三角形內(nèi)角和不等于180度？銳角的一邊垂線可以和另一邊不相交？兩個三角形不可能相似？過已知直線外一點(diǎn)可以做兩條與已知直線平行？如果你剛剛學(xué)習(xí)平面幾何，可能覺得剛剛的問題全是胡說，這怎么可能呢？可這些命題卻是由一個俄國科學(xué)家羅巴切夫斯基提出來的。而這些命題的提出，開創(chuàng)了幾何學(xué)的新篇章——非歐幾何。而羅氏幾何就是非歐幾何的一種。下面分別從羅巴切夫斯基生平、羅氏幾何的誕生、羅氏幾何的主要內(nèi)容、羅氏幾何的直觀模型、羅氏幾何的意義五個方面進(jìn)行簡要介紹。

圖1 羅巴切夫斯基幾何三角形

01 羅巴切夫斯基生平：

羅巴切夫斯基（1792-1856），俄國數(shù)學(xué)家。15歲就進(jìn)入喀山大學(xué)，不到20歲就獲得物理數(shù)學(xué)碩士學(xué)位并留校工作。30歲成為了學(xué)校常任教授。不過后來由于自己發(fā)現(xiàn)的新幾何不被理解，甚至遭到了同行的攻擊。晚年的羅巴切夫斯基心情更加沉重——他被免去喀山大學(xué)的所有職務(wù)，這使羅巴切夫斯基的精神遭到了巨大的打擊。雪上加霜的是，自己心愛的大兒子因肺結(jié)核治療無效去世。不過，他從來沒有向命運(yùn)屈服，更沒有放棄自己對新幾何的追求。在身患重病，臥床不起的困境下，他也沒停止對非歐幾何的研究。 他的最后一部巨著《論幾何學(xué)》，就是在他雙目失明、臨去世的前一年，口授完成的。

羅巴切夫斯基在世時，他的新幾何學(xué)始終沒有得到同行的認(rèn)可。直到1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表論文證明了證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面 （例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。這就說明了只要?dú)W幾里得（即我們學(xué)的平面幾何）幾何沒有矛盾，非歐幾何就沒有矛盾。這時候羅巴切夫斯基以及非歐幾何才逐漸受到人們重視。

圖 2 羅巴切夫斯基

02 羅氏幾何的誕生：

1815年，羅巴切夫斯基開始研究平行線理論，盡管他還是一個23歲的青年，但是已經(jīng)留校工作，并在第二年升為額外教授。一開始，他也是循著前人的思路，試圖給出第五公設(shè)的證明。

一個證據(jù)是，在保存下來的他的學(xué)生聽課筆記中， 就記有他在1816~1817學(xué)年度幾何教學(xué)中給出的幾個證明。但是，很快他便意識到自己的證明是錯誤的。他已經(jīng)看到，“在概念本身之中并未包含大家想要證明的真情實(shí)況”，換句話說，從幾何學(xué)的基本的前提和概念并不能推導(dǎo)出第五條公設(shè)。那么他怎么肯定這種推導(dǎo)的不可能性呢？或許他曾了解過薩凱里、呂格爾、蘭伯特等人的工作， 并從中受益良多。他肯定了的是，可以循著薩凱里和蘭貝爾特曾經(jīng)走過前幾步的途徑，繼續(xù)地走下去。

前人和自己的失敗從反面啟迪了他，使他大膽思索問題的相反提法：可能根本就不存在第五公設(shè)的證明。于是，他便調(diào)轉(zhuǎn)思路，著手尋求第五公設(shè)不可證的解答。

羅巴切夫斯基新的嘗試是借助反證法進(jìn)行的，這很像他的前輩薩凱里、蘭伯特所使用的歸謬法。不過為證“第五公設(shè)不可證”，他首先對第五公設(shè)加以否定，假設(shè)“過平面上直線外一點(diǎn)， 至少可引兩條直線與已知直線不相交”，然后用這個否定命題和其他公理公設(shè)組成新的公理系統(tǒng)，并由此展開邏輯推演。假設(shè)第五公設(shè)是可證的，即第五公設(shè)可由其他公理公設(shè)推演出來，那么，在新公理系統(tǒng)的推演過程中一定能出現(xiàn)邏輯矛盾，至少第五公設(shè)和它的否定命題就是一對邏輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了“第五公設(shè)可證”這一假設(shè)，從而也就間接證得“第五公設(shè)不可證”。

