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已有 2127 次閱讀 2015-2-26 12:17 |系統(tǒng)分類:科普集錦|關(guān)鍵詞:羅巴切夫斯基 非歐幾何 發(fā)現(xiàn)者

1829年2月23日一個(gè)尋常的下午，俄羅斯喀山大學(xué)的物理數(shù)學(xué)系學(xué)術(shù)會(huì)議上，羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovich Lobachevsky 1792-1856）有些激動(dòng)而又忐忑地宣讀著他的關(guān)于幾何的論文——《幾何學(xué)原理及平行線定理嚴(yán)格證明的摘要》。參加這次學(xué)術(shù)會(huì)議的學(xué)者不乏著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、科學(xué)院院士等。

然而，這位年輕的數(shù)學(xué)教授像是喝醉了，說(shuō)的全是“胡話”。比如三角形內(nèi)角和小于180度、三角形面積越大內(nèi)角越小、向銳角的一邊作垂線延長(zhǎng)后可以不和另一邊相交…不僅荒誕離奇，而且與歐幾里得《幾何原本》相抵觸。最讓人吃驚的是這些“胡言亂語(yǔ)”竟然從一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)教授口中說(shuō)出，著實(shí)令聽(tīng)眾瞠目。他滔滔不絕談?wù)摰膸缀尾坏c人們的經(jīng)驗(yàn)感知相違背，而且與有著兩千多年的漫長(zhǎng)歷史、輝煌成就的歐氏幾何矛盾。誰(shuí)會(huì)讓自己被這些離奇不經(jīng)的論斷“忽悠”呢？

你可以想象當(dāng)時(shí)聽(tīng)眾的表情，大多在搖頭，即使是最寬容的聽(tīng)眾也流露出不解的神情。論文宣講后，羅巴切夫斯基請(qǐng)?jiān)谧耐泻蛯＜姨崽嵋庖?jiàn)，誰(shuí)知會(huì)場(chǎng)竟然陷入長(zhǎng)時(shí)間的沉默，沒(méi)有人發(fā)言或評(píng)論。會(huì)后的專家鑒定意見(jiàn)無(wú)疑否定的，最后據(jù)說(shuō)居然把論文原稿還弄丟了。

然而，正是這篇突破性的論文的問(wèn)世，標(biāo)志著非歐幾何的誕生。這個(gè)尋常的日子成為它的生日。標(biāo)志著古老的幾何學(xué)從經(jīng)典走向了現(xiàn)代，并開(kāi)啟了一個(gè)科學(xué)的新時(shí)代。

羅巴切夫斯基的發(fā)現(xiàn)無(wú)疑是突破性的，但為何不僅無(wú)人喝彩，后來(lái)還遭到詆毀中傷呢？

這還要從歐幾里得著名的《幾何原本》說(shuō)起。公元前三世紀(jì)，尼羅河三角洲北端的亞歷山大城的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得，集前人幾何研究之大成，寫(xiě)了一部由定義、公理出發(fā)，根據(jù)嚴(yán)密的邏輯，推導(dǎo)出初等幾何的全部定理和命題。全書(shū)共計(jì)13卷。2000多年以來(lái)，被無(wú)數(shù)自然哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家奉為至高無(wú)上的經(jīng)典，具有極其深遠(yuǎn)的影響。這種公理體系的邏輯推理方式也影響了后世，如牛頓著名的《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》等科學(xué)著作。書(shū)的開(kāi)篇就陳述了23個(gè)定義(Definitions) 、5條公理(Postulates)、5條公設(shè)(CommonNotions)。

其中五條公理是：

1.等于同量的量彼此相等；

2.等量加等量，其和相等；

3.等量減等量，其差相等；

4.彼此能重合的物體是全等的；

5.整體大于部分。

五條公設(shè)是：

1.過(guò)兩點(diǎn)能作且只能作一直線；

2.線段(有限直線)可以無(wú)限地延長(zhǎng)；

3.以任一點(diǎn)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑,可作一圓；

4.凡是直角都相等；

5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于180°，則這兩條直線經(jīng)無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)一定相交。

其中最后一條公設(shè)就是著名的第五公設(shè)也叫做平行公設(shè)。也可以等價(jià)的表示成為容易理解的形式：即過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與原直線平行。等等！也許你會(huì)追問(wèn)公理和公設(shè)是從哪里來(lái)的呢？好問(wèn)題。據(jù)說(shuō)提問(wèn)環(huán)節(jié)凡是不容易回答的問(wèn)題都會(huì)先得到這樣的回復(fù)。從上面的羅列你會(huì)注意到，公理是那些極簡(jiǎn)的、必然的觀念或共識(shí)，被認(rèn)為是純粹的、先驗(yàn)的真理，并且與人類無(wú)數(shù)次的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)相一致。公理不像公設(shè)那樣局限于幾何，近代幾何不區(qū)分公設(shè)、公理，統(tǒng)稱公理。

