真題速遞

（2022年深圳市羅湖區(qū)期末考試）22、如圖1，直線AB的解析式為y=kx+6，D點坐標為（8,0），O點關于直線AB的對稱點C點在直線AD上.   

（1）求直線AB的解析式；

（2）如圖2，在x軸上是否存在點F，使△ABC與△ABF的面積相等，若存在求出F點坐標，若不存在，請說明理由；

（3）如圖3，過點G（5,2）的直線l：y=mx+b，當它與直線AB夾角等于45°時，求出相應m的值.

解析：

（1）根據(jù)題目分析，OA=6,OD=8,AD=10，求AB解析式，只需要求出B點坐標，即OB的長，考慮勾股定理，設OB=x,則BD=8-x,根據(jù)折疊的性質，如圖，BC=OB=x, ,AC=OA=6,CD=4,在△BCD中，由勾股定理可得，BD2=BD2+CD2，易得OB=3,則y=-2x+6.

(2）根據(jù)題意，△ABO≌ABC，則O即是所求的第一個F點，當F在x軸運動時，△ABF和△ABO高相等，則只需要底邊也相等，即BF=BO =3，則F2為（6，0）綜上，F(xiàn)的坐標為（0，0），（6，0）.

（3）過G的直線與AB相交成45°角，如圖，設交點為M,可以考慮以下兩種情況，

因為夾角為特殊角，45°，考慮構造直角三角形。

如圖，過B作BN⊥BA交直線GM于N,過M,N分別作x軸的垂線交x軸于H,I,

則△MBH≌△BNI,設OH=a, 

則BH=3-a=NI，MH=-2a+6=BI，

則M(a, -2a+6),N(-2a+9,3-a)

把點M,N的坐標代入y=mx+b,得

-2a+6=ma+b        ①

3-a=m(-2a+9)+b   ②

②-①得，m(-3a+9)=a-3,m=-1/3

同理，如圖，

過B作平行于y軸的直線l,過M,N分別作l垂線交l于H,I,則

△MBH≌△BNI

設HM=a,則BI=a,BH=IN=∣-2(a+3)+6∣=2a,則M(a+3,-2a),N(2a+3,a),

那M，N代入y=mx+b,得

-2a=m(a+3)+b  ①

a=m(2a+3)+b   ②

②-①得

am=3a,m=3

綜上所述，m=-1/3或3.

思考

     盡管解出來這個題目，但是對于第三問，還是有很多想法：

  如圖，在平面直角坐標系中，點A(12,0),B(0,4),點P是直線y=-x-1上一點，且∠ABP=45°,則點P的坐標為______.

常見構造全等解法如下：

   對于構造等腰直角三角形，選擇作的等腰三角形不一樣，計算難度不一樣，總結起來就是盡可能要讓已知的點在全等中可用，因此第一種過A作AB的垂線最簡單，因為此等腰直角三角形中，兩個頂點已知，可以秒算出第三個頂點坐標。

   過A作l∥GM，本題轉化為求過A與AB夾角為45°的直線的解析式即可。

如圖，

根據(jù)前面的分析，過B作BC垂直AB交l于C，過C作CD垂直x軸交x軸于D,則BD=OA=6,CD=OB=3,C(9,3),直線l解析

另一種情況可以用同樣的方式進行平移，如圖，

過A作l∥GM

此時l與AB夾角為45°，根據(jù)前面總結，過B作BC⊥AB交l于C,過B作直線n與y軸平行，過A,C分別作n的垂線交n于P,Q，如圖，易得，CQ=PB,AP=OB=BQ,C點坐標（-3，-3）

易求直線l的解析式為y=3x+6,m=3.

簡評

      本道題在原題解析中涉及高中內容可以快速解決，在求出M,N坐標時，可以結合M,N,G共線，利用點斜式公式，根據(jù)共線k相等，從而解出a的值，進而求出直線GM的解析式，不僅求出了m,還求出了b的值。

     本題由于是兩直線的夾角，利用高中的夾角公式也可以快速求得與AB夾角為定值的兩條直線的k的值，不管是斜率公式，還是夾角公式，我曾經說過，上得去是本事，下得來是能力。這兩點都絲毫不影響本道題在初中數(shù)學幾何中的地位。

作為壓軸題，本題有兩大亮點：

1、  第1問考查求函數(shù)解析式，通過折疊，勾股定理，求出線段長，求出點的坐標再求解析式，看起來有難度，但是在八上勾股定理練習到位的情景下，這只是中檔題目。

2、  第3問45°夾角問題，相信平時老師也是練習講評過相關題目，對于做等腰直角三角形，構造全等并不陌生，但是本題如果按照筆者的解析解答，還是很有難度的，由于交點不是已知點，一是計算量不小，二是代換過程中，關于M,N，G三點的處理如何才是合適，所以，學生在解答過程中會出現(xiàn)自我否定的心理建設，到底該如何操作？當然，能像參考答案一樣，把兩種解答都統(tǒng)一在一起，一個等腰直角三角形就解決問題，對計算和思維的要求就更高一些。

   本題最大的亮點就是這個看起來可以有用和可以沒有用的G(5,2)這個點，只求m的值為不同思維層次的學生提供了不同的切入點，需要的只是和AB相交成45°，不一定非要過G點，從而可以進一步進行轉化。如果訓練到位，哪怕是求直線的解析式，如果能夠先平移求得m再回過來代入G點求值，就是思維的更高層次了。

       當然，也有一點不足，這也是我們爭論比較多的地方，本題可以用高中的公式解決，初中階段我們對這樣用法有沒有限制或要求？要求吧？會不會限制了學生的能力？不要求吧？對于之前我們所有討論的都沒有意義了，承擔思維訓練的本題就成為一個技巧可以解決的題目了。當然，如果此類題目出現(xiàn)在幾何探究類題目中，幾何代入感就更強。所以，建議：在命題方向上看，是不是可以考慮全等與幾何綜合的探究題？結合勾股定理？

后記

八上，函數(shù)只學了一次函數(shù)，幾何方面只學了全等，勾股定理，所以代幾綜合題的選擇余地不大，一般，第一問求解析式，第二問面積相關，第三問，45°問題，或者是等腰三角形、直角三角形的存在性問題。剛剛結束的南山區(qū)和寶安區(qū)的壓軸題，考查了等腰直角三角形的存在性問題，我們是不是可以快速解決呢？

（2022南山區(qū)八年級期末數(shù)學）22.  如圖，在平面直角坐標系中，直線AB:y=kx+1交y軸于點A，交x軸于點B（3,0），點P為直線AB上方第一象限內的動點.

（1）求直線AB的表達式和點A的坐標

（2）點P為直線x=2上一動點，當△ABP的面積與△ABO面積相等時，求點P的坐標

（3）當△ABP為等腰直角三角形時，請直接寫出點P的坐標.

（2022寶安區(qū)八年級期末數(shù)學）22.如圖，平面直角坐標系中，直線:y＝3/4x與直線:y＝kx＋b相交于點

A（a，3），直線l1交y軸于點B（0，－5）。

（1）求直線l2的解析式；

（2）將ΔOAB沿直線l2翻折得到ΔCAB（其中點0的對應點為點C），求證：ACIIOB

（3）在直線BC下方以BC為邊作等腰直角三角形BCP，直接寫出點P的坐標。