注 內(nèi)容包括高等代數(shù),近世代數(shù),不含微分幾何(第一大題填空題每題5分,高等代數(shù)部分其與試題每題20分,近世代數(shù)部分試題每題15分)

FDU202301 (1)給定實(shí)對稱陣

其中是參數(shù),則令是正定矩陣的的范圍是.

(2)已知是一些階復(fù)方陣組成的集合,滿足對任意矩陣,有,且中的矩陣互不相似,則中至多有個(gè)元素.

(3)已知階實(shí)方陣,滿足,則可能的秩是.

(4)記是形如的多項(xiàng)式組成的集合,且都是不大于的整數(shù),則在上的不可約多項(xiàng)式有個(gè).

(5)已知階實(shí)方陣, 的第元素為,則

FDU202302 設(shè)是階實(shí)方陣,證明以下兩個(gè)命題等價(jià):

(1)齊次線性方程組與在實(shí)維列向量空間中解集相同.

(2)齊次線性方程組與在實(shí)維列向量空間中解集相同.

FDU202303 設(shè)是有限維復(fù)線性空間上的線性映射,對任意的, 最多是維的.

證明: (1)若是的特征值,且,則不是的特征值.

(2)若是的特征值,則是維的.

(3)存在一個(gè)復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,使得.

FDU202304 記為全體階實(shí)方陣組成的,作為上的線性空間,求滿足如下條件的所有上的線性子空間:

對任意的,若,則可逆.

FDU202305 已知是正定實(shí)對稱陣,

(1)證明:存在唯一的正定實(shí)對稱陣,使得.

(2)給定任意整數(shù),求所有可能的值,使存在對稱可逆方陣,有且的符號差為.

FDU202306 設(shè)是一個(gè)有限群,若存在一個(gè)階正規(guī)子群,且的中心不包含,證明: 必含有一個(gè)正規(guī)子群,且.

FDU202307 判斷環(huán)是否為唯一分解整環(huán)(UFD),并說明理由.

FDU202308 設(shè),證明: 是一個(gè)域的Galois擴(kuò)張,且其Galois群同構(gòu)于.