小學奧數(shù)解題技巧大全｜第一講《觀察法》，精講11道例題

胡胖子2r7cuzvv 2021-06-28

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小學奧數(shù)解題技巧大全60講｜第一講《觀察法》

在解答數(shù)學題時，第一步是觀察。觀察是基礎，是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的首要步驟。小學數(shù)學教材，特別重視培養(yǎng)觀察力，把培養(yǎng)觀察力作為開發(fā)與培養(yǎng)學生智力的第一步。

觀察法，是通過觀察題目中數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點，條件與結論之間的關系，題目的結構特點及圖形的特征，從而發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關系，把題目解答出來的一種解題方法。

觀察要有次序，要看得仔細、看得真切，在觀察中要動腦，要想出道理、找出規(guī)律。

*例1（適于一年級程度）此題是九年義務教育六年制小學教科書數(shù)學第二冊，第11頁中的一道思考題。

書中除圖1-1的圖形外沒有文字說明。這道題旨在引導兒童觀察、思考，初步培養(yǎng)他們的觀察能力。這時兒童已經(jīng)學過20以內(nèi)的加減法，基于他們已有的知識，能夠判斷本題的意思是：在右邊大正方形內(nèi)的小方格中填入數(shù)字后，使大正方形中的每一橫行，每一豎列，以及兩條對角線上三個數(shù)字的和，都等于左邊小正方形中的數(shù)字18。實質(zhì)上，這是一種幻方，或者說是一種方陣。

解：現(xiàn)在通過觀察、思考，看小方格中應填入什么數(shù)字。從橫中行10+6+□=18會想到，18-10-6=2，在橫中行右面的小方格中應填入2（圖1-2）。
從豎右列7+2+□=18（圖1-2）會想到，18-7-2=9，在豎右列下面的小方格中應填入9（圖1-3）。

從正方形對角線上的9+6+□=18（圖1-3）會想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中應填入3（圖1-4）。
從正方形對角線上的7+6+□=18（圖1-3）會想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中應填入5（圖1-4）。

從橫上行3+□+7=18（圖1-4）會想到，18-3-7=8，在橫上行中間的小方格中應填入8（圖1-5）。
又從橫下行5+□+9=18（圖1-4）會想到，18-5-9=4，在橫下行中間的小方格中應填入4（圖1-5）。
圖1-5是填完數(shù)字后的幻方。

例2 看每一行的前三個數(shù)，想一想接下去應該填什么數(shù)。（適于二年級程度）

6、16、26、____、____、____、____。

9、18、27、____、____、____、____。

80、73、66、____、____、____、____。

解：觀察6、16、26這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，6、16、26的排列規(guī)律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)大10。
觀察9、18、27這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，9、18、27的排列規(guī)律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)大9。
觀察80、73、66這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，80、73、66的排列規(guī)律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)小7。
這樣可得到本題的答案是：
6、16、26、36、46、56、66。
9、18、27、36、45、54、63。
80、73、66、59、52、45、38。

例3 將1～9這九個數(shù)字填入（圖1-6）的方框中，使圖中所有的不等號均成立。（適于三年級程度）

解：仔細觀察圖中不等號及方框的排列規(guī)律可發(fā)現(xiàn)：只有中心的那個方框中的數(shù)小于周圍的四個數(shù)，看來在中心的方框中應填入最小的數(shù)1。再看它周圍的方框和不等號，只有左下角的那個方框中的數(shù)大于相鄰的兩個方框中的數(shù)，其它方框中的數(shù)都是一個比一個大，而且方框中的數(shù)是按順時針方向排列越來越小。
所以，在左下角的那個方框中應填9，在它右鄰的方框中應填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。
圖1-7是填完數(shù)字的圖形。

