|
羅巴切夫斯基 大連理工大學(xué) 杜瑞芝 羅巴切夫斯基，Н．И．(Лобачевский，НиколайИванович)1792年12月1日(俄歷11月20日)生于俄國(guó)下諾夫哥羅德(今高爾基城)；1856年2月14日卒于俄國(guó)喀山．?dāng)?shù)學(xué)． 尼古拉·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基出生在一個(gè)土地測(cè)量員的家庭，他是伊萬·馬克西莫維奇·羅巴切夫斯基(Лобачевский，Иван Максимович)和普拉斯科維亞·亞歷山德羅娃·羅巴切夫斯卡姆(Лоσачевская，Прасковья Александрова)的次子．伊萬·馬克西莫維奇是一個(gè)天主教徒，從外埠移居到下諾夫哥羅德，在當(dāng)?shù)氐姆瞰I(xiàn)節(jié)教堂供職．他體弱多病，早年去世．普拉斯科維亞·亞歷山德羅娃是一位頑強(qiáng)而開明的婦女，她竭盡全力維持家計(jì)，并送三個(gè)兒子(亞歷山大(Александр)、尼古拉和阿列克謝(Але－ксей))到喀山中學(xué)寄讀．從此以后，羅巴切夫斯基一直在喀山學(xué)習(xí)和工作． 羅巴切夫斯基用4年時(shí)間讀完了中學(xué)課程．在此期間，他得到數(shù)學(xué)教師Г．И．卡爾塔舍夫斯基(Карташевский)的特別指導(dǎo)，激發(fā)了他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣．1807年春進(jìn)入喀山大學(xué)．在這里他聽過許多著名教授的課，特別是C．F．高斯(Gauss)的朋友、數(shù)學(xué)教授J．M．Ch．巴特爾斯(Bartels)和天文學(xué)教授 И．?。亓_夫(Литтров)對(duì)羅巴切夫斯基有很大影響．在大學(xué)期間， 他掌握了多種外語，并系統(tǒng)地研讀了一等數(shù)學(xué)家的原著，在數(shù)學(xué)方面表現(xiàn)出特殊的才能．年輕的羅巴切夫斯基富于幻想、倔強(qiáng)并有些自命不凡．這種性格使他經(jīng)常違反學(xué)校紀(jì)律．學(xué)校的行政領(lǐng)導(dǎo)曾指責(zé)他的行為具有“無神論的特征”，是“令人憤怒的”．但他的特殊才能和優(yōu)異的學(xué)習(xí)成績(jī)一向?yàn)榻淌趥兯蕾p，在他們的庇護(hù)下，羅巴切夫斯基順利地結(jié)束了學(xué)業(yè)，于1811年獲得物理數(shù)學(xué)碩士學(xué)位，并留校工作．1814年任教授助理，1816年升為額外教授，1822年成為常任教授．從1818年起，羅巴切夫斯基開始擔(dān)任行政職務(wù)，最先被選進(jìn)喀山大學(xué)校委會(huì)，他很快成為最積極工作的委員．1822年擔(dān)任新校舍工程委員會(huì)委員，1825年被推選為該委員會(huì)的主席．在這期間，還曾兩度擔(dān)任物理數(shù)學(xué)系主任(1820—1821，1823—1825)．由于羅巴切夫斯基的工作成績(jī)卓著，在1827年，大學(xué)校委會(huì)決定選舉他擔(dān)任喀山大學(xué)校長(zhǎng)．當(dāng)時(shí)正是俄國(guó)反動(dòng)勢(shì)力和宗教統(tǒng)治的囂張時(shí)期之后，由于他的出色工作，數(shù)年之后喀山大學(xué)成為俄國(guó)的第一流學(xué)府． 羅巴切夫斯基擔(dān)任大學(xué)校長(zhǎng)期間(1827—1846)，不僅顯示出他卓越的行政管理才能，而且表現(xiàn)了他所獨(dú)具的教育家的天才．他曾把喀山大學(xué)從火災(zāi)和傳染病流行等混亂不堪的狀態(tài)中挽救出來．