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編者按：本文系筆者于大三下學期參加大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目時所寫,當時筆者作為一名數(shù)學師范學生，跟組長和另兩位成員計劃寫作三角函數(shù)的一些內容。本文是筆者聯(lián)系三角函數(shù)與大學數(shù)學知識的一點嘗試，盡管內容是初等的，但或許可以給數(shù)學基礎不好的朋友們一點幫助?。?/span>前文閱讀：三角函數(shù)的拓展知識(I)） 2、歐拉對進行多項式展開我們在上面已經闡述過可以用一個多項式來逼近一個函數(shù)，對此大數(shù)學家歐拉（Euler） 做了另外一個令人驚喜的結果。他認為正弦函數(shù)可以與多項式進行類比，其類比的核心要點是:多項式可以通過其零點將其函數(shù)表達式給大致描述出來。 比如說對于二次首一多項式(注:首一多項式是指該多項式最高項系數(shù)為1次的)而言，若其零點為，那么我們就可以直接寫出其函數(shù)解析式為。對于這種方法，相信讀者在初中時就接觸了不少，不應當感到陌生。而我們知道函數(shù) 的零點為，因此猜測是否可以將展開成關于自變量 的多項式的形式。事實上，歐拉就證實了這點，并將展開為 關于該公式的證明過程已經超出了高中生的認知范圍之內，因此我們在此略過該證明過程。值得注意的是，關于該公式有其他意想不到的驚喜，即可以利用該展開式解決著名的貝塞爾問題。 所謂貝塞爾問題，是指求出下列無限項的和： 事實上，誰也想不到這個問題的最后結果會帶有圓周率。另外，利用的展開公式也可以解決與貝塞爾問題類似的求和問題 該結果為，同樣是帶有圓周率。關于兩個公式的推導過程，感興趣的讀者可以自行翻閱相關的微積分參考書(筆者注:在微積分的傅里葉級數(shù)一章節(jié)中可以找到)。 上述例子表明，當我們對一個數(shù)學問題感到無從下手時，不妨考慮用其他數(shù)學工具，也許就對問題的解決有極大的幫助，貝塞爾問題就是這樣的一個典型例子。 3、歐拉（Euler）公式與三角函數(shù)的關系歐拉是一個在整個數(shù)學史上多產的數(shù)學家之一,他本人發(fā)現(xiàn)了諸多優(yōu)美的數(shù)學公式。其中，歐拉公式被稱為世界上最優(yōu)美的公式之一(筆者注:"之一"或許都可以去掉)，就連勾股定理也未必可以與之相媲美。 之所以說歐拉公式很優(yōu)美，是因為它沒有任何多余的內容，將數(shù)學中最重要的幾個數(shù)用一個式子全部聯(lián)系到了一起:
★ 該公式中包含了五大常數(shù)，另外也有指數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)囊括在內，所以該公式所蘊含的信息是深刻的。由于其中蘊含了三角函數(shù)在內，因此我們有必要深入研究下歐拉公式與三角函數(shù)之間的關系。 由歐拉公式，我們令來替代 ，得到 聯(lián)立該公式與歐拉公式，作相加相減運算，得到 至此我們就可以看到正余弦函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的關系。觀察這一結果，我們不免驚訝于大自然的美妙之處，看起來不太相關的兩類函數(shù)，實則之間存在著密切的聯(lián)系。關于這兩個公式我們也會在數(shù)學系課程《復分析》中深入學習。其實，歐拉公式的發(fā)現(xiàn)也是一件趣事，它其實是一次“一題多解”的產物。 1740年，歐拉曾就一個問題寫信請教他的老師約翰·伯努利。他發(fā)現(xiàn)，一個微分方程的解可以由通過兩種不同的方式給出。 這個微分方程是： 而這個解的兩種形式是：,.對數(shù)學十分敏感的歐拉隨即猜測這兩個式子是相等的,于是便有了 與后來的 在他的進一步研究下,歐拉成功地證明了這兩個公式，方法之一是前面提到的對三角函數(shù)進行"多項式展開".在歐拉的著名著作《無窮小分析引論》中,也可見被稱為"上帝公式"的歐拉公式. 4、傅里葉級數(shù)與三角函數(shù)的關系傅里葉級數(shù)是法國數(shù)學家傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題中提出。它的理論本質是十分驚人的，只要是滿足了一定條件的周期函數(shù)，都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構成的無窮級數(shù)來表示,具體的形式是: 與此相關的一類分析學被稱為傅里葉分析,它是研究信號的一種方法.關于這部分內容,其中涉及到許多數(shù)學與物理的專業(yè)知識，這里就不再展開了,對此感興趣的朋友可以修讀一下普林斯頓大學Stein教授的《Fourier Analysis》. 后記：本部分內容是兩年前準備考研期間所寫,猶記得當時一個星期會花一個上午時間去寫作一部分內容,而現(xiàn)在看來卻發(fā)現(xiàn)文筆實在是糟糕的很.如若是有評委專家看到了這部分內容,相信會認為當時的我們是在"瞎弄".的確,筆者現(xiàn)在認為當時的確是有點過于天真和盲目自信,或許是待在一個學校太久了有點井底之蛙的感覺,沒有往更廣闊的地方去捕捉更深遠方的東西.筆者在編輯這份文稿時候,有諸多感慨,最讓我值得思考和反思的一點是:自己離"認真"的標準還有多遠? 其實做一件事情很能看出一個人的行事態(tài)度.不過有時候,我們往往并不它當回事罷了.迄今為止,在做事方面讓我感到極其認真的有兩位朋友:其中一位是陳躍老師;另一位,是筆者初高中時期的好友(上海財經大學本碩).當然,其他也有不少朋友做事很認真的,只是我沒有一一列出罷了,僅列舉給筆者深刻印象的兩位. 最后分享一個數(shù)學家阿爾福斯寫在《復分析》中的一句話:
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