作者：William Dunham

譯者：李伯民， 汪軍， 張懷勇

在我們的故事敘述到這里的時(shí)候，“函數(shù)”已經(jīng)在分析學(xué)中占據(jù)了舉足輕重的位置。乍看起來，它像是一個(gè)簡(jiǎn)單的甚至平淡無奇的概念。但是，當(dāng)函數(shù)大家族繁衍越來越復(fù)雜和越來越奇特時(shí)，數(shù)學(xué)家們意識(shí)到他們只不過抓到了一只函數(shù)概念老虎的尾巴。

為清楚地勾勒這一演化過程，我們簡(jiǎn)要地回顧一下函數(shù)的起源。正如我們所看到 的，像牛頓和萊布尼茨這樣一些17世紀(jì)的學(xué)者們相信，他們創(chuàng)立的新學(xué)科的原始研究材料就是曲線，這個(gè)來自于幾何或直觀方法的概念將會(huì)被后來的分析學(xué)家們摒棄。

在很大程度上由于歐拉的影響，人們的注意力才從曲線轉(zhuǎn)移到函數(shù)。這一觀點(diǎn)上的重大轉(zhuǎn)變是從他的《無窮小分析引論》一書出版開始的，書中把實(shí)分析學(xué)定位為對(duì)函數(shù)及其特性的研究。

歐拉對(duì)這個(gè)問題的論述最早出現(xiàn)在這本《引論》中。他首先區(qū)分了常量 （“始終保 持同一個(gè)值”的量）和變量 （“不確定的或通用的可以取任何值的量”），然后提出如下定義：變量的函數(shù)是由變量與數(shù)值或常量以任何方式構(gòu)成的解析表達(dá)式。

這些思想對(duì)于“曲線”來說是一種巨大的進(jìn)步，并且代表著代數(shù)方法對(duì)于幾何方法取得的成功。然而，他的定義需要通過解析表達(dá)式來界定函數(shù)，即用公式表示函數(shù)。這樣一種界定方式使數(shù)學(xué)家們陷入某些稀奇古怪的困境。例如，圖7-1所示的函數(shù)曾被認(rèn)為是不連續(xù)的，這不是因?yàn)樗膱D形跳變而是因?yàn)樗?公式 跳變。自然，按照現(xiàn)代的（即柯西的）定義，這個(gè)函數(shù)是完全連續(xù)的。更糟糕 的是，像柯西所說的那樣，我們還可以把這個(gè)函數(shù)用單一的公式

表示。

看起來有充足的理由對(duì)于函數(shù)究竟是什么采用某種更加開放和寬松的觀點(diǎn)。歐拉在給出上述定義幾年之后，朝這個(gè)方向邁出了一步。他在1755年的《微分學(xué)基礎(chǔ)》這本教材中寫道：那些依賴于其他量的量……，即那些當(dāng)其他量變化時(shí)隨之改變的量，稱為這些量的函數(shù)。這個(gè)定義適用的范圍更寬，并且包含一個(gè)量可以由其他量確定的所有方 式。

重要的是要注意，歐拉這一次沒有明確提出解析表達(dá)式，盡管他在函數(shù)的例子中再次給出像y=x^2這樣大家熟悉的公式。

斗轉(zhuǎn)星移，當(dāng)歷史從18世紀(jì)進(jìn)入19世紀(jì)的時(shí)候，函數(shù)重新出現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)世界的弦振動(dòng) 和熱擴(kuò)散等一些問題的研究中。這個(gè)故事已經(jīng)被重復(fù)講述過多次了（例如，參見3 和 4 ），因此，我們?cè)谶@里僅關(guān)注函數(shù)演義中的關(guān)鍵人物——約瑟夫·傅里葉。他開始相信定義在 和 之間的任何函數(shù)（無論它代表一條弦的位置，還是一根桿中的熱分布，甚至某種完全“任意的”東西）都可以表示成我們現(xiàn)在所謂的傅里葉級(jí)數(shù)：

給定。為了不使他的讀者對(duì)這種表示的普遍性程度產(chǎn)生錯(cuò)覺，傅里葉解釋他的結(jié)果 適用于“一個(gè)完全任意的函數(shù)，也就是說，一組連續(xù)的已知值，不論它們是否服從某個(gè)共同的定律”。他接著將函數(shù)y=f(x)的值描述為一個(gè)接一個(gè)的值，它們“以 任何可能的方式出現(xiàn)，并且其中的每個(gè)值如同一個(gè)單一的量給出”。

這個(gè)解釋擴(kuò)展了“已故歐拉”對(duì)于函數(shù)的見解：函數(shù)可以在定義域的任何點(diǎn)上隨意取值。在另一方面，并不清楚式（1）中的公式是否總是成立。系數(shù)ak和bk為積分式，但是，我們?cè)趺粗肋@些積分對(duì)一般函數(shù)都是有意義的？傅里葉在這里至少隱諱地提出了定積分的存在問題，或者按現(xiàn)代的術(shù)語(yǔ)，函數(shù)是否可積的問題。

