我上學(xué)時(shí)比較擅長數(shù)學(xué)，高考時(shí)數(shù)學(xué)成績差一分滿分，按道理來說，我應(yīng)該喜歡數(shù)學(xué)，但是恰恰相反，我并不喜歡數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)對我來說只是一門不得不學(xué)的課目?，F(xiàn)在作為媽媽，我也不熱衷輔導(dǎo)孩子數(shù)學(xué)，我告訴孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很重要，給他們買一些數(shù)學(xué)書，讓他們自己讀。但我內(nèi)心里認(rèn)為數(shù)學(xué)是門枯燥的學(xué)問。
我知道像我這樣的父母不在少數(shù)。提起輔導(dǎo)孩子數(shù)學(xué)，很多父母都要皺眉，為了講通一道題，經(jīng)常父母面紅耳赤、聲嘶力竭，而孩子心煩意亂、一臉漿糊。所以才有很多數(shù)學(xué)輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)出現(xiàn)，但是并不是上了輔導(dǎo)班，孩子的數(shù)學(xué)成績就提高了，而且課外太多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和練習(xí)時(shí)間反而讓孩子厭倦數(shù)學(xué)。即使有些孩子成績提高了，但他們可能會(huì)像我小時(shí)候一樣，足以應(yīng)試，但是失去主動(dòng)獲取知識(shí)的興趣和動(dòng)力，違背了學(xué)習(xí)的根本目的。不過我最近開始覺得數(shù)學(xué)其實(shí)很有意思。仔細(xì)想想，自然界的絕大部分現(xiàn)象都可以用數(shù)學(xué)來概括和表達(dá)：植物葉片的數(shù)目、行星運(yùn)行的軌道、經(jīng)典建筑的結(jié)構(gòu)、鋼琴曲的節(jié)奏、星云的形狀。。。這些看似紛繁雜亂的表象下面都有一個(gè)抽象而簡潔的數(shù)學(xué)規(guī)律。以數(shù)學(xué)的角度去看世界，我們會(huì)透過表現(xiàn)發(fā)現(xiàn)一些令人深思的問題，比如：我們的宇宙是否是一個(gè)數(shù)學(xué)模型？生命的本質(zhì)是否是一種數(shù)字的組合？時(shí)間是人造的數(shù)字概念還是真實(shí)的存在？
但是我們目前的數(shù)學(xué)教學(xué)模式能讓孩子體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力嗎？我很懷疑。正如學(xué)習(xí)語文不是為了做閱讀理解和默寫生字，而是理解和內(nèi)化優(yōu)秀的文章和作品，提高自己的思維和表達(dá)能力，數(shù)學(xué)也絕不是為了做選擇題和應(yīng)用題，而是為了更好的理解我們這個(gè)世界，能夠創(chuàng)造性的解決問題。我在想：現(xiàn)在學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)方式會(huì)不會(huì)像語文教學(xué)那樣讓孩子陷于割裂的題目之中，低頭一粒一粒撿單顆的知識(shí)，而遺忘了整體目標(biāo)和學(xué)科體系，讓孩子體會(huì)不到數(shù)學(xué)的意義呢。如果我們不改變這種把知識(shí)當(dāng)作一個(gè)個(gè)割裂的題目的教學(xué)模式，無論是在家家長給孩子補(bǔ)課，或者送到輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)補(bǔ)習(xí)或超前學(xué)習(xí)，孩子對于數(shù)學(xué)都難以產(chǎn)生興趣，學(xué)到最后不知道為什么要學(xué)，不知道除了考試，學(xué)數(shù)學(xué)到底有什么用。我昨天剛好無意中讀到一本書：臺(tái)灣數(shù)學(xué)老師唐宗浩的《跟孩子一起玩數(shù)學(xué)》。翻開之后，讀了幾頁，立刻被吸引住，作者的很多看法正好點(diǎn)清我一直沒有想清楚的問題，隨后我一直不停的讀完這本書。這本書不是題目集錦，也不是數(shù)學(xué)故事，而是基于作者自己的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)和多年數(shù)學(xué)教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，剖析現(xiàn)有數(shù)學(xué)教學(xué)中的典型問題，以對數(shù)學(xué)學(xué)科的總體認(rèn)識(shí)，提出以培養(yǎng)解決問題和創(chuàng)造力為目標(biāo)的親子數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。
