前面介紹的傅里葉變換是在頻域內(nèi)分析波的特性，但對(duì)于無(wú)限放大的信號(hào)，卻無(wú)法處理，所以必須對(duì)范圍推廣到復(fù)頻域，如果把傅里葉變換看做是二維空間的話，那么拉普拉斯變換就是三維空間。

學(xué)過(guò)信號(hào)處理和高數(shù)的伙伴對(duì)這個(gè)公式并不陌生，看上去很乏味，其實(shí)背后的原理讓人著迷：

因?yàn)槭峭茝V到復(fù)平面，首先我們來(lái)看含有復(fù)數(shù)的指數(shù)參數(shù)含義：

如下s是個(gè)復(fù)數(shù)，所以可以分解為實(shí)部和虛部，但對(duì)時(shí)間而言S始終是常量，

但對(duì)整體e^s而言，它的旋轉(zhuǎn)半徑是e^0.1t, 旋轉(zhuǎn)角度是1t ，所以圖像是半徑不斷增加的螺旋狀。

如果增加s虛部：

意味著同一時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)角度增加，即桿子的速度加快

比較：2t相比上面的1t而言，同一時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)角度增加，會(huì)旋轉(zhuǎn)的更快，螺距會(huì)變小

如果增加s的實(shí)部

意味著旋轉(zhuǎn)半徑會(huì)變大，如下e^0.2t時(shí)圖形

e^0.1t時(shí)圖形

但同一時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)角度不變，所以螺距不變，僅是旋轉(zhuǎn)半徑增大。

如果實(shí)部為零，則旋轉(zhuǎn)半徑是常數(shù)1，圖形就是一個(gè)均勻的螺旋線。其實(shí)這就是傅里葉變換的特性

實(shí)部是3時(shí)，就是一個(gè)旋轉(zhuǎn)半徑為3的均勻螺旋線。

如圖兩個(gè)實(shí)部相等的函數(shù)疊加，空間圖形就是余弦波，因?yàn)樗麄儍蓚€(gè)起始角度相反，在空間上抵消，所以僅留下平面上的圖形，

如果改變實(shí)部和虛部，將兩個(gè)指數(shù)函數(shù)疊加：結(jié)合上述的分析和傅里葉級(jí)數(shù)就很容易理解：

多個(gè)指數(shù)函數(shù)疊加，因?yàn)槠鹗冀嵌认嗷サ窒?，所以就留下水平面上旋轉(zhuǎn)半徑不同的圖形。

如圖

通過(guò)這種方式將指數(shù)函數(shù)疊加在一起就可以創(chuàng)建任意的圖形，這是本篇的重要思想。

結(jié)合前面的傅立葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換，我們可以看到復(fù)指數(shù)將波形拓展到空間的任意角落，這是傅立葉變換所沒(méi)有的，下一篇繼續(xù)討論由此得出的拉普拉斯變換公式原理。