如前所述，傅里葉錯(cuò)誤地夸大了他的例子，因?yàn)椴皇撬泻瘮?shù)都可以表示成傅里葉級(jí)數(shù)，也不是所有函數(shù)都可以按式（1）的需求積分。此外，他同以前的歐拉一樣， 實(shí)際上把自己限制在一些很常規(guī)的和具備良好特性的函數(shù)的例子上。若是要理解一個(gè)真正“任意的”函數(shù)的概念，那么必須有人給出一個(gè)這樣的函數(shù)。

狄利克雷函數(shù)

此人就是彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷（1805—1859)，他是一位才華橫溢的數(shù)學(xué)家，曾在德國(guó)師從高斯，在法國(guó)向傅里葉學(xué)習(xí)。狄利克雷在其一生中對(duì)數(shù)學(xué)的很多分支作出過貢獻(xiàn)，從數(shù)論到分析，再到這兩門學(xué)科的奇妙結(jié)合—我們可以把它恰如其分地稱為解析數(shù)論。 這里我們僅考察狄利克雷1829年的論文“論三角級(jí)數(shù)的收斂性，這種級(jí)數(shù)表示一個(gè)介于已知界限之間的任意函數(shù)”中的一部分。在這篇論文中，他討論了函數(shù)的可表示性問題，用像式（1）那樣的一個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)表示函數(shù)，以及其中隱含的決定系 數(shù)的那些積分是否存在的問題。

然而，如果函數(shù)在區(qū)間上具有無限多不連續(xù)點(diǎn)，柯西積分就不適用了。狄利克雷提出可以用一種新的包容性更強(qiáng)的積分理論來處理此類函數(shù)，這種理論同“無窮小量分析的基本原理”相關(guān)。他從來沒有在這個(gè)方面提出過什么思想，也從來沒有指出過如何對(duì)高度不連續(xù)的函數(shù)積分。但是，他給出了一個(gè)說明這種情況存在的例子。

這個(gè)例子的意義是雙重的。首先，它表明傅里葉的任意函數(shù)的思想已經(jīng)成為處理它 的有效方法。在狄利克雷之前，即使是那些支持更普通的函數(shù)概念的人，按照數(shù)學(xué)史家Thomas Hawkins的說法，“也沒有認(rèn)真理解這種思想的含義”。對(duì)比之下， 狄利克雷指出函數(shù)范圍比任何人想象的都更為廣闊。其次，他的例子顯示了柯西方法對(duì)積分的不足之處。也許，應(yīng)該重建積分的定義，以免將數(shù)學(xué)家們僅僅局限于對(duì) 連續(xù)函數(shù)的積分或者對(duì)只有有限多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)的積分。

正是狄利克雷的優(yōu)秀學(xué)生，有著長(zhǎng)長(zhǎng)名字的格奧爾格·弗雷德里?！げǘ鞴隆だ杪?（1826—1866）接受了這個(gè)挑戰(zhàn)。黎曼試圖找到不需要預(yù)先假設(shè)函數(shù)必須如何連續(xù)就定義積分的途徑。使可積性同連續(xù)性分離是一種大膽的、極有創(chuàng)見的思想。

黎曼積分

這是黎曼積分的首次出現(xiàn)，而現(xiàn)在在任何微積分學(xué)教程中，甚至在任何實(shí)分析引論中，它都占據(jù)著突出的位置。很明顯，這個(gè)定義沒有對(duì)連續(xù)性作任何假設(shè)。與柯西不同，對(duì)黎曼來說，連續(xù)性并不成為一個(gè)問題。

雖然如此，黎曼引入了新的和

如圖7-4所示，R 是函數(shù)在每個(gè)子區(qū)間上的最大值和最小值之差所確定的陰影區(qū)域的面積。

然后，他提出了關(guān)鍵問題：“在何種情況下函數(shù)可以積分，在何種情況下函數(shù)不能積分？”同以前一樣，他輕而易舉地給出了答案—這就是我們現(xiàn)在所說的黎曼可積性條件——雖然使用的記號(hào)顯得頗為累贅。由于這些思想在分析學(xué)的歷史中占有重要地位，我們?cè)俾宰饔懻摗?/span>

這個(gè)復(fù)雜的論證過程原封不動(dòng)地取自黎曼1854年的論文。雖然符號(hào)顯得復(fù)雜，而基本思想?yún)s很簡(jiǎn)單：為了使一個(gè)函數(shù)具有黎曼積分，它的振幅必須受到限制。跳變過于頻繁過于劇烈的函數(shù)是不可積的。按照幾何的觀點(diǎn)，在這樣一種函數(shù)圖形的下方看起來沒有可以定義的面積。

