個(gè)發(fā)表了一元三次代數(shù)方程一般解法的卡爾達(dá)諾公式，書中還記載了四次代數(shù)方程的一般解法。

卡爾達(dá)諾在求解的過程中，經(jīng)常會(huì)得到一些奇怪的解，比如求解一元三次方程x3=15x+4的會(huì)得到 -121開方的根。負(fù)數(shù)怎么能開方呢？于是卡爾達(dá)諾在書中認(rèn)為這種表達(dá)是沒有意義的。但是這些奇怪的數(shù)就像幽靈一樣，總是出現(xiàn)在方程的求解中。之后笛卡爾于1637年在其《幾何學(xué)》中第一次給出“虛數(shù)”的名稱，并和“實(shí)數(shù)”相對(duì)應(yīng)。1777年歐拉在《微分公式》一文中第一次用i來表示，并首創(chuàng)了用符號(hào)i來表示虛數(shù)。

在經(jīng)過歐拉、高斯等數(shù)學(xué)家不懈努力后，復(fù)數(shù)的概念終于明確。形如z=a+bi（a、b均為實(shí)數(shù)）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)。其中，a稱為實(shí)部，b稱為虛部，i稱為虛數(shù)單位。

虛數(shù)誕生后，人們對(duì)它的實(shí)際用處一無所知，在實(shí)際生活中似乎沒有用復(fù)數(shù)來表達(dá)的量，因此在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，人們對(duì)它產(chǎn)生過種種懷疑和誤解。笛卡爾稱“虛數(shù)”的本意就是指它是虛假的；萊布尼茲則認(rèn)為：“虛數(shù)是美妙而奇異的神靈隱蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩棲物。”歐拉盡管在許多地方用了虛數(shù)，但又說：“一切形如,的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因?yàn)樗鼈兯硎镜氖?span lang='EN-US'>負(fù)數(shù)的平方根。對(duì)于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻。”

1799年德國數(shù)學(xué)家高斯發(fā)明了震驚世界的復(fù)數(shù)平面（complex plane），簡(jiǎn)稱復(fù)平面，他將虛數(shù)的理解又深入了一步。復(fù)平面是用水平的實(shí)軸與垂直的虛軸建立起來的復(fù)數(shù)的幾何表示。它可視為一個(gè)具有特定代數(shù)結(jié)構(gòu)笛卡兒平面（實(shí)平面），一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部用沿著 x-軸的位移表示，虛部用沿著 y-軸的位移表示。盡管它類似于之前的平面直角坐標(biāo)系，但是復(fù)平面卻賦予了非常深刻的思想內(nèi)涵，可以說，人類對(duì)于復(fù)平面的探索才剛剛開始，我們還遠(yuǎn)遠(yuǎn)參透復(fù)平面的真正含義。

 我們可以初步理解一下復(fù)平面的含義。以一個(gè)初中的一元二次方程為例，y=x2+1，下圖即為它的平面直角坐標(biāo)系里的圖形，由于它與x軸沒有交集，所以它就沒有根。那它真的沒有根嗎？

 如果把這個(gè)方程拓展到虛數(shù)的領(lǐng)域里，就得到了下圖這樣的圖形，圖中標(biāo)記的部分，就是該方程的虛數(shù)根。另一個(gè)根在紙的下半部分。

從這個(gè)簡(jiǎn)單的一元二次方程可以看出，虛數(shù)將我們引入了另一個(gè)神秘的維度。這個(gè)維度并不是一個(gè)我們實(shí)際中理解的二維、三維，而是一個(gè)虛構(gòu)的維度。在這個(gè)神秘的維度了可以任意表示二維、三維，甚至更高維度的虛擬空間。

那么虛數(shù)是如何通過運(yùn)算的方式解決問題的呢？

想像一下你是一位 18 世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)家，你已經(jīng)熟練掌握了加減乘除、三角函數(shù)、以及求多次冪，甚至可以解高次方程的多種數(shù)學(xué)運(yùn)算手段。但是否想到還有其他的思路呢？那就是旋轉(zhuǎn)。

例如求解x2=-1的根，也就是 1*x  * x =-1，我們換個(gè)思路去求解，即x 是一個(gè)什么樣的轉(zhuǎn)換數(shù)，累乘兩次就能把 1 變成 -1？