例4 從一個長方形上剪去一個角后，它還剩下幾個角？（適于三年級程度）

解：此題不少學生不加思考就回答："一個長方形有四個角，剪去一個角剩下三個角。"
我們認真觀察一下，從一個長方形的紙上剪去一個角，都怎么剪？都是什么情況？
（1）從一個角的頂點向?qū)堑捻旤c剪去一個角，剩下三個角（圖1-8）。
（2）從一個角的頂點向?qū)吷先我庖稽c剪去一個角，剩下四個角（圖1-9）。
（3）從一個邊上任意一點向鄰邊上任意一點剪去一個角，

剩下五個角（圖1-10）。

例5 甲、乙兩個人面對面地坐著，兩個人中間放著一個三位數(shù)。這個三位數(shù)的每個數(shù)字都相同，并且兩人中一個人看到的這個數(shù)比另一個人看到的這個數(shù)大一半，這個數(shù)是多少？（適于三年級程度）

解：首先要確定這個三位數(shù)一定是用阿拉伯數(shù)字表示的，不然就沒法考慮了。
甲看到的數(shù)與乙看到的數(shù)不同，這就是說，這個三位數(shù)正看、倒看都表示數(shù)。在阿拉伯數(shù)字中，只有0、1、6、8、9這五個數(shù)字正看、倒看都表示數(shù)。
這個三位數(shù)在正看、倒看時，表示的數(shù)值不同，顯然這個三位數(shù)不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。
如果這個數(shù)是666，當其中一個人看到的是666時，另一個人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以這個數(shù)是666，也可以是999。

*例6 1966、1976、1986、1996、2006這五個數(shù)的總和是多少？（適于三年級程度）

解：這道題可以有多種解法，把五個數(shù)直接相加，雖然可以求出正確答案，但因數(shù)字大，計算起來容易出錯。
如果仔細觀察這五個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，第一個數(shù)是1966，第二個數(shù)比它大10，第三個數(shù)比它大20，第四個數(shù)比它大30，第五個數(shù)比它大40。因此，這道題可以用下面的方法計算：
1966+1976+1986+1996+2006
=1966×5+10×（1+2+3+4）
=9830+100
=9930
這五個數(shù)還有另一個特點：中間的數(shù)是1986，第一個數(shù)1966比中間的數(shù)1986小20，最后一個數(shù)2006比中間的數(shù)1986大20，1966和2006這兩個數(shù)的平均數(shù)是1986。1976和1996的平均數(shù)也是1986。這樣，中間的數(shù)1986是這五個數(shù)的平均數(shù)。所以，這道題還可以用下面的方法計算：
1966+1976+1986+1996+2006
=1986×5
=9930

例7 你能從400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到啟發(fā)，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得數(shù)嗎？（適于四年級程度）

解：我們仔細觀察一下算式：
400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16
不難看出，原來的被除數(shù)和除數(shù)都乘以4，目的是將除數(shù)變成1后面帶有0的整百數(shù)。這樣做的根據(jù)是"被除數(shù)和除數(shù)都乘以一個相同的數(shù)（零除外），商不變"。
進行這種變化的好處就是當除數(shù)變成了1后面帶有0的整百數(shù)以后，就可以很快求出商。按照這個規(guī)律，可迅速算出下列除法的商。
（1）600÷25 （2）900÷25
=（600×4）÷（25×4） =（900×4）÷（25×4）
=600×4÷100 =900×4÷100
=24 =36
（3）1400÷25 （4）1800÷25
=（1400×4）÷（25×4） =（1800×4）÷（25×4）
=1400×4÷100 =1800×4÷100
=56 =72
（5）7250÷25
=（7250×4）÷（25×4）
=29000÷100
=290

*例8 把1～1000的數(shù)字如圖1-11那樣排列，再如圖中那樣用一個長方形框框出六個數(shù)，這六個數(shù)的和是87。如果用同樣的方法（橫著三個數(shù)，豎著兩個數(shù)）框出的六個數(shù)的和是837，這六個數(shù)都是多少？（適于五年級程度）