在直觀上，狄利克雷函數(shù)是如此徹底地不連續(xù)，以至是不可積的。這個(gè)現(xiàn)象提出了一個(gè)基本問題：按照黎曼積分的定義，一個(gè)函數(shù)不連續(xù)到何種程度依然是可積的？ 雖然這個(gè)謎團(tuán)直到20世紀(jì)才解開，但是黎曼本人給出了一個(gè)函數(shù)，提供可望解決這個(gè)問題的一個(gè)證據(jù)。

黎曼病態(tài)函數(shù)

正如我們指出的那樣，黎曼沒有事先給出關(guān)于連續(xù)性的任何假設(shè)，因此暗示著某些 異常奇特的函數(shù)——如他提到的，那些“常常無限不連續(xù)”的函數(shù)——也許是可積的?！坝捎谶@樣的函數(shù)尚未被人們研究過，”他寫道，“最好是提供一個(gè)特定的例子?！?/span>

黎曼構(gòu)造了一個(gè)滿足他的可積性條件的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)在任意區(qū)間內(nèi)具有無限多不 連續(xù)的點(diǎn)。這是一個(gè)獨(dú)特的創(chuàng)造，我們現(xiàn)在稱為黎曼病態(tài)函數(shù)，其中的形容詞在某種意義下帶有“不正常的”內(nèi)涵。

自然，黎曼沒有回答如下問題：“可積函數(shù)可以不連續(xù)到何種程度？”但是他證明了可積函數(shù)可以極度地不連續(xù)。對(duì)于那些嘲笑這個(gè)與黎曼一樣怪異的例子并沒有實(shí)際用處的批評(píng)家，黎曼提出了具有說服力的反駁：“這個(gè)主題與無窮小分析原理有最緊密的聯(lián)系，并且有助于使這些原理更為清晰和精確。在這一點(diǎn)上，這個(gè)主題具有直接的意義?！崩杪B(tài)函數(shù)恰好具有這個(gè)作用，縱然這是對(duì)數(shù)學(xué)家們的直覺的一次打擊。正如我們將要看到的，更多足以摧毀直覺的例證會(huì)出現(xiàn)在19世紀(jì)的分析學(xué)家們面前。

黎曼重排定理

毋庸置疑，黎曼正是因?yàn)樗姆e分理論而聞名于世的。不過，我們要以分析學(xué)中同黎曼有關(guān)的另一個(gè)主題來結(jié)束本章，雖然黎曼得到的這個(gè)結(jié)果不如想象中的那么重要，但是初次接觸的人對(duì)其結(jié)果必定會(huì)驚奇不已。

我們從回憶第2章的萊布尼茨級(jí)數(shù)即級(jí)數(shù)開始。假定我們按照下述方式重新排列這個(gè)級(jí)數(shù)中的項(xiàng)：把第一個(gè)負(fù)值項(xiàng)排在前面兩個(gè)正值項(xiàng)的后面；把第二個(gè)負(fù)值項(xiàng)排在隨后兩個(gè)正數(shù)值項(xiàng)的后面；依此類推。在進(jìn)行三項(xiàng)一組的重排分 組后，我們得到

稍加思索就會(huì)發(fā)現(xiàn)，圓括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式可以表示為

正是狄利克雷證明了一個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的任何重排必定收斂于原來級(jí)數(shù)的同一個(gè)和。對(duì)于絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，重排它的項(xiàng)不會(huì)對(duì)和產(chǎn)生任何影響。

但是對(duì)于條件收斂級(jí)數(shù)，我們得到了迥然不同的結(jié)果：如果一個(gè)級(jí)數(shù)條件收斂，那么可以把它重排為收斂于我們希望的任意值。用某種押頭韻的表達(dá)方式我們可以把這個(gè)結(jié)果稱為“黎曼驚人的重排結(jié)果”。下面介紹他的證明的思想。

驟然一看，黎曼的證明過程似乎是不言而喻的。雖然如此，他的級(jí)數(shù)重排定理以引人注目的形式證明了無窮級(jí)數(shù)求和是一個(gè)微妙的問題。通過簡(jiǎn)單地重新排列級(jí)數(shù)中的項(xiàng)，我們可以戲劇性地改變答案。正如前面看到的那樣，無窮過程的研究或者說分析，可能使我們陷入困境。

在介紹這些事跡后，我們告別格奧爾格·弗雷德里?！げǘ鞴隆だ杪m然整個(gè)19世紀(jì)的分析學(xué)不能離開他半步。他超越了任何人，作為微積分事業(yè)的一位首要參與者建立了積分。他的思想將成為亨利·勒貝格的起點(diǎn)，我們?cè)谧詈笠徽聲?huì)看到勒貝格從黎曼止步的地方出發(fā)，建立起他自己革命性的積分理論。