事實(shí)上，在推演過程中，他得到一連串古怪的命題，但是，經(jīng)過仔細(xì)審查，卻沒有發(fā)現(xiàn)它們之間含有任何邏輯矛盾。于是，遠(yuǎn)見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個“在結(jié)果中并不存在任何矛盾”的新公理系統(tǒng)可構(gòu)成一種新的幾何。它的邏輯完整性和嚴(yán)密性可以和歐幾里得幾何相媲美，而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設(shè)可證性的反駁，也就是對第五公設(shè)不可證性的邏輯證明。由于尚未找到新幾何現(xiàn)實(shí)世界的原型和類比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個新幾何稱之為“想象幾何”。

由此，羅巴切夫斯基斷定了第五條公設(shè)的不可證明性和根據(jù)否定公理展開新幾何學(xué)的可能性。當(dāng)然，這里包含著極為重要的一個普遍結(jié)果：在邏輯范疇內(nèi)，可以存在的并不只是一種幾何學(xué)。即是說，邏輯上互不矛盾的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學(xué)。

圖3 羅氏幾何

03 羅氏幾何的主要內(nèi)容：

在邏輯的可能性和直觀的表現(xiàn)之間的這個矛盾是理解羅巴切夫斯基幾何的主要困難，但是假如談的是作為邏輯理論的幾何學(xué)，則應(yīng)該考慮的是論證的邏輯嚴(yán)密性，面不是與慣常的圖像是否協(xié)調(diào)。我們知道，羅氏幾何除了一個平行公理之外采用了歐氏幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐氏幾何中如果是正確的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。在歐氏幾何中，凡涉及到平行公理的命題，在羅氏幾何中都不成立，它們都相應(yīng)地含有新的意義。下面不妨舉幾個例子加以對比說明：

下面講解羅氏幾何的具體內(nèi)容：

長度與角的關(guān)系：

我們不妨先說一下羅氏平行公理。羅氏平行公理是這樣說的：從直線L外一點(diǎn)O，至少可以引和L不相交的兩條直線OL和OM，例如本頁圖4所示那樣，直線OL叫做右平行線，直線OM叫做左平行線。從O向直線L引垂線ON，設(shè)ON=P，那么，∠NOL就隨P的變化而變化，把這個角叫作平行角。

圖4

羅巴切夫斯基得出了平行角公式的解析形式。若全中心角為2π，則線段a的長度x與平行角角度π(x)之間的關(guān)系為

其中k是一個常數(shù)，為空間常數(shù)。

羅巴切夫斯基三角學(xué)：

羅氏幾何的三角形性質(zhì)不同于我們印象中歐式幾何中的三角形。我們認(rèn)為三角形內(nèi)角和等于兩個直角。而在羅氏幾何中，三角形的內(nèi)角和小于兩個直角。更讓人驚奇的是，在羅氏幾何中，不同的三角形一般有不同的內(nèi)角和。換句話說，只要三角形的內(nèi)角和不同，它們的形狀就不同。由此可以得出在羅氏幾何中不存在歐式幾何內(nèi)角和相同，形狀相同的相似三角形。

三角形面積和兩直角與它的內(nèi)角和的差成正比。如果以S（△）表示三角形的面積，

以α、β、γ分別表示三角形的三個內(nèi)角，那么

這里，

叫做“虧損”?？梢钥吹?，三角形內(nèi)角和對π的虧損因它的面積增大而增大。也能看成，不存在面積任意大的三角形。當(dāng)內(nèi)角和趨近于0時，三角形的面積無限逼近Kπ。任何三角形面積永遠(yuǎn)不會超過Kπ。

在充分小的區(qū)域內(nèi)，羅氏幾何和歐氏幾何的差異很小。即在極小空間內(nèi)，羅氏幾何就退化成了歐幾里得幾何。下面以圓周長為例進(jìn)行具體說明：

