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原標題：微積分與π 數(shù)學教學研究由邵勇本人獨創(chuàng)。每周推送兩到三篇內(nèi)容上有分量的數(shù)學文章，但在行文上力爭做到深入淺出。幾分鐘便可讀完，輕松學數(shù)學。
我們知道，π叫圓周率，它的定義很簡單，就是：圓的周長與圓的直徑的比值。這是一個無理數(shù)，它甚至比根號2這樣的無理數(shù)“還無理”，這是因為根號2是代數(shù)式x^2-2的根，而π根本不是任何代數(shù)式的根，所以我們說π是一個超越數(shù)。幾千年來，人們對π的研究從未間斷過，人們對π的精確度的追求如醉如癡，不光數(shù)學家，連許許多多以數(shù)學為業(yè)及大量的業(yè)余數(shù)學愛好者也加入了這個行列。比如就有一位名叫香克斯的人宣稱精確度算到了小數(shù)點后第707位，但后來被發(fā)現(xiàn)第528位是錯的，這是由后來的計算機花了70個小時的運算時間才發(fā)現(xiàn)的，而這位數(shù)學愛好者更是花了15年時間進行研究?？上攵?，π有多么迷人！ 中國數(shù)學家祖沖之用兩個正整數(shù)的比值對π的近似是最簡潔的：355/113 ≈ 3.14159292，這是一項很了不起的成就。印度數(shù)學家拉馬努金也在π的計算上給出過很多有趣但也很古怪的計算式，不知他是怎么想出來的，比如
這些近似值的精確度都能達到很高，但它們的精確度終歸是確定的。 后來，人們發(fā)現(xiàn)用無窮級數(shù)或無窮乘積可以很好地表示這個神秘的π。并且，理論上說，精確度可以任意高。比如小數(shù)點后100位，10000位，100萬位，當然要求你的計算機運算速度足夠快，還有就是無窮級數(shù)的收斂速度要快。這是與那些固定的公式只能給出π的固定精確度的近似值有著本質(zhì)的不同。 今天來說一說一個著名的無窮級數(shù)，看一看這個級數(shù)是怎樣與π產(chǎn)生神秘聯(lián)系的。我們需要先做些鋪墊。 （1）正整數(shù)級數(shù)，它是發(fā)散的，即n趨于無窮時，它也趨于無窮。
（2）調(diào)和級數(shù)，它也是發(fā)散的，證明不復雜，很多書上都有介紹，或者以后我有機會給大家再介紹（以前推送過調(diào)和級數(shù)的內(nèi)容，比如《小蟲能爬到頭嗎？》《無窮階梯》等等，正好可以把無窮級數(shù)發(fā)散的證明補充上成系列）。
（3）下面就到了今天要說的著名無窮級數(shù)。這個級數(shù)很有規(guī)律，即把正整數(shù)的平方的倒數(shù)加起來，也就是把上面的調(diào)和級數(shù)的每一項換成它的平方。從形式上看很有規(guī)律，人們長期以來就知道它，也知道它是收斂的，但一直不知道它收斂到什么值。數(shù)學家J. 伯努利也沒能求出這個無窮級數(shù)的值。在他去世10年后，偉大的數(shù)學家歐拉在28歲時終于給出了解答。結果讓人驚訝——這些簡單得不能再簡單的正整數(shù)，經(jīng)過除法、加法、乘法和開平方這幾種運算，竟然能夠與這個無理數(shù)甚至是超越數(shù)的π產(chǎn)生聯(lián)系。這真是很神奇！ 這個用無窮級數(shù)表示π的著名公式就是：
下面就給出它的詳細的推導過程。將會用到微積分和高等代數(shù)的一些知識，我們應該都在大學數(shù)學課程中學習過這些知識，可能您有些忘記了，我正好在這里，借助π這個神奇的數(shù)，幫助您重撿當年所學數(shù)學知識。這些知識有： （1）正弦函數(shù)sinx的冪級數(shù)展開式：
（2）正弦函數(shù)可以像多頂式函數(shù)那樣被分解因式（這也是偉大的歐拉的成就）。具體來說，一個n次多項式：
如果它有n個零點，則它可以分解因式為：
上式可以改寫為：
好的，有了上面這些準備工作，我們就可以對正弦函數(shù)進行類似的操作。顯然，0，±π，±2π，±3π，… 都是正弦函數(shù)sinx的零點。于是，我們可以把sinx表示為：
應用平方差公式，上式可化簡為：
下面我們來比較上面所得到的sinx的無窮乘積表達式（下面用①表示）與前面所得的sinx的冪級數(shù)展開式（下面用②表示）。 ①式：
②式：
兩者都是由x的奇數(shù)次冪這樣的項構成，它們的同類項的系數(shù)相等。 先分析①式。需要研究一下它的展開式中各項的系數(shù)是怎樣構成的。每個括號中都有一個x平方項。所有這些括號表示的因子乘積被展開成多項式后，x平方項的系數(shù)一定是每個括號中x平方項系數(shù)的和。即： ③式：
又因為①式的右側(cè)還有一個x因子，所以，上式（③式）就是①式右側(cè)展開成多項式后x三次方項的系數(shù)。 而②式中x三次方項的系數(shù)就應該與上式相等，所以我們得到：
上式兩邊同時乘以
結果就得到：
這個公式就是歷史上吸引眾多數(shù)學家投身其中而最終由歐拉給出解答的著名無窮級數(shù)。（數(shù)學中以歐拉命名的公式或定理實在是很多。） 幾天前那期《微積分第一題》中曾給出過一個用無窮級數(shù)表示π的公式，即萊布尼茨公式： 到目前為止，我的公眾號中給出了兩個著名的無窮級數(shù)表示π的公式。以后還會陸續(xù)給出其他表示π的公式及它們的推導過程和相關歷史。如有不到之處，敬請批評指正。謝謝您的閱讀！ 責任編輯： |
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