首先，作者提出家長不能把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)推給教輔機(jī)構(gòu)，而是應(yīng)該自己參與。教輔機(jī)構(gòu)良莠不齊，家長沒有評估和參與，無從知道機(jī)構(gòu)的教學(xué)質(zhì)量，可能會(huì)花了錢，孩子學(xué)習(xí)更糟。并且，教輔機(jī)構(gòu)存在的問題是：有的提供解題套路，通過大量練題，短期提高孩子在單獨(dú)知識(shí)點(diǎn)的答題能力，但是這樣訓(xùn)練出來的孩子可能會(huì)小考考的好，在考驗(yàn)知識(shí)體系和綜合應(yīng)用以往知識(shí)解決復(fù)雜問題的大考中考不好。有的機(jī)構(gòu)老師表面很有解題方式，能輔導(dǎo)孩子解出炫目的難題，但是使用權(quán)威性的教學(xué)方式，而不是啟發(fā)式的教學(xué)方式，孩子離開老師就不會(huì)解題，失去自己的思考能力，好像學(xué)會(huì)了更難的知識(shí)點(diǎn)，其實(shí)是學(xué)笨了。孩子失去興趣，思維變得僵化。孩子可能小學(xué)、初中學(xué)的好，到高中和大學(xué)學(xué)復(fù)雜綜合的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，卻跟不上。教輔機(jī)構(gòu)的缺點(diǎn)老師自己清楚，但不會(huì)和家長說。老師可以把責(zé)任推到孩子身上，孩子也以為自己就是學(xué)不好數(shù)學(xué)，產(chǎn)生數(shù)學(xué)厭倦癥甚至恐懼癥。如果家長陪孩子一起思考、一起討論、一起練習(xí)和創(chuàng)造，可以真實(shí)的看到孩子的學(xué)習(xí)過程，不再是看表面成績，而是看到他的努力和困惑，給與實(shí)際的協(xié)助。但是家長會(huì)說: 我自己數(shù)學(xué)都學(xué)不好，怎么教孩子呢？或者我數(shù)學(xué)學(xué)的還不錯(cuò)，但不知道怎么教小朋友。針對這些疑問，這本書提出以下方法:一、家長并不是一直“教孩子數(shù)學(xué)”，而是“陪孩子重新學(xué)數(shù)學(xué)“。陪孩子學(xué)習(xí)，可以根據(jù)孩子的年齡和進(jìn)度，采用不同的姿態(tài)：1. 引導(dǎo)者：孩子小時(shí)，父母可以設(shè)計(jì)活動(dòng)和內(nèi)容，父母是引導(dǎo)者，孩子是跟隨者。2. 共學(xué)者：孩子大一些時(shí)，可能有些數(shù)學(xué)知識(shí)，父母已經(jīng)忘記或不會(huì)，父母可以和孩子一起找資料、做實(shí)驗(yàn)和討論。3. 學(xué)習(xí)者：孩子更大一些，或者他在某些領(lǐng)域已經(jīng)比父母懂得多了，父母可以聆聽和提問，聽他組織和整理知識(shí)。二、父母需要明確數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)不僅僅是計(jì)算，更不是做題、考試和競賽。數(shù)學(xué)包含了觀察秩序、建立模式、解決問題和精準(zhǔn)表達(dá).三、父母需要明確怎樣才是數(shù)學(xué)學(xué)的好。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有三個(gè)層次：2. 能以自己的方式說明和解釋，比如：為何分?jǐn)?shù)乘法是分子乘分子，分母乘分母。要達(dá)到第三個(gè)創(chuàng)造的層次，孩子必須要有牢固的第一、第二層次的基礎(chǔ)，并且有主動(dòng)性。