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微信、手機(jī)QQ搜索關(guān)注 DuoDaaMath每獲得更多數(shù)學(xué)趣文 新浪微博：http://weibo.com/duodaa 從初中開始，我們就開始接觸三角函數(shù)了。初中的時候，三角函數(shù)是在直角三角形中定義的。直角三角形中一個銳角的對邊比上斜邊就是這個角的正弦值，而余弦值被定義為這個角的鄰邊與斜邊的比值。 初中的定義，使得我們對三角函數(shù)的研究停留在銳角的范圍內(nèi)。到了高中，我們利用單位圓和有向線段把三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到了可以取到任意實(shí)數(shù)。于是，三角函數(shù)成了實(shí)數(shù)R到實(shí)數(shù)R的函數(shù)。 然而，如果你真較真兒的看看以上中學(xué)階段的兩種定義的話，你會發(fā)現(xiàn)以上兩種定義方式都離不開“畫圖”，而看圖說話的方式依賴人的感覺——視覺，這不是一種數(shù)學(xué)意義上的嚴(yán)謹(jǐn)方式。再深入一點(diǎn)，單位圓和有向線段定義三角函數(shù)的方式，需要把角的大小對應(yīng)成為實(shí)數(shù)，而對應(yīng)實(shí)數(shù)的方式，要么用到某個扇形的面積，要么會用到圓上某段弧的弧長。然而，你在圓上截取的這部分扇形的面積，或者那段弧的弧長分別存在的理由是什么呢？奧，你會說我畫出來了，看吧，它就是占了一塊地方，或者就是一截長度——我相信是對的，但是這樣的理由依然是感覺的，而非數(shù)學(xué)邏輯的。 如果，按數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫅?yīng)該怎么做呢。我們可以完全依照公理與邏輯從自然數(shù)理論（可以用ZFC或者皮亞諾公理導(dǎo)出自然數(shù)的相關(guān)理論），發(fā)展出有理數(shù)理論，再而發(fā)展處實(shí)數(shù)理論。理由實(shí)數(shù)的完備性的公理，發(fā)展處極限理論、微積分理論，再而級數(shù)和微分方程理論。這些基礎(chǔ)，都可以只依賴于公理體系和形式邏輯，而不依賴與感覺。于是本文就用這些理論來定義三角函數(shù)，已經(jīng)推倒三角函數(shù)的性質(zhì)?！疚膶⒂脽o窮級數(shù)定義三角函數(shù)。利用無窮級數(shù)或微分方程也是到目前為止，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x三角函數(shù)的最佳方案。 定義三角函數(shù)的核心也就是定義正弦和余弦函數(shù)，下面我們會圍繞這個來展開討論。 我們用級數(shù)來定義下面兩個函數(shù)： 我們后面證明的公式，很多可以利用級數(shù)之間的四則運(yùn)算直接得出(比如2sinx cosx = sin(2x)之類)，但是我們哆嗒君并不打算這樣做，下面所有的關(guān)鍵推導(dǎo)，我們都盡量避開一些艱深的級數(shù)間運(yùn)算的技巧，雖然那很直接（比如證明存在使得sinx小于0的x的時候，可以直接估計(jì)計(jì)算sin5,sin6之類），但是，對一些普通人來講，那過于麻煩了。 1、 π的定義 上面兩個級數(shù)對任意實(shí)數(shù)x都是收斂的。而且很容易看出sin0 = 0， cos0 = 1 。 另外我們也很容易得到上面兩個定義后的函數(shù)的奇偶性，即是說： 根據(jù)無窮級數(shù)的相關(guān)理論上面的兩個級數(shù)都是連續(xù)，可微，且求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的時候還可以使用逐項(xiàng)求導(dǎo)的方法。 于是我們得到 于是有， 說明sin2 x + cos2 x 是常數(shù)，代入x = 0，得到 利用上面的式子，我們還能得到關(guān)于兩個函數(shù)的上下界的不等式。 注意到sin x 連續(xù)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)在零點(diǎn)為cos0 = 1 > 0,說明sinx 在0 點(diǎn)的某個右鄰域內(nèi)單調(diào)遞增，從而在某個區(qū)間(0,δ)上，sin x > 0。(*) 我們估計(jì)一下來說明sinx存在大于零的零點(diǎn)。這只需要說明sinx有取得負(fù)值的點(diǎn)。顯然，sinx，cosx在任何區(qū)間上都不恒為常數(shù)，于是我們假設(shè)sinx > 0恒成立，這時cosx是單調(diào)遞減的，用下面兩部分文字來推出矛盾。 若cos x 非負(fù)恒成立，則有sinx單調(diào)遞增，于是由單調(diào)有界原理，可設(shè) 則由拉格朗日中值定理，有下面的矛盾： 若存在y使得cos y小于零，那么當(dāng)x≥y時，cos x < 0，說明在這個區(qū)間上sin x單調(diào)遞減。 于是由單調(diào)有界原理，可設(shè)
則由拉格朗日中值定理，有下面的矛盾：
于是，存在y，使得siny < 0，也就是說存在x > 0，使得sinx = 0。 于是我們把下面的實(shí)數(shù)定義為π。
因?yàn)閟inx的連續(xù)性和(*)的結(jié)論，上面的下確界inf符號其實(shí)可以換成最小值min，即有π > 0 ，sinπ = 0 。 2、 和角公式和誘導(dǎo)公式 這一部分的內(nèi)容需要用到常微分方程的相關(guān)理論。 注意到，sinx與cosx 都滿足下面這個二階常系數(shù)線性方程：
因?yàn)閟inx和cosx是線性無關(guān)的。于是上面方程的解一定有形式：