在他的領(lǐng)導(dǎo)下，建造了許多校舍(教學(xué)樓、圖書館、天文臺(tái)等)，充實(shí)了圖書館的藏書，他還親自擔(dān)任過圖書館館長(zhǎng)(1825—1835)．作為一位杰出的教育家，羅巴切夫斯基認(rèn)真研究并寫出了許多有關(guān)教學(xué)法的著作．他還對(duì)幾乎所有系的教學(xué)工作給予了極大的支持和影響．所有這些，使羅巴切夫斯基成為喀山大學(xué)全體師生思想上的鼓舞者，他的工作奠定了喀山大學(xué)興盛和發(fā)達(dá)的基礎(chǔ)． 在辭去大學(xué)校長(zhǎng)的職務(wù)之后，羅巴切夫斯基被任命為喀山學(xué)區(qū)的督學(xué)助理．在他的晚年，由于眼睛鞏膜病變，導(dǎo)致雙目失明． 羅巴切夫斯基在1832年與貴族小姐瓦爾瓦拉·阿列克謝耶夫娜·莫伊謝耶娃(Варвара Алексеевна Моисеева)結(jié)婚，他們共有7個(gè)子女．當(dāng)羅巴切夫斯基的工作得到公認(rèn)后，他被封為世襲貴族，他為自己的家族設(shè)計(jì)了族徽，其圖案象征著智慧、勤勞、輕捷和歡樂． 羅巴切夫斯基的科學(xué)活動(dòng)和創(chuàng)造與他的唯物主義的認(rèn)識(shí)論有密切聯(lián)系．他的青少年時(shí)代正是法國(guó)唯物主義哲學(xué)傳入俄國(guó)的時(shí)期，他的世界觀在西方進(jìn)步哲學(xué)的影響下形成和發(fā)展．他堅(jiān)定地相信“真理來源于客觀實(shí)踐而不是主觀認(rèn)識(shí)，…一切生活現(xiàn)象首先通過感覺被我們接受，而由感覺所得到的知識(shí)(感性認(rèn)識(shí))必須經(jīng)過理性的抽象整理”．他正確地提出了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系問題，駁斥了康德的先驗(yàn)論的唯心主義見解．羅巴切夫斯基認(rèn)為，最初的數(shù)學(xué)抽象，包括幾何學(xué)的基礎(chǔ)概念在內(nèi)，反映了最普遍和最簡(jiǎn)單的現(xiàn)實(shí)關(guān)系及物質(zhì)世界的特征．想把數(shù)學(xué)從單純理智的體系中推導(dǎo)出來是全然無效的．他在自己的科學(xué)活動(dòng)中始終如一地貫徹這種思想． 羅巴切夫斯基最重要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了一種新的幾何體系，這是第一種非歐幾何學(xué)，現(xiàn)在通稱為羅巴切夫斯基幾何學(xué)．自從歐幾里得《幾何原本》問世以來，歷代數(shù)學(xué)家都為其中的平行公設(shè)所困惑，許多學(xué)者都嘗試用歐幾里得其他公設(shè)來證明平行公設(shè)，結(jié)果都?xì)w失?。_巴切夫斯基從1816年開始試作平行公設(shè)的證明，后來發(fā)現(xiàn)了其中的錯(cuò)誤．1823年他完成了自己第一部有關(guān)著作《幾何學(xué)》(Геомерии)．這是一本獨(dú)出心裁的教科書、反映了羅巴切夫斯基關(guān)于幾何學(xué)基礎(chǔ)的深刻思想．在這本書中，他把全部幾何命題按是否依賴于平行公設(shè)分為兩部分．不靠平行公設(shè)得到證明的命題的總體，現(xiàn)在通常稱為“絕對(duì)幾何學(xué)”．在《幾何學(xué)》的前5章里，羅巴切夫斯基闡述了絕對(duì)幾何學(xué)的命題，然后轉(zhuǎn)向不用平行公設(shè)無法證明的定理．這種原則上的劃分正是羅巴切夫斯基進(jìn)一步研究的基礎(chǔ)．但是，當(dāng)《幾何學(xué)》送交科學(xué)院院士Н．И．富斯(Фусс)審定時(shí)，卻遭到了尖銳的批評(píng)，因而未能及時(shí)付?。? 在證明平行公設(shè)的嘗試屢遭失敗后，羅巴切夫斯基確立了平行公設(shè)不依賴于歐幾里得其他公設(shè)的信念．