教師要設(shè)計(jì)有意思的未知問題，不要求學(xué)生一味模仿老師的解題方式，不一開始就要求標(biāo)準(zhǔn)做法和標(biāo)準(zhǔn)化的算式，鼓勵(lì)孩子進(jìn)行未知探索。四、進(jìn)行診斷式的互動(dòng)教學(xué)作者提出了八種診斷式教學(xué)法，其中對我很有啟發(fā)的三種是：數(shù)學(xué)知識(shí)是多尖頂?shù)乃?，一層一層遞進(jìn)，每一個(gè)知識(shí)環(huán)節(jié)都有前期知識(shí)點(diǎn)，前期知識(shí)不牢，就難以理解和學(xué)習(xí)后期知識(shí)點(diǎn)。老師可以通過對前期知識(shí)點(diǎn)的詢問，或者重復(fù)前面的步驟，發(fā)現(xiàn)孩子在哪個(gè)環(huán)節(jié)有漏洞，先教會(huì)漏洞處的知識(shí)點(diǎn)，再學(xué)新的知識(shí)。很多孩子前期的知識(shí)還沒有學(xué)好，就跟著班級(jí)進(jìn)行更難的知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)，上課聽不懂，概念不理解，練習(xí)做了等于沒做，漸漸的知識(shí)漏洞越來越多，成績下滑，厭倦數(shù)學(xué)。由孩子扮演老師，出題目給大人和朋友做，并且檢查答案，在這個(gè)過程中，孩子會(huì)很專注地組織、觀察和創(chuàng)造。孩子在寫題之前，需要把每一章節(jié)的概念整理清楚，每一章節(jié)寫一兩題，不會(huì)的地方查課本，徹底弄懂。大人在答題時(shí)，可以寫下自己詳細(xì)的解題思路，讓孩子觀察和了解自己的解題心路歷程。也可以輪流交互出題，你可以在孩子出題的基礎(chǔ)上有一點(diǎn)點(diǎn)變化，引導(dǎo)孩子延伸思路或者學(xué)習(xí)新知識(shí)點(diǎn)。要避免：在不懂概念的情況下練習(xí)，或已經(jīng)熟練了還反復(fù)練習(xí)同樣的題型。作者建議同樣知識(shí)點(diǎn)同樣題型連續(xù)做對三題就可以了。
鼓勵(lì)孩子提問，還要教會(huì)孩子自己尋找答案，分辨信息，可以帶著孩子去了解當(dāng)初人們研究的過程或者設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、研究看看。反復(fù)講解，孩子還是聽不懂，家長會(huì)覺得挫敗，但是孩子會(huì)覺得更挫敗。有挫敗感時(shí)，不要發(fā)泄情緒，最好停止教學(xué)。可以使用“對事不對人“的用語，比如：”這東西還真難，我們之后再想辦法，今天先這樣吧。“如果孩子因?yàn)閿?shù)學(xué)和生活沒有關(guān)系，不明白為什么學(xué)而排斥學(xué)數(shù)學(xué)，可以從生活著手，比如從家務(wù)事中尋找數(shù)學(xué)。如果孩子因?yàn)橐恢币獙戭}目，而排斥數(shù)學(xué)，要分析是因?yàn)楹⒆忧捌谥R(shí)有漏洞，而不會(huì)做現(xiàn)在的題目，還是因?yàn)轭}目實(shí)在太多。前者需要在數(shù)學(xué)的知識(shí)地圖上找出孩子哪里會(huì)，哪里不會(huì)，找時(shí)間，把前期知識(shí)學(xué)會(huì)，把漏洞補(bǔ)起來，再學(xué)新的，（在這方面，可汗學(xué)院KhanAcademy.org和自由數(shù)學(xué)math.alearn.org.tw都提供了很好的數(shù)學(xué)知識(shí)地圖）。后者需要和老師溝通，或家長批準(zhǔn)孩子少做題。如果孩子覺得數(shù)學(xué)太難而排斥數(shù)學(xué)，需要家長用診斷教學(xué)來協(xié)助孩子發(fā)現(xiàn)自己的問題，加以克服，應(yīng)當(dāng)注意到這樣的孩子可能學(xué)校的教學(xué)方式和進(jìn)度不適合他，家長不用受老師的教法所限。如果孩子解題策略，因?yàn)楸粍?dòng)的接受訓(xùn)練，過度特化，固定下來，反而不利于新的學(xué)習(xí)。不當(dāng)?shù)难a(bǔ)習(xí)，比如集中訓(xùn)練珠心算，或者賣弄解法、使用權(quán)威、否定學(xué)生主動(dòng)思考的老師，會(huì)扼殺興趣，把聰明孩子教笨。家長不僅需要知道孩子在教輔機(jī)構(gòu)得到什么，也需要知道孩子會(huì)失去什么。