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《怎樣解題》一書的作者匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。做題不在多而在精，題要解得精彩；對待解題的思想方法要對頭，要通過做題，深刻理解概念，扎實掌握基本知識，學(xué)會運籌帷幄，縱橫捭闔，使自己的思維水平不斷提升，高屋建瓴；只有這樣，面對千變?nèi)f化、形式各異的題目時，才能應(yīng)對自如，使一道道難題迎刃而解。也就是說，我們在解題時應(yīng)力求做到一題多解，多解歸一，多題歸一，用“動”的觀點分析問題，盡可能地拓寬思路，訓(xùn)練自己敏銳的思維，做到“八方聯(lián)系，渾然一體”，最終達(dá)到“漫江碧透，魚翔淺底”的境界。   本文分享最近兩天做的幾道最值問題，題目來源于網(wǎng)絡(luò)，個人覺得不錯，故在此做個分享，解法不定最佳，若有更好的解法或其它的思考?xì)g迎交流分享，因本人公眾號寫作屬于單兵作戰(zhàn)，加之水平能力所限，難免有些瑕疵，歡迎批評指正. 如圖，在正方形ABCD中，AB=4，以B為圓心，BA的長為半徑畫弧，點M為弧AC上一點，MN⊥CD于N，連接CM，求CM-MN的最大值. 連接BM，過點B作BG⊥MC，由黃綠兩三角形相似，則有x:y=2y:4，進(jìn)而有y2=2x，所以CM-MN=2y-x=2y-1/2y2=-1/2(y2-4y)=-1/2(y-2)2+2，當(dāng)y=2時，CM-MN有最大值為2. 圓上的動點自然聯(lián)想到動點到圓心的距離為定值，故連接BM，當(dāng)MN變化時MC的長度也在變化，當(dāng)MN確定時MC的長度隨之確定，故MN和MC之間是函數(shù)關(guān)系，所以建立函數(shù)模型，借助函數(shù)求出最值. 如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=BC=2，D是BC的中點，P是AB邊上的動點，A、P、D三點的圓交PC于點Q，求AQ長的最小值. 等腰直角三角形，點D是BC的中點，連接AD，則∠BAD=45°，連接DQ，則有∠PQD=45°，則∠DQC=135°，其對邊DC為定長，根據(jù)定弦對定角模型知，點Q在△DQC外接圓DC所對的劣弧上運動。 當(dāng)點Q運動至AO上時AQ有最小值為√5-1. 本題的關(guān)鍵是分析出點P在運動過程中∠DQC=135°這個不變量，然后依據(jù)“定弦定角”模型確定動點Q的運動軌跡，最后點圓最值即可求得AQ的最小值。解決此類單線段最值問題，依然是分析變化過程中不變的量或關(guān)系，確定動點的運動軌跡即可求解. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2,4)，P(1,0)，B為y軸上動點，以AB為邊構(gòu)造△ABC，使點C在x軸上，∠BAC=90°，M為BC的中點，求PM的最小值. 直角、中點條件的指向和明確，連接AM、OM，斜中性質(zhì)有AM=OM，而點A、O為定點，故點M在AO的垂直平分線上，單線段最值確定動點的軌跡是解題的關(guān)鍵. 垂直處理構(gòu)“三垂直”相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，不難求出PG的值，由“垂心段最短”知PG長即為PM的最小值. 本題關(guān)鍵是確定動點M的運動軌跡，發(fā)現(xiàn)運動過程中MA=MA不點的數(shù)量關(guān)系是確定M軌跡的關(guān)鍵，確定點M的軌跡是AO的垂直平分線，接著依托垂直構(gòu)相似求解.本題亦可設(shè)參建立函數(shù)模型求解，各位讀者可自行嘗試解決，上面已有一例，故筆者在此不再贅述. 如圖，在矩形ABCD中，AB=12,BC=6，點E、F分別是AD、CD上的動點，EA=DF，點G是EF的中點，求GA+GC的最小值.
設(shè)AE=DF=x，則點E坐標(biāo)為（0，x），點F坐標(biāo)為（x，6） 故點G的坐標(biāo)為（x/2,(3+x/2）,故點G在直線y=x+3上運動，
如下圖，點G在線段MN上運動，求GA+GC的最小值，對稱、連線、勾股計算即可.
求共端點線段和最值屬于典型的“將軍飲馬”模型，本題的難點在于將飲馬點所在的“河”隱了，探尋點G運動的軌跡（定河）是破解本題的關(guān)鍵，可從代數(shù)和幾何兩個角度來確定點G的軌跡. |
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