江蘇省數(shù)學高考附加題強化試題3

班級             姓名             得分             

21.[選做題]在B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計20分.

B．（選修4—2：矩陣與變換）

已知矩陣A＝，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α₁＝，屬于特征值1的一個特征向量為α₂＝．求矩陣A，并寫出A的逆矩陣．

C．（選修4—4：坐標系與參數(shù)方程）

已知曲線 的極坐標方程為 ，以極點為原點，極軸為 軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），求直線 被曲線 截得的線段長度.

D．（選修4－5：不等式選講）

設 為正數(shù)，證明： ．

 [必做題] 第22、23題,每小題10分,計20分.

22．（本小題滿分10分）

某中學選派 名同學參加上海世博會青年志愿者服務隊（簡稱“青志隊”），他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如表所示．

(Ⅰ)從“青志隊”中任意選 名學生，求這 名同學中至少有 名同學參加活動次數(shù)恰好相等的概率；

 (Ⅱ)從“青志隊”中任選兩名學生，用 表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕

對值，求隨機變量 的分布列及數(shù)學期望 ．

23．（本小題滿分10分）

設函數(shù) .

（1）當 時，求 的展開式中二項式系數(shù)最大的項；

 （2）若 且 ，求 ；

（3）設 是正整數(shù)， 為正實數(shù)，實數(shù) 滿足 ，求證： ．

江蘇省數(shù)學高考附加題強化試題3

參考答案

21B、解：由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α₁＝可得， ＝6，

即c＋d＝6；            ………………………………………3分

由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量為α₂＝，可得 ＝，

即3c－2d＝－2，                 …………………………………………6分

解得即A＝，                      …………………………8分

A逆矩陣是

21C．解：將曲線 的極坐標方程化為直角坐標方程為 ，

即 ，它表示以 為圓心，2為半徑的圓，…………………………4分

直線方程 的普通方程為 ，………………………………6分

圓C的圓心到直線l的距離 ，…………………………………………………8分

故直線 被曲線 截得的線段長度為 ．  …………………10分

21D．因為

所以      …………………4分

同理 ,         …………………6分

三式相加即可得

又因為

所以     …………10分

22、(Ⅰ)這 名同學中至少有 名同學參加活動次數(shù)恰好相等的概率為

            …………………………………………4分

                       …………………………………………5分

(Ⅱ)由題意知

……………………………………6分

……………………………………7分

……………………………………8分

　 的分布列：

…………………………………………10分

的數(shù)學期望:  …………12分

23. 解：（1）展開式中二項式系數(shù)最大的項是第4項＝ ；  （2分）

（2） ， ，

；   （5分）

（3）由 可得 ，即

．

而 ，所以原不等式成立．         （10分）