圓周長度L不與半徑r成正比，而是更迅速地增長（在指數(shù)定律的基礎(chǔ)上），那就是說，下列公式成立：

（1）

這里k是依賴于長度單位的常數(shù)，因?yàn)?/p>

所以我們從公式（1）得：

（2）

唯有在區(qū)域足夠小，即r很小，或是k很大時，比值r/k很小時才以相當(dāng)?shù)木_性得出

，這是歐氏結(jié)合中的圓周的公式。

既然常數(shù)k越大，與歐幾里得幾何的差異越小，那么在極限情形，當(dāng)k無限變大時，羅氏幾何就變成了歐幾里得幾何。這就是說，歐幾里得幾何正好是羅氏幾何的極限情形。因而如果在羅巴切夫斯基幾何里添上了這個極限情形，則它也就包括了歐幾里得幾何，在這意義下它就顯得是更普遍的理論。由于這個緣故，羅巴切夫斯基把自己的理論命名為“泛幾何學(xué)”，即普遍的幾何學(xué)。理論之間的這種關(guān)系在數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的發(fā)展中經(jīng)常出現(xiàn)。

04羅氏幾何的直觀模型

從前面所列舉的羅氏幾何中的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀形象有矛盾。所以羅氏幾何中的一些幾何事實(shí)沒有像歐氏幾何那樣容易被人們接受，這也是羅氏幾何早期歷程如此艱難的重要原因。羅巴切夫斯基自己終其一生都沒能在歐氏幾何的已經(jīng)用慣的概念體系中建立羅氏幾何的比較簡單的現(xiàn)實(shí)意義。但是，后來的數(shù)學(xué)家們經(jīng)過研究，提出可以用我們習(xí)慣的歐氏幾何中的事實(shí)作一個直觀“模型”來解釋羅氏幾何是正確的，即克萊因模型。

克萊因模型非常簡單明了：在普通歐氏平面上取一個圓，并且只考慮圓的內(nèi)部。它約定圓的內(nèi)部叫“平面”，圓的弦叫“直線”（將弦的端點(diǎn)除外）。

圖5 克萊因模型

可以證明，這種圓內(nèi)部的普通（即歐氏）幾何事實(shí)就變成羅巴切夫斯基幾何的定理，反過來，羅氏幾何中的每個定理都可以解釋成圓內(nèi)部的普通幾何事實(shí)。例如，如果把羅氏幾何的幾何公設(shè)：過直線外一點(diǎn)可以做兩條以上直線不與已知直線相交，用克萊因的模型來敘述是下面這條顯然成立的命題：通過圓內(nèi)不在已知弦上的一點(diǎn)，至少可以引兩條弦不與已知弦相交。（具體見上圖）

通過觀察這個“模型”，使我們認(rèn)識到羅氏幾何的內(nèi)容可以理解成是歐氏幾何中圓內(nèi)的幾何學(xué)的獨(dú)特的命題，從而證實(shí)了羅氏幾何的現(xiàn)實(shí)意義。此外，也解答了歐氏幾何的平行公設(shè)不能由其他公設(shè)得到，否則歐氏幾何的平行公設(shè)在克萊因的“模型”中也一定成立，而事實(shí)卻并非如此。

05 羅氏幾何的意義

1.打破了兩千多年來歐氏幾何一統(tǒng)天下的局面，從根本上改變了人們的幾何觀。

2.擴(kuò)大了幾何學(xué)研究的對象（由圖像的性質(zhì)進(jìn)入抽象空間）。是數(shù)學(xué)從以直觀為基礎(chǔ)進(jìn)入到以理性為基礎(chǔ)的重要標(biāo)志。為幾何學(xué)的統(tǒng)一建立了前提。

3.對時間和空間的物理觀念的認(rèn)識產(chǎn)生重大影響，改變了歐氏幾何是描述物質(zhì)世界的唯一真理的看法。愛因斯坦的狹義相對論說明了時間與空間其實(shí)是處于一個連續(xù)區(qū)（閔可夫斯基空間），廣義相對論利用了黎曼幾何這個數(shù)學(xué)工具，揭示了宇宙結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)更接近于非歐幾何。

圖6 愛因斯坦

4.使數(shù)學(xué)哲學(xué)研究進(jìn)入了一個嶄新的時期。給康德唯心主義哲學(xué)以有力一擊，使數(shù)學(xué)從傳統(tǒng)的形而上學(xué)的束縛下解放出來。也為唯物主義的發(fā)展掃清了一些障礙。