孩子只求問題的格式，不問問題的意思，講究標(biāo)準(zhǔn)問題、標(biāo)準(zhǔn)解法、標(biāo)準(zhǔn)答案，比如：孩子認(rèn)為家長的教法和老師不一樣，不愿意去理解和接受，或者題型格式變化，就不會(huì)解題。格式化的孩子往往不明題意，只是照著格式去做，在高中遇到代數(shù)、三角函數(shù)這些需要綜合理解的抽象概念，就容易碰壁。所以家長需要鼓勵(lì)孩子理解題目，鼓勵(lì)他用不同的想法去解決題目，比如用運(yùn)算、公式或畫圖。另外，家長要為孩子建立一個(gè)獨(dú)立于分?jǐn)?shù)之外、長期來說更有意義的衡量指標(biāo)，即他真的理解多少，能運(yùn)用多少，逐漸往上搭建新的知識(shí)點(diǎn)。當(dāng)孩子成績下滑，請記得，成績只是眾多參考指標(biāo)之一，它不足以告訴我們問題的癥結(jié)在哪里。我們要陪伴孩子，一起了解他的前期知識(shí)哪里有漏洞，了解他的思考過程，哪里有盲點(diǎn)，了解他的記錄習(xí)慣，哪里有問題。有真實(shí)的陪伴和協(xié)助，才能協(xié)助孩子克服問題。
六、了解孩子數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成長軌跡數(shù)學(xué)是從許多具體的現(xiàn)象中，抽去其表象，建立統(tǒng)攝他們的概念，沒有經(jīng)歷具體的經(jīng)驗(yàn)和抽象的過程，一個(gè)數(shù)學(xué)名詞只是空洞的字眼。在幼兒和小學(xué)低年級(jí)時(shí)，讓孩子從主動(dòng)探索的具體經(jīng)驗(yàn)（而不是背乘法表或珠心算），比如爬樹、兒歌、舞蹈、游戲中建立對形狀、數(shù)字、方向、日期、時(shí)間和量的感覺，這些具象的經(jīng)驗(yàn)會(huì)為后面抽象的數(shù)學(xué)概念建立基礎(chǔ)。二到四年級(jí)開始略微抽象的知識(shí)，通過游戲和圖像的方式，幫助孩子學(xué)習(xí)抽象的算式。鼓勵(lì)孩子碰到陌生問題，先自己想辦法，試試看，自己試過，再去聽講解，就能會(huì)其中關(guān)鍵所在。四到六年級(jí)，孩子的數(shù)學(xué)程度開始產(chǎn)生明顯的差異。一般來說，生活經(jīng)驗(yàn)豐富、主動(dòng)思考的孩子程度會(huì)更高，而程度低的孩子一般只知其然，不知其所以然。家長需要幫助孩子理解數(shù)學(xué)概念和公式的來源和含義，比如為什么梯形的面積是上底加下底，乘以高，再除以二，它和三角形、平行四邊形面積的關(guān)系，以及“面積”的原始意義。家長針對一個(gè)概念，通過三四種不同的題目形式，去看孩子是否真的理解和掌握這個(gè)概念。在協(xié)助孩子時(shí)，我們需要觀察他在哪個(gè)解題步驟中卡住，而不是每一步從頭示范。針對卡住的步驟，用引導(dǎo)性的問題協(xié)助他想通，或者舉類似的例子示范講解，但不要替他做，卡住的部分一定要他自己做出來，才學(xué)的完整。其余學(xué)生自己能做的部分，家長等待和觀察即可。中學(xué)數(shù)學(xué)開始有更多的抽象概念和新的數(shù)學(xué)符號(hào)。任何精簡的符號(hào)比如sin、cos、∑、∞，都是為了讓使用者少寫字而發(fā)明的，它的背后一定是一個(gè)完整的概念。我們需要先協(xié)助孩子理解概念，再引入符號(hào)。用孩子已知的知識(shí)，推演和理解新概念或原理的來龍去脈，等孩子徹底理解概念后，再把符號(hào)對應(yīng)到概念。在中學(xué)階段一定要養(yǎng)成理解而不死背的習(xí)慣。孩子如果掌握基本公式的推導(dǎo)過程，不僅掌握公式本身，還學(xué)會(huì)了推導(dǎo)時(shí)應(yīng)用的解題技巧和推理思路。自己推導(dǎo)過的公式也不容易忘記。推導(dǎo)公式、理解原理比做刁鉆的難題更能培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)能力。協(xié)助中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，很重要的一點(diǎn)是不要表演式的教學(xué)，教師表面講的精彩，卻示范的太多，孩子自己沒有主動(dòng)思考，長期這樣孩子的思維發(fā)展受限，主動(dòng)思考的勇氣和習(xí)慣也沒有了。