他提出了與歐幾里得平行公設(shè)對(duì)立的平行公設(shè)，并由此經(jīng)過嚴(yán)密的推導(dǎo)得到一系列命題，構(gòu)成了邏輯上無矛盾且與絕對(duì)幾何學(xué)不相沖突，但又和歐幾里得幾何不同的新幾何體系．他稱這種新的體系為“虛幾何學(xué)”(воображаемаЯ ГеОметрия)． 在1826年 2月11日(新歷 23日)物理數(shù)學(xué)系的學(xué)術(shù)會(huì)議上，羅巴切夫斯基做了題為“附有平行線定理的一個(gè)嚴(yán)格證明的幾何學(xué)原理簡(jiǎn)述”(Cжатое иэложениеначал геометрии со строгим цокаэателы о парчалльных)的報(bào)告，闡明了他所發(fā)明的“虛幾何學(xué)”原理．這一天被后人公認(rèn)為非歐幾何學(xué)誕生的日子．由于羅巴切夫斯基所提出的公設(shè)與通常的直覺不一致，他所建立的命題初看起來又近乎荒誕，因此他的報(bào)告沒有引起任何人的興趣，甚至連原稿也被遺失了． 1829—1830年羅巴切夫斯基在喀山大學(xué)《喀山通訊》(ка-энский вестник)上發(fā)表了研究論文“論幾何學(xué)原理”(о-нача-лах геометрии)，其中前三分之一的內(nèi)容是屬于 1826年的論文的． 這是最早的非歐幾何文獻(xiàn)．《喀山通訊》只是一種地區(qū)性的刊物，所以這篇論文仍未得到廣泛的注意． 但是羅巴切夫斯基沒有灰心，他不屈不撓地繼續(xù)進(jìn)行研究．幾年之后，他在《喀山大學(xué)學(xué)報(bào)》(ученые записки казанского университета)上發(fā)表數(shù)篇文章，系統(tǒng)論述非歐幾何學(xué)的原理及應(yīng)用：“虛幾何學(xué)”(1835)、“虛幾何學(xué)在某些積分中的應(yīng)用”(при-менение воображаемойгеометрии1836)、“具有完善的平行線理論的新幾何學(xué)原理”(1835—1838)等．1837年， 他把修改后的“虛幾何學(xué)”譯成法文“Géométrie imaginaire”發(fā)表在《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Journal für die reine und angewan-dte Mathematik， 17(1837)，pp．295—320)上． 1840年，他用德文出版了另一本書《平行線理論的幾何研究》(Geometrische Untersu－chungen zur Theorie der Parallellinien)，向國(guó)外介紹自己的學(xué)說．高斯對(duì)這本書十分欣賞，并在1842年推薦羅巴切夫斯基成為格丁根科學(xué)協(xié)會(huì)成員．1855年，羅巴切夫斯基已雙目失明，但他仍不放棄發(fā)表自己的見解，口授完成了《泛幾何學(xué)》一書，分別用俄文(Пангеометрия，1855)和法文(Pangéométrie，1856)發(fā)表． 羅巴切夫斯基在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域也做出了許多貢獻(xiàn)．在分析領(lǐng)域中，他最先確立了函數(shù)的連續(xù)性和可微性的區(qū)別，在三角級(jí)數(shù)論和Г-函數(shù)論中也得到一些重要結(jié)果；在代數(shù)學(xué)方面，他建立了高次代數(shù)方程的一種 在兩方面的主要論著有《代數(shù)學(xué)或有限運(yùn)算》(Алгбра или и，слеские конечных數(shù)的消失》(об исчезноении，триескихстрок1834)、《無窮級(jí)數(shù)的收斂性》(О схоцимост Бесконечыхряцв，1841)和《某些定積分的值》(означен некотрых опрецеленных интегралов1852)等 羅巴切夫斯基幾何學(xué) 羅巴切夫斯基發(fā)表的幾種非歐幾何的論著內(nèi)容大體相似，只在某些細(xì)節(jié)上有所不同，我們將把它們綜合起來說明羅氏幾何(即羅巴切夫斯基幾何，以下同)的基本內(nèi)容． 