我們不能乘以一個(gè)負(fù)數(shù)兩次，因?yàn)榻Y(jié)果在第二次乘之后會(huì)跳回至正數(shù)。

然而如果是旋轉(zhuǎn)呢！如果我們想像把 x “旋轉(zhuǎn) 90 度”，乘以兩次 x 的話，即為旋轉(zhuǎn) 180 度，1 就會(huì)變成 -1。

如果我們?cè)谙胂?，?huì)發(fā)現(xiàn)將其在其他方向（順時(shí)針）旋轉(zhuǎn)兩次也能將 1 轉(zhuǎn)換為 -1。這是一個(gè)“負(fù)”旋轉(zhuǎn)或者說乘以 -i：

如果我們乘以 -i 兩次，第一次乘法會(huì)將 1 轉(zhuǎn)換成-i，第二次將 -i 轉(zhuǎn)換成 -1。所以這里實(shí)際上有兩個(gè) -1 的平方根：i 和 -i。我們有了某種形式的答案，但是它們意味著什么呢？

• i (or -i) 是數(shù)字在旋轉(zhuǎn)中“形成的”；

• 乘以 i 就是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 度；

• 乘以 -i 就是順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 度；

• 兩種旋轉(zhuǎn)在各自的方向上都是 -1：它把我們帶回了正數(shù)與負(fù)數(shù)所在的“常

規(guī)”維度。

現(xiàn)在如果我們持續(xù)乘以 i 會(huì)怎么樣？

1)1 = 1（這里無需簡(jiǎn)化）

2)i = i （這里無需簡(jiǎn)化）

3)i ^ 2 = -1 (這就是 i 的全部)

4)i ^ 3 = (i · i) · i = -1 · i = -i （3 次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)等于1 次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，非常好）

5)i ^ 4 = (i · ) · (i · i) = -1 · -1 = 1 (4 次旋轉(zhuǎn)帶來了一個(gè)“整圓”)

6)i ^ 5 = i ^ 4 · i = 1 · i = i （這里開始重復(fù)...)

所以，如果連續(xù)乘以i，這個(gè)數(shù)就會(huì)在數(shù)軸上連續(xù)旋轉(zhuǎn)起來，形成一個(gè)圓。如果從X軸向下移動(dòng)，就會(huì)得到一個(gè)螺旋，這個(gè)螺旋在虛部上，就是正弦波。

  正弦波的出現(xiàn)，使得人類的思索進(jìn)一步豁然開朗，我們宇宙是不是一個(gè)充滿波的各種組合體呢？音樂、流體、光線、信號(hào)、地震、潮汐是波，甚至包括量子力學(xué)中的波動(dòng)力學(xué)也是波，從復(fù)平面上看，波其實(shí)就是虛數(shù)。那么虛數(shù)是否和無理數(shù)、0和無限一樣，真實(shí)存在我們世界中呢？

前文中提及潘、范兩位教授所發(fā)表的論文表明，虛數(shù)是真實(shí)存在我們真實(shí)的世界中，盡管我自己理解起來感覺有些不可思議，但還是依然堅(jiān)信。

5.數(shù)學(xué)與宇宙

  愛因斯坦說過一句話：宇宙最不可理解之處，是可以被理解。這反映了愛因斯坦內(nèi)心深處的一個(gè)疑問。當(dāng)然，這也可能是所有科學(xué)家共同的疑問：為什么宇宙的運(yùn)行規(guī)律可以用數(shù)學(xué)來描述？

  通常，科學(xué)家們會(huì)說：上帝是一個(gè)數(shù)學(xué)家。宇宙中有一種最神秘的天體---黑洞。黑洞純粹是人類在廣義相對(duì)論的基礎(chǔ)上，純粹用數(shù)學(xué)計(jì)算出來的。但是，我們對(duì)黑洞的存在性卻堅(jiān)信不疑。

如果認(rèn)真想一下：數(shù)學(xué)是人類的知識(shí)，但是宇宙卻要按照數(shù)學(xué)法則來運(yùn)行。這和愛因斯坦說的那句話是一樣的道理。

但是愛因斯坦反對(duì)這樣的理解。因?yàn)閻垡蛩固共幌Ｍ@個(gè)世界是一個(gè)虛擬的世界，但是很可能這個(gè)世界的真實(shí)存在性和愛因斯坦的想法是相反的。所以愛因斯坦才會(huì)發(fā)出那樣的感嘆：宇宙最不可理解之處，就是它可以被理解。

姑且這么認(rèn)為吧：也許數(shù)學(xué)的本質(zhì)是宇宙的的邏輯。