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本文是關(guān)于2D射影幾何及其變換最后一篇文章，后續(xù)會(huì)針對(duì)這一部分內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，以便大家理解；第二部分基于2D射影幾何及其變換的內(nèi)容解釋3D情況。 2.8 關(guān)于二次曲線更多性質(zhì) 現(xiàn)在，我們介紹一種重要的幾何關(guān)系，涉及點(diǎn)、直線、二次曲線，即polarity，這種關(guān)系的詳細(xì)應(yīng)用會(huì)在后續(xù)文章中介紹。2.8.1 極點(diǎn)pole & 極線polar關(guān)系點(diǎn)x和二次曲線C定義直線l，l=Cx，直線l是點(diǎn)x關(guān)于二次曲線C的極線(polar)，點(diǎn)x是直線l關(guān)于二次曲線C的極點(diǎn)(pole)。- l=Cx是點(diǎn)x關(guān)于二次曲線C的極線，該極線與二次曲線相交于兩點(diǎn)，存在兩條直線與C正切于這兩點(diǎn)，并相交于點(diǎn)x。
圖2.19.極點(diǎn)-極線關(guān)系.直線l=Cx是點(diǎn)x關(guān)于二次曲線C的極線，點(diǎn)x=C-1l是直線l關(guān)于C的極點(diǎn)。x的極線與二次曲線相交點(diǎn)是經(jīng)過(guò)x的直線的切點(diǎn)。如果y在直線l上，yTl=yTCx=0。點(diǎn)x和y都滿足yTCx=0，所以是共軛點(diǎn)。
證明.假設(shè)點(diǎn)y在二次曲線C上，正切于點(diǎn)y的直線是Cy，如果xTCy=0，則這條直線包含x。運(yùn)用C的對(duì)稱性質(zhì)，則xTCy=(Cx)Ty=0，說(shuō)明點(diǎn)y在直線Cx上。因此極線Cx與二次曲線相交于點(diǎn)y，正切直線包含點(diǎn)x且在y點(diǎn)正切。隨著點(diǎn)x接近二次曲線，兩條正切線逐漸接近共線，它們與二次曲線的交點(diǎn)也會(huì)越來(lái)越近。在x逐漸接近二次曲線的極限過(guò)程中，極線與二次曲線的交叉點(diǎn)變成x點(diǎn)，所以我們有， - 如果點(diǎn)x在二次曲線C上，那么極線是在點(diǎn)x正切C的直線(參考結(jié)論2.7)。
例2.28.半徑為r，圓心在x軸上x=a的圓，其方程是(x-a)2+y2=r2，可以用二次曲線矩陣表示為，原點(diǎn)(0,0)的極線是，l=C(0,0,1)T=(-a,0,a2-r2)T。該直線是垂直于x軸的直線，即x=(a2-r2)/a。如果r=a，原點(diǎn)(0,0)在圓上，極線就是y軸并正切于圓。 不難發(fā)現(xiàn)，二次曲線產(chǎn)生了一種二維投影空間點(diǎn)和直線的映射關(guān)系。這種映射是一種投影結(jié)構(gòu)，因?yàn)樗婕跋嘟缓驼?，這兩種性質(zhì)在投影變換下都會(huì)被保留。點(diǎn)和直線間的投影映射稱為“correlation”。 定義2.29.correlaton是一種二維投影空間的點(diǎn)到直線的可逆映射，可以表示為3×3的非奇異矩陣，即l=Ax。correlation提供一種系統(tǒng)性的方法，研究點(diǎn)和直線間的對(duì)偶關(guān)系。它不需要使用對(duì)稱矩陣來(lái)表示，但在這里僅考慮對(duì)稱correlation，因?yàn)樗c二次曲線有關(guān)聯(lián)。 - 共軛點(diǎn).如果點(diǎn)y在直線l=Cx上，那么yTl=yTCx=0。任意兩點(diǎn)x和y滿足yTCx=0，則他們是關(guān)于二次曲線C共軛的。
這是因?yàn)槎吻€矩陣是對(duì)稱的--如果xTCy=0，那么點(diǎn)x在y的極線上，如果yTCx=0，那么點(diǎn)y在x的極線上。因?yàn)閤TCy=yTCx，如果一個(gè)是零，另一個(gè)也會(huì)是0。對(duì)于直線，因?qū)ε家泊嬖谙嗤曹楆P(guān)系：如果lTC*m=0，那么l和m共軛。 二次曲線的投影范式.C是對(duì)稱矩陣，所以它有實(shí)特征值，并且可分解為C=UTDU，U是正交矩陣，D是對(duì)角矩陣。應(yīng)用U表示的射影變換，那么C變換為另一個(gè)二次曲線C'=U-TCU-1=U-TUTDUU-1=D。這表明，在射影變換下，任何二次曲線都等價(jià)于一個(gè)對(duì)角矩陣。令D=diag(ε1d1,ε2d2,ε3d3)，這里εi=±1或0，di>0。因此，D可以寫成形式，