而對應(yīng)任意實(shí)數(shù)y，sin(x+y)也滿足上述方程。所以
代入x = 0，x = -y 得到
同理可得，
于是我們得到了和角公式。 令x = y = π/2 , 得到
注意到由π的定義可得sin(π/2) > 0，可以得到 cos(π/2) = 0, 從而利用sin2x+cos2x=1這個式子得到sin(π/2)=1。再利用一下cos x 在[0, π]的單調(diào)性（由π的定義這個區(qū)間上cosx 的導(dǎo)數(shù)-sinx 非正），得cosπ=-1。 于是反復(fù)使用以上公式，我們得到誘導(dǎo)公式，
于是我們知道2π是sinx 和 cos x 的一個正周期，實(shí)際上它還是最小的正周期。比如用sinx來說，2π不是最小的正周期，那么存在正數(shù)T < 2π還是sinx的正周期，下面三種情況都會得到矛盾。 若T < π ， 則 0 = sin0 = sin( 0 + T ) = sinT ≠ 0 。 若T = π ， 則 1 = sin(π/2) = sin(π/2 + π) =- sin(π/2) = -1 。 若π < T < 2π ， 則 0 < T-π< π ， 有 0 = sin 0 = sin( 0 + T ) = sinT = -sin(T-π) ≠ 0 。 于是，正弦和余弦函數(shù)關(guān)于周期的性質(zhì)我們也得到了。 反復(fù)利用和角公式，我們得到正弦和余弦二倍角公式是三倍角公式。
利用這些公式，我們得到常用的一些特殊銳角的值，
3、 反函數(shù) 我們已經(jīng)知道，-sinx 在[0,π]內(nèi)是非正的，且只有孤立的x = 0，π兩個點(diǎn)上取得零值。這說明,cosx 在[0,π]上是式單調(diào)遞減的，于是在這個區(qū)間上有反函數(shù)，記為arccos x。 而sin x = cos(π/2 - x) ，利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，得到sin x 在[-π/2, π/2]上單調(diào)遞增。于是sin x 在這個區(qū)間上有反函數(shù)，記為arcsin x 。 特別的，我們有arcsin 1 = π/2 ， arcsin (1/2) = π/6， arcsin 0 = 0。 利用反函數(shù)的求導(dǎo)法則,對y=arcsin x求導(dǎo)，得到，
同理有
好了，我們已經(jīng)把正弦和余弦函數(shù)的中學(xué)中常用的性質(zhì)推了個遍，那他和圓有什么關(guān)系呢？ 4、 圓的周長和面積公式 我們知道，圓的周長和面積都是由解析式x2+y2=r2(r > 0)，所圍成圖形決定的。而對于這樣圖形的面積和曲線長，我們利用積分（依賴于極限）有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x。 對于面積，由于對稱性，我們計(jì)算下面這個定積分的4倍。
而對于后面的積分，令其為I，我們有
得到I = πr2/4 , 那么它的4倍就是半徑為r的圓的面積,πr2。 對于連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)y = f(x) ，在區(qū)間(a,b)上的那一斷曲線長為：
于是由于對稱性，圓的周長就是下面這個定積分積分的4倍。
于是4倍就得到半徑為r的圓周長2πr。 我們通過上面的積分計(jì)算，建立起了圓的兩個重要幾何性質(zhì)與之前定義的π的聯(lián)系。最后我們要看看，π的值到底是多少。 5、 π的值是多少 微積分中，我們知道，下面的公式（|x| < 1，規(guī)定(-1)!!= 0!! = 1）：
得到：
兩邊積分有，
代入x=1/2 有
這個級數(shù)的收斂速度還不錯，要計(jì)算到3.14…..的精度只需要計(jì)算4項(xiàng)，計(jì)算到3.1415926......的精度只需要10項(xiàng)，耐心一些用手算都可以出結(jié)果。它比一般高數(shù)書給出的用arctanx的展開式計(jì)算π/4的速度快了不少，而后者，就算計(jì)算到500項(xiàng)也得不到3.14......的近似值。 學(xué)數(shù)學(xué)一定追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)綐O致？ 有句話說得好，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)就像衣服，太緊了不行，太松了不好。如果用這種最嚴(yán)謹(jǐn)（目前）的方式來作為起點(diǎn)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，這種喪失全部直觀的方式其實(shí)并不符合人們認(rèn)識新事物的規(guī)律。另外，由于理解這種方式，需要對實(shí)數(shù)理論、微積分相當(dāng)熟悉，而后者要到大學(xué)才開始接觸，會拖后三角函數(shù)的學(xué)習(xí)進(jìn)程。畢竟大部分人使用三角函數(shù)，都是使用其函數(shù)性質(zhì)而非它的邏輯底層，完全沒必要把這部分知識放在那么后面。 但是，如果我們追求一個理論的邏輯上的完美，在有一定數(shù)學(xué)功底之后，來回味一下從實(shí)數(shù)的基本理論來建立三角函數(shù)（或者其他初等函數(shù)）的過程，借此品嘗一下數(shù)學(xué)的“極致嚴(yán)謹(jǐn)”小甜點(diǎn)也是一件很有趣的事情。 微信、手機(jī)QQ搜索關(guān)注 DuoDaaMath每獲得更多數(shù)學(xué)趣文 新浪微博：http://weibo.com/duodaa |
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