解：（1）觀察框內(nèi)的六個數(shù)可知：第二個數(shù)比第一個數(shù)大1，第三個數(shù)比第一個數(shù)大2，第四個數(shù)比第一個數(shù)大7，第五個數(shù)比第一個數(shù)大8，第六個數(shù)比第一個數(shù)大9。
假定不知道這幾個數(shù)，而知道上面觀察的結果，以及框內(nèi)六個數(shù)的和是87，要求出這幾個數(shù)，就要先求出六個數(shù)中的第一個數(shù)：

（87-1-2-7-8-9）÷6
＝60÷6
=10
求出第一個數(shù)是10，往下的各數(shù)也就不難求了。
因為用同樣的方法框出的六個數(shù)之和是837，這六個數(shù)之中后面的五個數(shù)也一定分別比第一個數(shù)大1、2、7、8、9，所以，這六個數(shù)中的第一個數(shù)是：
（837-1-2-7-8-9）÷6
＝810÷6
=135
第二個數(shù)是：135+1=136
第三個數(shù)是：135+2=137
第四個數(shù)是：135+7=142
第五個數(shù)是：135+8=143
第六個數(shù)是：135+9=144
答略。
（2）觀察框內(nèi)的六個數(shù)可知：①上、下兩數(shù)之差都是7；②方框中間堅行的11和18，分別是上橫行與下橫行三個數(shù)的中間數(shù)。
11=（10+11+12）÷3
18=（17+18+19）÷3
所以上橫行與下橫行兩個中間數(shù)的和是：
87÷3＝29
由此可得，和是837的六個數(shù)中，橫向排列的上、下兩行兩個中間數(shù)的和是：
837÷3＝279
因為上、下兩個數(shù)之差是7，所以假定上面的數(shù)是x，則下面的數(shù)是x+7。
x+（x+7）=279
2x+7=279
2x=279-7
=272
x=272÷2
=136
x+7=136+7
=143
因為上一橫行中間的數(shù)是136，所以，第一個數(shù)是：136-1=135
第三個數(shù)是：135+2=137
因為下一橫行中間的數(shù)是143，所以，
第四個數(shù)是：143-1=142
第六個數(shù)是：142+2=144
答略。

*例9 有一個長方體木塊，鋸去一個頂點后還有幾個頂點？（適于五年級程度）

解：（1）鋸去一個頂點（圖1-12），因為正方體原來有8個頂點，鋸去一個頂點后，增加了三個頂點，所以，
8-1+3=10
即鋸去一個頂點后還有10個頂點。

（2）如果鋸開的截面通過長方體的一個頂點，則剩下的頂點是8-1+2=9（個）（圖1-13）。
（3）如果鋸開的截面通過長方體的兩個頂點，則剩下的頂點是8-1+1=8（個）（圖1-14）。

（4）如果鋸開的截面通過長方體的三個頂點，則剩下的頂點是8-1=7（個）（圖1-15）。

例10 將高都是1米，底面半徑分別是1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成一個物體（圖1-16），求這個物體的表面積S。（適于六年級程度）

解：我們知道，底面半徑為γ，高為h的圓柱體的表面積是2πγ2+2πγh。

本題的物體由三個圓柱組成。如果分別求出三個圓柱的表面積，再把三個圓柱的表面積加在一起，然后減去重疊部分的面積，才能得到這個物體的表面積，這種計算方法很麻煩。這是以一般的觀察方法去解題。
如果我們改變觀察的方法，從這個物體的正上方向下俯視這個物體，會看到這個物體上面的面積就像圖1-17那樣。這三個圓的面積，就是底面半徑是1.5米的那個圓柱的底面積。所以，這個物體的表面積，就等于一個大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側面積。
（2π×1.52+2π×1.5×1）+（2π×1×1）+（2π×0.5×1）
=（4.5π+3π）+2π+π
=7.5π+3π
=10.5π
=10.5×3.14
=32.97（平方米）
答略。

*例11 如圖1-18所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角是72°，鑄件長20厘米。求它的表面積和體積。（適于六年級程度）