羅氏幾何與歐氏幾何(即歐幾里得幾何，以下同)的基本差異是關(guān)于平行線的公設(shè)(簡(jiǎn)稱平行公設(shè)或平行公理)．歐幾里得的平行公設(shè)是：如果一條直線與另外兩條直線相交，在前者同側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于兩直角，則后二者必在內(nèi)角之和小于兩直角的一側(cè)相交．從這個(gè)公設(shè)容易得到與它等價(jià)的下列定理：“通過直線 AB外一點(diǎn) C在平面ABC上可作且僅可作一條直線與AB不相交”．羅巴切夫斯基采用了與這個(gè)定理相反的假設(shè)作為新幾何學(xué)的基礎(chǔ)：“通過直線AB外一點(diǎn)C在平面ABC上至少可以作兩條直線與AB不相交．”這個(gè)假設(shè)叫作羅氏公設(shè)，實(shí)施羅氏公設(shè)的平面叫羅氏平面．由羅氏公設(shè)出發(fā)可以直接得到下列結(jié)果：通過點(diǎn)C在平面ABC內(nèi)可以作無窮多條直線與AB不相交．事實(shí)上，過點(diǎn)C的所有直線關(guān)于AB而言可分為兩類：一類與AB相交，另一類不相交．羅巴切夫斯基斷言：存在兩條邊界直線，它們把過C的兩類直線分開，并且屬于與AB不相交的直線類(圖1)．羅巴切夫斯基稱這兩條邊界直線為已知直線AB的平行線．這個(gè)定義是在他的《平行線理論的幾何研究》中給出的． 事實(shí)上，如果從點(diǎn)C作直線AB的垂線CD，設(shè)CD長(zhǎng)為δ，那么存在一個(gè)與δ有關(guān)的角π(δ)，使得所有過C點(diǎn)的直線，當(dāng)它與CD所成的角小于π(δ)時(shí)將與AB相交，否則不與AB相交．與CD成角π(δ)的兩條直線是AB的平行線，除此而外、過C而不與AB相交的直線稱為AB的不相交直線(也稱為發(fā)散線或超平行線)．按歐氏幾何的涵義，不相交即平行，所以在這個(gè)意義上講，在羅氏平面中，過直線AB外一點(diǎn)可以有無窮多條直線與AB平行．角π(δ)稱為線段CD 明，平行角α=π(δ)與平行距離δ之間的函數(shù)關(guān)系是 這里k是依賴于單位長(zhǎng)度的常數(shù)，α=π(δ)稱為羅巴切夫斯基函數(shù)．由關(guān)系式(1)可以立即看出：當(dāng)δ=0時(shí) 在歐氏幾何中，平行線間的距離是個(gè)常數(shù)，但在羅氏幾何中情形卻大不相同．設(shè)EF是過直線AB外一點(diǎn)C與AB平行的直線，考察直線EF上一點(diǎn)X到直線AB的距離(圖2)，可以證明，當(dāng)X沿CE方向(∠DCE為平行角)向右移動(dòng)時(shí)，它到AB的距離(即垂線段的長(zhǎng)度)不僅逐漸變小，而且當(dāng)X趨向無限遠(yuǎn)處時(shí)，還要趨向于零！這就是說，平行直線EF與AB在CF方向逐漸地逼近．同樣可以證明，當(dāng)X向相反方向移動(dòng)時(shí)，X與AB的距離不僅增大，而且趨向無窮． 因此，在歐氏平面上描繪羅氏平行線時(shí)，通常把它們畫成漸近線．還應(yīng)該指出，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)可以作兩條直線與已知直線平行，所以應(yīng)該區(qū)別平行線的方向，使兩條平行線逐漸接近的方向規(guī)定為平行線的方向． 在羅氏幾何中，還有許多不同于歐氏幾何的定理、列舉幾個(gè)如下： 1．