這里si2=di。注意，diag(s1,s2,s3)T=diag(s1,s2,s3)?，F(xiàn)在，用變換矩陣diag(s1,s2,s3)在變換一次，D變換為具有矩陣diag(ε1,ε2,ε3)的二次曲線，這里εi=±1或0。通過(guò)置換矩陣進(jìn)一步變換，以確保在εi=-1在εi=1之后。最后，如有必要乘以-1，確保+1和-1數(shù)量至少一樣多。不同類型二次曲線如表格2.2所示。二次曲線的仿射類型.眾所周知，歐式幾何中，非退化二次曲線類型可以分為橢圓、雙曲線、拋物線。如射影幾何中所示，這三種類型投影等價(jià)于圓。但是，在仿射幾何中，歐式分類仍然有效，因?yàn)檫@只取決于無(wú)窮遠(yuǎn)線與二次曲線的關(guān)系。這三種二次曲線的關(guān)系如圖2.20，根據(jù)無(wú)窮遠(yuǎn)直線和圓點(diǎn)的例子，點(diǎn)和直線在射影變換下固定不變。這節(jié)會(huì)更全面分析這個(gè)觀點(diǎn)。原平面和目標(biāo)平面是相同平面，所以映射變換從點(diǎn)x到x'在相同坐標(biāo)系。核心思想在于，特征向量對(duì)應(yīng)于變換的固定點(diǎn)，因?yàn)橐粋€(gè)特征向量e對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值λ，He=λe，e和λe表示相同點(diǎn)。特征值和特征向量在計(jì)算機(jī)視覺中有物理或幾何意義。3×3矩陣有三個(gè)特征值，如果特征值不同，則平面投影變換最多三個(gè)固定點(diǎn)。在這個(gè)例子中，因?yàn)樘卣鞣匠淌橇⒎襟w，一個(gè)或三個(gè)特征值是實(shí)數(shù)。類似方法給出固定直線，按照2.6直線變換是l'=H-Tl，對(duì)應(yīng)于HT的特征向量。
固定點(diǎn)和直線間的關(guān)系如圖2.21所示。注：固定直線視作一個(gè)集合，而不是定點(diǎn)(fixed pointwise)，也就是說(shuō)，直線上的點(diǎn)映射到直線的另一個(gè)點(diǎn)，但一般原始點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)是不同的。這里并不存在新原理：平面的射影變換在直線上產(chǎn)生1D射影變換，1D射影變換可表示為2×2的齊次矩陣，這個(gè)1D射影由兩個(gè)固定點(diǎn)對(duì)應(yīng)于2×2矩陣的兩個(gè)特征向量。這些固定點(diǎn)就是2D射影變換的固定點(diǎn)。后續(xù)分類涉及特征值重復(fù)的情況。假設(shè)已確定兩個(gè)特征值λ2和λ3，并且有兩個(gè)不同的特征向量e2和e3，對(duì)應(yīng)的特征值λ2=λ3。那么，包含特征向量e2和e3的直線是固定點(diǎn)(fixed pointwise)，也就是說(shuō)固定點(diǎn)直線。假設(shè)x=αe2+βe3，那么Hx=λ2αe2+λ2βe3=λ2x，也就是說(shuō)，一個(gè)在經(jīng)過(guò)兩個(gè)退化特征向量的直線上的點(diǎn)，映射到其本身(僅僅比例不同)。另一種可能是，λ2=λ3，但僅有一個(gè)特征向量與其對(duì)應(yīng)。在這種情況下，特征向量在代數(shù)維度上等于2，但幾何維度等于1，那么會(huì)少一個(gè)固定點(diǎn)，僅有兩個(gè)。特征值重復(fù)的不同情況會(huì)在后續(xù)文章中繼續(xù)討論。現(xiàn)在，我們思考下2.4中射影變換子集層次下的固定點(diǎn)和直線。仿射變換、和其他更特別的變換形式，由兩個(gè)特征向量，即兩個(gè)理想點(diǎn)(x3=0)，它們對(duì)應(yīng)于左上角2×2矩陣的特征向量，第三個(gè)特征向量是有限點(diǎn)。歐式矩陣.兩個(gè)理想固定點(diǎn)是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，I和J，對(duì)應(yīng)于特征向量{eiθ和e-iθ}，θ是旋轉(zhuǎn)角度。第三個(gè)特征向量，對(duì)應(yīng)于單位特征值，稱為極點(diǎn)。歐式變換等同于繞極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ的純旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，不存在平移。另一個(gè)典型例子是純平移運(yùn)動(dòng)(也就是旋轉(zhuǎn)角度θ=0)。此時(shí)，特征值是三重退化量。無(wú)窮遠(yuǎn)直線是定點(diǎn)，許多固定直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(tx,ty,0)T，這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于平移方向。因此平行于t的直線是固定的。相似矩陣.兩個(gè)理想固定點(diǎn)是圓點(diǎn)，特征值是{1,seiθ和se-iθ}。相似矩陣的變換是旋轉(zhuǎn)和對(duì)有限固定點(diǎn)各方先均勻縮放s。注：圓點(diǎn)的特征值包含了旋轉(zhuǎn)角度。仿射矩陣.兩個(gè)理想固定點(diǎn)是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，但固定直線無(wú)窮遠(yuǎn)直線(0,0,1)T經(jīng)過(guò)這些點(diǎn)。
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