幾何證明與幾何計(jì)算是幾何中的兩個(gè)經(jīng)典話題。幾何證明需要具備條件與結(jié)論，學(xué)生善于運(yùn)用“兩頭湊”的思想方法來(lái)探尋證明思路；而幾何計(jì)算是給出條件，讓學(xué)生去推理計(jì)算，很多時(shí)候?qū)W生探尋計(jì)算思路難于探尋幾何證明思路。通過(guò)對(duì)一道幾何計(jì)算題多角度解法的探究，探尋幾何計(jì)算的一般思維策略，從中感受“幾何、代數(shù)、三角”三者的密切聯(lián)系。

【解法2評(píng)析】由四邊形對(duì)角互補(bǔ)想到四點(diǎn)共圓是常用的解題策略，利用圓的性質(zhì)更容易發(fā)現(xiàn)題目中角之間的等量關(guān)系。由翻折得∠GFM =90°，通過(guò)添加輔助線構(gòu)造“三等角相似形”證出D，N，M，B 四點(diǎn)共線（祥見(jiàn)解法初探），進(jìn)而發(fā)現(xiàn)OE⊥DN， OD = OA. 在“母子相似形”中知任意兩條線段的長(zhǎng)可求出其余所有線段的長(zhǎng)，在直角三角形中運(yùn)用勾股定理計(jì)算線段長(zhǎng)度也是最常用的方法，本解法讓學(xué)生感受“母子相似形”在計(jì)算線段長(zhǎng)度中的應(yīng)用。

【解法3評(píng)析】解法1中求MN 的長(zhǎng)思考難度大，解法2中求MN 的長(zhǎng)計(jì)算量大，交流中學(xué)生又發(fā)現(xiàn)了△MEN∽△MDE （公共角型），且相似比為1∶2，從而MN =1/2EM，輕松求出MN 的長(zhǎng)。

【思路1評(píng)析】反思上述三種解法，在復(fù)雜圖形中尋找或構(gòu)建相似三角形（上面用到了相似三角形的5個(gè)基本圖形），通過(guò)相似三角形得到線段間的比例關(guān)系，完成從已知向未知的過(guò)渡. 在幾何計(jì)算中，“相似”好比一盞亮著的燈，利用相似得到相等關(guān)系是一個(gè)重要的解題思路. 在復(fù)雜圖形的分析中，若能把圖形分解為簡(jiǎn)單的相似基本圖形，解題思路便會(huì)豁然開(kāi)朗.

【解法4評(píng)析】在解法1中利用相似證明MN = 1/3DN 的方法較復(fù)雜，在交流中學(xué)生發(fā)現(xiàn)用面積比可以輕松找到MN 和DN之間的數(shù)量關(guān)系. 解題中靈活運(yùn)用面積法實(shí)現(xiàn)面積比與線段比之間的相互轉(zhuǎn)化，往往可以化難為易。

【解法6評(píng)析】在解題教學(xué)中，筆者經(jīng)常向?qū)W生提起“相似”和“三角”是一對(duì)好朋友，“相似”和“三角”都和比值相關(guān)，運(yùn)用“三角法”解題往往更為簡(jiǎn)便。解法6通篇沒(méi)有用相似，而是巧妙利用三角函數(shù)建立已知線段和未知線段的等量關(guān)系，抓住tan∠4= tan∠2=tan∠5=1/2與勾股定理，輕松求出了所求線段的長(zhǎng)，讓學(xué)生領(lǐng)略了“三角法”在計(jì)算中的神奇表現(xiàn)。

【解法7評(píng)析】坐標(biāo)法是通過(guò)代數(shù)計(jì)算來(lái)完成幾何證明或計(jì)算的一種解題方法。此題要計(jì)算三角形的周長(zhǎng)，容易想到只需要確定三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，問(wèn)題便得以解決，相比前面相似法、全等法、面積法、三角法，思維難度大大降低。在解答時(shí)，注意把求E，N，M三點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求E，N，G 三點(diǎn)的坐標(biāo)，可以有效減小計(jì)算量. 坐標(biāo)法的學(xué)習(xí)讓學(xué)生體會(huì)代數(shù)與幾何的密切聯(lián)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，為學(xué)生高中學(xué)習(xí)解析幾何奠定基礎(chǔ)。

一個(gè)令許多學(xué)生望而生畏的幾何計(jì)算填空壓軸題，課堂上學(xué)生精彩解法的展示令教師和全班學(xué)生驚嘆不已。在這道題的解法探究中，初中數(shù)學(xué)計(jì)算線段長(zhǎng)度的常用方法在這道題中得到了淋漓盡致的呈現(xiàn).學(xué)生通過(guò)反思總結(jié)，感受了幾何線段計(jì)算領(lǐng)域常用到的思想方法，如勾股定理法、面積法、全等法、相似法、三角法、坐標(biāo)法等。透過(guò)每種解法的表層，抓住每種解法的本質(zhì)，把握不同解法之間的聯(lián)系，能讓學(xué)生觸類(lèi)旁通、舉一反三，有望達(dá)到“做一題，通一類(lèi)，會(huì)一片”的較高層次效果。

解題教學(xué)的最終目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的思維，科學(xué)精神、理性思維是核心素養(yǎng)的重要成分。通過(guò)一題多解，引發(fā)學(xué)生反思幾何計(jì)算與幾何推理之間的內(nèi)在關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的思維能力，讓學(xué)科核心素養(yǎng)的培育落實(shí)到具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中。