如果兩條直線與第三條直線相交，內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線是發(fā)散的． 2．兩條平行線與第三條直線相交，在平行方向上的同旁內(nèi)角之和小于兩直角． 3．三角形內(nèi)角之和小于π，并且當(dāng)三角形面積無限增大時(shí)，其內(nèi)角 數(shù)，以下同)，α，β，γ為三角形的三個(gè)角，則有 α+β+γ=π+ KS，(2) 由此可見，三角形面積越小，其內(nèi)角和越接近于π也就是說，在極小的三角形里，羅氏幾何與歐氏幾何很相似．如果用△表示三角形的角欠——π與三角形各角和之差，那么由(2)式可得 S=k2·△． 4．在羅氏幾何中，不存在不相等的相似三角形，即如果兩個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么它們就全等． 5．如果兩條直線a，b具有公垂線d，那么它們將在公垂線的兩側(cè)無限遠(yuǎn)離；并且在其中任一條直線，例如b上，可以作兩條垂線c，c′，使它們平行于直線a(圖3)． 6．半徑無限增大的圓周的極限不是直線，而是一種特殊曲線，叫作極限圓． 7．到一條直線等距離的點(diǎn)的軌跡不是直線，而是一條特殊曲線，叫作等距線． 8．通過三點(diǎn)并不總能作一個(gè)圓，而能夠作的或者是一個(gè)圓，或者是一個(gè)極限圓，或者是一條等距線． 9．半徑無限增大的球面不是平面而是一種特殊曲面，叫作極限球面．在極限球面上的幾何恰好就是歐氏平面幾何，這也是羅巴切夫斯基推導(dǎo)三角公式的基礎(chǔ)． 10．圓周長(zhǎng)l與半徑r不成正比，而是更迅速地增長(zhǎng)，它們之間的關(guān)系是 l=πk(er/k-e-r/k)， (3) 利用er/k和e-r/k的泰勒展開式，由(3)式可得 (4)式表明，當(dāng)半徑r很小或常數(shù)k足夠大時(shí)，圓的周長(zhǎng)就很接近2πr． 羅氏幾何的一個(gè)重要性質(zhì)在于：在充分小的區(qū)域內(nèi)，它與歐氏幾何差異很小，這是因?yàn)?，區(qū)域的縮小形式上等價(jià)于單位長(zhǎng)度的增大，這也相當(dāng)于常數(shù)k變大．那么在極限情形，當(dāng)k→∞時(shí)，由(1)式可知對(duì) ；由(2)式可知 α＋β＋γ→π，即三角形內(nèi)角之和的極限是π；由(4)式可知 l→ 2πr，即圓周長(zhǎng)與直徑之比的極限為π．這就是說，當(dāng)k無限變大時(shí)，羅氏幾何就變成了歐氏幾何，或者說歐氏幾何正好是羅氏幾何的極限情形．因而，如果在羅氏幾何中添加上這個(gè)極限情形，則它也就包括了歐氏幾何．在這個(gè)意義下，羅氏幾何就顯得是更普遍的幾何學(xué)．正因?yàn)檫@個(gè)緣故，羅巴切夫斯基把自己的幾何體系命名為“泛幾何學(xué)”，即普遍的幾何學(xué)． 在羅氏幾何中還有與歐氏幾何完全不同的刻劃三角形邊角關(guān)系的正弦定理和余弦定理．這些公式羅巴切夫斯基是在《論幾何學(xué)基礎(chǔ)》中給出的．他在這篇文章中指出：“這些等式可以從球面三角學(xué)中的等式轉(zhuǎn) 而在通常的幾何學(xué)和球面三角學(xué)中到處都有相同的線段比，因此，通常的幾何學(xué)、三角學(xué)和新幾何學(xué)將永遠(yuǎn)是彼此一致的．” 這就是說，如果我們對(duì)半徑是r的球?qū)懗稣叶ɡ?、余弦定理和余弦?duì)偶定理如下： 那么羅氏平面中的三角公式可以如此得到：把三角形的三邊a，b，c分別換成乘積ai，bi，ci，因?yàn)檫呴L(zhǎng)a，b，c乘以i相當(dāng)于球的半徑乘以i，所以若設(shè)r=ki，并利用關(guān)系式 cos(ix)=chx， sin(ix)＝ ishx， 那么，羅氏平面中的相應(yīng)公式可寫為： 羅巴切夫斯基在他的文章中并沒有使用雙曲函數(shù)chx和shx，而使用他所 基為什么又把自己的新幾何學(xué)叫“虛幾何學(xué)”，它的引入正像數(shù)系中虛數(shù)的引進(jìn)一樣． 