后世學(xué)者對(duì)《幾何原本》中五個(gè)公理和前四個(gè)公設(shè)都是很放心的，唯獨(dú)對(duì)第五個(gè)公設(shè)總覺(jué)得不踏實(shí)，提出了質(zhì)疑。并不是懷疑它的真實(shí)性，因?yàn)樗膬?nèi)容和形式與前面幾條不同，用途也遠(yuǎn)不如前面幾條廣泛，而認(rèn)為它像個(gè)可以被證明的定理，只不過(guò)由于歐幾里得沒(méi)能將它證明，才不得不把它放在公設(shè)之列。因此自公元前3世紀(jì)起到19世紀(jì)初，很多人耗費(fèi)了無(wú)數(shù)的精力曾試圖用前幾條公設(shè)證明之，從而把它變成一個(gè)定理，但都沒(méi)有成功。

羅巴切夫斯基正是兩千余年來(lái)試圖解決歐氏第五公設(shè)問(wèn)題的過(guò)程中的一個(gè)數(shù)學(xué)家，能有幸走上發(fā)現(xiàn)之路，與他不懈的思考分不開(kāi)。

他原本想用數(shù)學(xué)中常用的反證法來(lái)證明，即假設(shè)過(guò)一點(diǎn)可以作兩條以上的直線與原直線平行，這樣只要推出的結(jié)論與已知的公理或定理矛盾就可以說(shuō)明其假設(shè)的錯(cuò)誤，也就是佯謬，從而反證出的正確，從而把其從公設(shè)中剔除。但他經(jīng)過(guò)長(zhǎng)久的證明推導(dǎo)后來(lái)發(fā)現(xiàn)，歐幾里得第五公設(shè)是獨(dú)立的，不可能由歐幾里得的其他公理給予證明。這原本也沒(méi)什么，歷史上有很多人已經(jīng)證實(shí)了這個(gè)結(jié)果。但羅巴切夫斯基的數(shù)學(xué)眼光畢竟是高人一籌，他想既然無(wú)法證明第五公設(shè)，那么建立在另外的公設(shè)基礎(chǔ)上的幾何學(xué)在邏輯也是可行的！這無(wú)疑是一個(gè)觀念的飛躍。

與第五公設(shè)不同，他提出假設(shè)，即羅巴切夫斯基平行公理：過(guò)直線AB外一點(diǎn)C，在平面上可以作不止一條直線和AB平行。聽(tīng)起來(lái)懂但不好理解，這也反映了被他稱為“虛幾何”的特點(diǎn)，與頭腦中的平直空間相悖…此外，平行直線m和n構(gòu)成平行與不平行直線間的邊界，由此可見(jiàn)，過(guò)C點(diǎn)的AB的平行線不止一條而有無(wú)窮多條。在不涉及平行公理的部分，羅氏幾何和歐氏幾何是一樣的；反之則不同。比如在羅氏幾何中，三角形內(nèi)角之和小于180°，而且隨著面積、邊長(zhǎng)的增大而減小。當(dāng)面積趨于零時(shí)，三角形內(nèi)角之和趨于180°。也就是說(shuō)，二者并不矛盾，甚至可以把歐式幾何視為是羅氏幾何趨近無(wú)窮小的近似解。后來(lái)的黎曼幾何也就是球面幾何，內(nèi)角和就大于180°。

可以簡(jiǎn)單用下面圖示來(lái)說(shuō)明這種不同幾何間的差異，可究竟哪個(gè)是對(duì)的呢？當(dāng)然在各自的公設(shè)出發(fā)點(diǎn)來(lái)說(shuō)也它們都是正確的。所以今天我們的中學(xué)數(shù)學(xué)還要從歐式幾何學(xué)起。

在這篇論文之后的幾十年，羅巴切夫斯基的工作都沒(méi)有得到數(shù)學(xué)界應(yīng)有的承認(rèn)，甚至是已經(jīng)獨(dú)立研究出相同結(jié)果的數(shù)學(xué)泰斗高斯（CarlGauss），也沒(méi)有勇氣公開(kāi)正面宣布支持羅巴切夫斯基的工作。當(dāng)然還有匈牙利的數(shù)學(xué)家鮑耶（JánosBolyai）后來(lái)也獨(dú)立完成了類似的工作，因此后世把這三位共同稱為非歐幾何（Non-Euclideangeometry）的發(fā)現(xiàn)者與創(chuàng)始人。有人稱之為紫羅蘭現(xiàn)象，因?yàn)檫@好像春天到了紫羅蘭遍地花開(kāi)一樣。但客觀地說(shuō)，對(duì)非歐幾何的誕生貢獻(xiàn)最大的無(wú)疑還是那位一生都沒(méi)有離開(kāi)過(guò)喀山的羅巴切夫斯基。

非歐幾何影響深遠(yuǎn)，不僅僅是幾何或數(shù)學(xué)領(lǐng)域的巨大進(jìn)步，而且對(duì)物理學(xué)、天文學(xué)以及時(shí)空觀念的變革都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。后來(lái)非歐幾何中的黎曼幾何被作為愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的重要工具，深刻地影響了近代科學(xué)的發(fā)展，是人類認(rèn)識(shí)史上又一個(gè)的偉大成果。

終于，在1893年，喀山大學(xué)樹(shù)立起了據(jù)說(shuō)是世界上第一個(gè)專門為數(shù)學(xué)家所立的雕塑。他就是被后人贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”的羅巴切夫斯基。但令人遺憾的是，他生前沒(méi)有獲得這樣榮譽(yù)。晚年雙目失明，晚景凄涼。巧合的是他的去世日期是2月24日，與他那篇當(dāng)時(shí)無(wú)人喝彩的劃時(shí)代論文宣講日期僅相隔一天。