講解中應(yīng)該留白，空出關(guān)鍵的部分，讓學(xué)生自己推想和討論，找到學(xué)生思路合理的地方，肯定它，從那里出發(fā)延伸，再組織和結(jié)晶。好的數(shù)學(xué)課提出值得思考的好問題，結(jié)合觀察、聆聽、等待、討論、示范和問答，讓孩子覺得不是被教會(huì)的，而是自己想出來的。中學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)比如三角函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)、概率和幾何學(xué)等，和其他學(xué)科緊密聯(lián)系，在歷史上很多時(shí)候就是為了解決物理、天文、地理等學(xué)科的問題而發(fā)現(xiàn)的。我們的數(shù)學(xué)題目可以取材于其他學(xué)科，能夠讓孩子體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。也可以鼓勵(lì)孩子將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)用于編程，制作漂亮的動(dòng)畫、插圖、3D打印作品等。Scratch、Geogebra都是很好的免費(fèi)編程軟件。
在這部分，作者寫了如何處理不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情景，比如學(xué)習(xí)障礙、思維固化、和學(xué)習(xí)尖子生等。在這部分，讓我印象深刻的是：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，和學(xué)習(xí)藝術(shù)一樣，要追開發(fā)創(chuàng)造力，而不是模仿。培養(yǎng)創(chuàng)造力的一個(gè)途徑是：挑選好題。和物理、天文、工程、音樂等實(shí)際應(yīng)用有關(guān)，或者能讓人往實(shí)際應(yīng)用去思考。雖然解決的方式可能深?yuàn)W，問題本身卻簡單合理，符合自然的好奇。透過解決這個(gè)問題，可以產(chǎn)生新觀點(diǎn)，發(fā)展出新工具，有助于擴(kuò)大視野，解決其他問題。欠缺這些特點(diǎn)的題目往往是難題、雜題。難題、雜題解完后讓人有解脫的輕松，卻沒有創(chuàng)造的成就感，也沒有學(xué)到新知的喜悅。我們要選擇有營養(yǎng)的好題，而不是揣摩出題者的圈套。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，需要讓他們在經(jīng)典的題目、重要的題目、好的題目上待久一點(diǎn)，從不同角度去欣賞，從不同途徑去解決，培養(yǎng)簡潔、直觀的數(shù)學(xué)品味，比如嘗試用不同方法證明勾股定律。示范這些題目，不要每一步都講解，要保留一些環(huán)節(jié)讓學(xué)生做原創(chuàng)性思考。另一個(gè)途徑是提供大量沒有標(biāo)準(zhǔn)答案的題目，讓孩子從頭到尾，盡情發(fā)揮創(chuàng)造力。比如棋類、牌類和策略類的桌游，或者估測類的問題：比如如何測量一棵樹的高度。老師也可以設(shè)計(jì)創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，比如在廚藝、美術(shù)、勞作等創(chuàng)造活動(dòng)中，明確運(yùn)用到數(shù)學(xué)概念和原理。這本書內(nèi)容很豐富，我的總結(jié)省去了部分內(nèi)容和很多細(xì)節(jié)、例子，推薦有興趣的家長讀一讀這本書，運(yùn)用書中的方法，將學(xué)、問、練、想、做結(jié)合起來，和孩子一起玩數(shù)學(xué)。最后送上一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)題，供朋友們和孩子一起討論，這道題有不同的解法，歡迎把你的解法和答案留言給我。每個(gè)數(shù)字對應(yīng)下面一個(gè)三角形中點(diǎn)的數(shù)目。
你能推算出這個(gè)數(shù)字序列中第1000個(gè)數(shù)字是什么嗎？
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