羅巴切夫斯基從以上事實(shí)中看到了他所發(fā)現(xiàn)的幾何學(xué)的無矛盾性．事實(shí)上，如果采用下列方法，可以使這種思想變得極其嚴(yán)格：在歐氏空間中引進(jìn)虛點(diǎn)，產(chǎn)生所謂復(fù)歐氏空間，在這種空間中規(guī)定純虛半徑的球面，并在這種球面上討論具有實(shí)直角坐標(biāo)x和y以及純虛坐標(biāo)z的點(diǎn)集．這種空間里的虛半徑的球面顯然是雙葉雙曲面，它的每一葉都是羅氏平面的模型，這模型的結(jié)構(gòu)證明它本身是無矛盾的． 羅巴切夫斯基否定了歐幾里得平行公設(shè)，但是并沒有發(fā)生任何矛盾，因此他得出“歐氏幾何不是唯一可想象出的幾何學(xué)”的結(jié)論．但是，他始終認(rèn)為“不應(yīng)該信賴天賦的感覺所產(chǎn)生的概念”，因此提出通過實(shí)驗(yàn)來確定哪一種幾何學(xué)在現(xiàn)實(shí)中成立．于是，他決定在非常大的三角形中測(cè)量各角．考慮由地球在它的軌道上兩個(gè)對(duì)徑點(diǎn)和天狼星所組成的三角形，他根據(jù)當(dāng)時(shí)最新的天文歷法計(jì)算，確定這個(gè)三角形的一個(gè)角是直角，另一個(gè)角則是平行角．測(cè)量結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該三角形的內(nèi)角和不等于π，它與π有一個(gè)小的偏差，但是這個(gè)偏差小于當(dāng)時(shí)所允許的觀察誤差．所以他認(rèn)為現(xiàn)實(shí)世界可能是歐氏幾何的．這就解釋了他為什么在1826年的報(bào)告中附有“平行線定理的一個(gè)嚴(yán)格證明”．盡管如此，他認(rèn)為可以規(guī)定上述偏差的大小，然后在此基礎(chǔ)上建立新的平行線理論．羅巴切夫斯基在他后來的《具有完善的平行線理論的新幾何學(xué)原理》中預(yù)言，他的幾何學(xué)會(huì)在“分子引力的密接球面”上得到應(yīng)用． 幾乎與羅巴切夫斯基同時(shí)，匈牙利數(shù)學(xué)家J．波爾約(JanosBolyai)也發(fā)現(xiàn)了平行公設(shè)的不可證明性和非歐幾何的原理，并在1832年，把他的發(fā)現(xiàn)作為附錄發(fā)表在他父親F．波爾約(FarkasBolyai)的幾何著作中．F．波爾約把這個(gè)附錄寄給高斯評(píng)閱，高斯認(rèn)為這個(gè)青年“有極高的天才”，但是他不能稱贊這項(xiàng)工作，因?yàn)槟窍喈?dāng)于稱贊他自己，J．波爾約的發(fā)現(xiàn)與他自己40年來(1792年以來)思考所得的結(jié)果不約而同．高斯的態(tài)度對(duì)J．波爾約無疑是一個(gè)沉重的打擊，從此他再?zèng)]有做進(jìn)一步的研究．至于高斯本人，雖然比較早地得到了非歐幾何的要領(lǐng)，但他過于小心謹(jǐn)慎，怕引起“蠢人的叫喊”，而在生前沒有公開發(fā)表過有關(guān)論著． 因此，雖然現(xiàn)在一般認(rèn)為非歐幾何是由這三位學(xué)者彼此獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)的，但就發(fā)表時(shí)間之早，論證的完整和內(nèi)容的豐富，以及對(duì)新幾何學(xué)始終不渝的捍衛(wèi)來說，要首推羅巴切夫斯基． 羅巴切夫斯基幾何的確認(rèn) 羅巴切夫斯基的發(fā)現(xiàn)在他生前沒有得到社會(huì)的公認(rèn)．前面已經(jīng)提到，他在1826年的報(bào)告沒有引起任何人的興趣，當(dāng)他的報(bào)告送交評(píng)委會(huì)審閱時(shí)，沒有人能作出結(jié)論．