本節(jié)介紹幾種存在性問題的經(jīng)典方法，為以后一次函數(shù)、二次函數(shù)中的存在性問題的解決提供幫助。

一、等腰三角形存在性問題

解決等腰三角形存在性問題一般有幾何法和代數(shù)法兩種方法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快。

1. 代數(shù)法（盲解盲算法）

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB=AC，②BA=BC，③CA=CB三種情況．

代數(shù)法的一般步驟：

羅列三邊長（的平方），分類列方程，解方程并檢驗(yàn)．

2. 幾何法（“兩圓一線”法）

如圖，已知線段AB，在平面內(nèi)找一點(diǎn)C，使得△ABC為等腰三角形，滿足條件的點(diǎn)C的集合如下圖所示（在以點(diǎn)A，B為圓心，AB長為半徑的圓和線段AB的垂直平分線上，除了與AB在同一直線上的點(diǎn)外的所有點(diǎn)）

【例題分析】

【例1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(2，3)，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使得△AOP是等腰三角形，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

【解答】解法一：代數(shù)法，盲解盲算

由于動點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，本題需先分兩大類，即點(diǎn)P在x軸上或點(diǎn)P在y軸上.

情形一：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，

第一步：寫出或設(shè)出三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

由題可知A（2，3），O（0，0），設(shè)P（t，0）；坐標(biāo)已有，接下來就是計(jì)算；

第二步：利用兩點(diǎn)間距離公式，計(jì)算三邊長的平方；

上述代數(shù)解法的最大優(yōu)勢是實(shí)現(xiàn)了盲解盲算，只要寫出或設(shè)出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，后續(xù)只剩相關(guān)計(jì)算而已，但最后必須要進(jìn)行取舍，養(yǎng)成解后檢驗(yàn)或驗(yàn)算的好習(xí)慣.

解法二：“兩圓一線”法

二、直角三角形存在性問題

解決直角三角形存在性問題一般有幾何法和代數(shù)法兩種方法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快。

1. 代數(shù)法（盲解盲算法）

如果△ABC是直角三角形，那么存在①∠A為直角，②∠B為直角，③∠C為直角三種情況．

代數(shù)法的一般步驟：羅列三邊長（的平方），分類列方程，解方程并檢驗(yàn)．

2. 幾何法（“兩線一圓”法）

如果已知兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在平面內(nèi)求找一點(diǎn)C，使得△ABC為直角三角形：分別過已知線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作線段AB的垂線，再以已知線段AB為直徑作圓，這兩條直線和這個(gè)圓上（除了和A、B在同一直線上）的所有點(diǎn)均滿足條件，如下圖所示：

【例題分析】

【例1】在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(?2，2)，B(3，2)，C是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，若△ABC是直角三角形，求滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)。

【簡析】解法一：代數(shù)法，盲解盲算

此類直角三角形存在性問題與等腰三角形存在性問題同根同源，解法雷同，均可借助兩點(diǎn)間距離公式，實(shí)現(xiàn)盲解盲算，具體如下：

由于動點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，本題仍需先分兩大類，即點(diǎn)C在x軸上或點(diǎn)C在y軸上.

情形一：當(dāng)點(diǎn)C在x軸上時(shí)，

第一步：列出三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

由題可知A（?2，2），B（3，2），設(shè)C（t，0）；坐標(biāo)已有，接下來就是計(jì)算了；

第二步：計(jì)算三條邊長的平方；

三、平行四邊形存在性問題

解平行四邊形的存在性問題一般分三步：

第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫圖，第三步計(jì)算．

難點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使得解的個(gè)數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以使計(jì)算又好又快．

已知定點(diǎn)的個(gè)數(shù)不同，選用的方法也不同，通常有以下兩種情況：

1. 如果已知三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)：以已知三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過每個(gè)點(diǎn)畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn)．

2. 如果已知兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況．

方法一、平移坐標(biāo)法（已知三個(gè)定點(diǎn)可選用這種方法）

如圖，點(diǎn)A、B、C是坐標(biāo)平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)。平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)D，使得以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，如果存在，請找出點(diǎn)D的位置。