1832年，他把“論幾何學(xué)原理”一文送交圣彼得堡科學(xué)院，由數(shù)學(xué)家М．В．奧斯特羅格拉茨基(Остроградский)審查，可是這位著名的學(xué)者對(duì)羅巴切夫斯基的發(fā)現(xiàn)很不理解，他在1832年11月7日對(duì)這篇論文給科學(xué)院一個(gè)很不公正的答復(fù)，其結(jié)論是：“羅巴切夫斯基先生的論著不值得科學(xué)院去注意．”奧斯特羅格拉茨基還在1834年出版了一本嘲笑羅巴切夫斯基論文的小冊(cè)子．高斯雖然十分欣賞羅巴切夫斯基1840年用德文寫的非歐幾何著作，還專門學(xué)俄文來讀他的原著，但他生前沒有公開發(fā)表過對(duì)非歐幾何的支持意見． 高斯去世不久，1860—1865年，他的通信錄發(fā)表，他在給天文學(xué)家H．K．舒馬赫(Schumacher)的信中對(duì)羅巴切夫斯基的《平行線理論的幾何研究》推崇備至，從此羅巴切夫斯基的發(fā)現(xiàn)才逐漸引起數(shù)學(xué)界的重視．1866年在波爾多和巴黎出版了由G．J．烏埃爾(Hoüel)翻譯的《平行線理論的幾何研究》的法文譯本，附有高斯與舒馬赫通信的摘錄．不久，這本書被譯成俄文，在莫斯科的一家雜志上發(fā)表．評(píng)論羅巴切夫斯基的生活和貢獻(xiàn)的文章也開始出現(xiàn)． 但是，羅氏幾何的真正確認(rèn)是在1868年．這一年，意大利幾何學(xué)家E．貝爾特拉米(Beltrami)發(fā)表了著名的論文“非歐幾何解釋的嘗試”(Saggio di interpretarione della geometria noneuclidea， Giornale di Matem．，Vol．，6，pp．284—312，1868)．在這篇文章中，貝爾特拉米從波蘭(-俄國(guó))數(shù)學(xué)家F．明金(Minding)的工作出發(fā)，給出了羅氏幾何的直觀解釋．明金在1839年的文章中證明：如果兩個(gè)曲面有相等的常曲率，那么可以把其中一個(gè)等距映射到另一個(gè)上．他雖然研究了負(fù)常數(shù)曲率的曲面，但沒考慮到它和羅氏平面的關(guān)系．貝爾特拉米通過計(jì)算， 的常數(shù)，也稱羅氏幾何的參數(shù))．這表明羅氏平面可以看作是負(fù)常數(shù)曲率的曲面，因此羅氏幾何應(yīng)該與負(fù)常數(shù)曲率的曲面的幾何相符合．為此，他效仿明金，考慮由一條曳物線繞其漸近線旋轉(zhuǎn)而生成的偽球面(圖4)，這是一個(gè)負(fù)常數(shù)曲率的曲面．在某些約定下，貝爾特拉米建立了該偽球面與局部羅氏平面間的等距關(guān)系．也就是說，對(duì)于羅氏平面上的部分區(qū)域來說，羅氏幾何的每一種論斷，都有偽球面內(nèi)蘊(yùn)幾何的直接事實(shí)．羅氏幾何正是偽球面上抽象地?cái)⑹龅臍W氏幾何學(xué)． 貝爾特拉米還證明，整個(gè)羅氏平面的幾何可以在歐氏平面上一個(gè)圓的內(nèi)部實(shí)現(xiàn)．在偽歐氏空間中，把一個(gè)虛半徑的半球面從其中心投影到與這半球相切的歐氏平面上，就可以導(dǎo)出他的這種解釋．但是貝爾特拉米沒有建立任意兩點(diǎn)間的距離公式，也沒有搞清如何表示羅氏平面的運(yùn)動(dòng)． 整個(gè)羅氏平面的幾何模型是由德國(guó)數(shù)學(xué)家Ch．F．克萊因(Klein) ber die sogenannte nicht－euklidische Geometrie)中，拓廣了英國(guó)數(shù)學(xué)家A．凱萊(Cayley)在1859年提出的射影度量的概念，建立了射影度量與非歐幾何的關(guān)系．他指出，歐氏幾何與非歐幾何都可以用純射影的方法構(gòu)造出來，并提供了羅氏幾何的所謂射影模型．按照克萊因的方法，羅氏平面可看作射影平面上一個(gè)圓錐曲線的內(nèi)部，當(dāng)這圓錐曲線是圓時(shí)，羅氏平面在射影平面上的表示與貝爾特拉米的解釋相同．根據(jù)這種表示，羅氏平面上的點(diǎn)是圓內(nèi)的點(diǎn)，直線是圓的弦，平行線由相交于圓周上的弦來表示，發(fā)散直線由不相交的弦表示，等等．克萊因給出了兩點(diǎn)間的距離和角的大小的射影定義，使圓內(nèi)部的點(diǎn)、弦以及其他圖形滿足羅氏幾何的公理．這樣一來，所有羅氏幾何中的論斷都是歐氏幾何中的定理．因而，羅氏幾何的相容性歸結(jié)為歐氏幾何的相容性．對(duì)高維羅氏空間也有同樣的解釋． 1882年，法國(guó)數(shù)學(xué)家H．龐加萊(Poincaré)聯(lián)系自守函數(shù)的研究，給出了另一種模型，也證明了羅氏幾何的相容性．他仍取圓的內(nèi)部作為羅氏平面，但卻把垂直于已知圓周的圓弧看作直線，運(yùn)動(dòng)是把圓變成自身的反演．1887年龐加萊提出了羅氏幾何的第二種解釋，羅氏平面用雙葉雙曲面表示，就是前文提到的虛半徑的半球面． C．F．B．黎曼(Riemann)對(duì)羅氏幾何的發(fā)展也做出了重要貢 pothesen， welche der Geometrie zu Grunde liegen)中，發(fā)揚(yáng)了高斯關(guān)于曲面的微分幾何的研究，建立了黎曼空間的概念，并把歐氏幾何和羅氏幾何包羅在他的體系之中．正常數(shù)曲率的黎曼空間(即黎曼橢球空間)，可由某個(gè)球面上的幾何表示，羅氏平面顯然是負(fù)常數(shù)曲率的黎曼空間．克萊因在1871年的論文中，發(fā)揮了上述思想，對(duì)所有的幾何學(xué)進(jìn)行綜合表述，稱負(fù)常數(shù)曲率的曲面上的羅氏幾何為雙曲幾何，正常數(shù)曲率的曲面上的黎曼幾何為橢圓幾何，歐氏幾何為拋物幾何．在1872年克萊因的《新幾何研究的比較分析》(Vergleichende Betrachtungen über neuere geo－metrische Forschungen，即著名的《埃朗根綱領(lǐng)》)中，他又從變換群的觀點(diǎn)出發(fā)，對(duì)各種幾何進(jìn)行分類．每種幾何都由變換群所刻劃，可以看做是某種變換群的不變量理論． 以上這些工作不僅使羅氏幾何最終獲得普遍承認(rèn)，而且使人們認(rèn)識(shí)到這項(xiàng)最富革命性的創(chuàng)造的歷史意義．羅氏幾何的創(chuàng)立，打破了兩千多年來歐氏幾何的一統(tǒng)天下，從根本上革新和拓廣了人們對(duì)幾何學(xué)觀念的認(rèn)識(shí)，為幾何學(xué)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用開辟了嶄新的途徑．羅氏幾何的創(chuàng)立，還導(dǎo)致幾何學(xué)基礎(chǔ)的深入研究．1899年D．希爾伯特(Hilbert)建立了歐氏幾何的公理體系，這種研究方法很快擴(kuò)展到許多數(shù)學(xué)分支，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的公理化運(yùn)動(dòng)．羅氏幾何的創(chuàng)立對(duì)本世紀(jì)初物理學(xué)中所發(fā)生的時(shí)空觀念的改革也起了重大作用．羅氏幾何首先提出了彎曲的空間，它為更廣泛的黎曼幾何的產(chǎn)生創(chuàng)造了前提，而黎曼幾何后來成為愛因斯坦廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)工具．人們?cè)趶V義相對(duì)論的基礎(chǔ)上研究宇宙結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)宇宙結(jié)構(gòu)更接近于羅氏幾何，所以許多人采用羅氏幾何作為宇宙的幾何模型． |
|
|
