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在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，經(jīng)常會(huì)看到一次函數(shù)和一些線段長的取值問題，也就是最大值、最小值的問題。今天我們就來探討一些一次函數(shù)中的最值問題。   結(jié)合之前所學(xué)的幾何知識，最值的解釋不外乎三種情況： ①兩點(diǎn)之間線段最短； ②三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊； ③直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。 一次函數(shù)的最值顯然借助這些幾何最值的思考。   問題一：幾何問題放入直角坐標(biāo)系 例題一： 直線l與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，已知直線解析式為y=-x+4.點(diǎn)D為OB中點(diǎn)，P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，求使OP+PD最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)。
分析： 此題很明顯就是兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)定直線上的動(dòng)點(diǎn)形成的將軍飲馬問題，只不過套用了函數(shù)的形式，要求點(diǎn)的坐標(biāo)和最短距離。 
例題二： 已知點(diǎn)A（1，3）B（3，-1），點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)|AP-BP|最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。
分析： 這個(gè)問題也只需要作出一個(gè)點(diǎn)的對稱點(diǎn)就行了。
 問題二：設(shè)置參數(shù)掩蓋直線 例題三： 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,-m+4）,求點(diǎn)P到原點(diǎn)的最短距離。 分析： 點(diǎn)P（m,-m+4）的位置不確定，分析點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在一條直線上。此時(shí)就變成點(diǎn)O到直線AB上的點(diǎn)的距離中，哪個(gè)距離最短，顯然垂線段最短。
例題四： 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2a,-4a+4），求線段AP的最小值。
分析： 這道題和例三本質(zhì)上是一樣的，只不過求垂線段AP的長需要費(fèi)點(diǎn)事，因?yàn)槔摹鰽BO是一個(gè)等腰直角三角形，而此題中的三角形不是特殊的直角三角形，所以我們可以采取等積法來求解。
例題五： 如圖，直線y=x+2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,B，點(diǎn)C是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OC，將線段OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段OD，E是OA的中點(diǎn)，連接DE，求OD+DE的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)。
分析： 此題的點(diǎn)D是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，隨著點(diǎn)C的變化而變化，我們首先要搞清楚的是點(diǎn)D所在的位置，也就是找到隨著點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D形成的軌跡?？紤]到∠COD是一個(gè)直角，我們可以從幾何的角度構(gòu)造“一線三等角”或者構(gòu)造“手拉手”來解決。
不管采用方法一還是方法二，我們都可以發(fā)現(xiàn)隨著點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D形成的軌跡是一條直線，此時(shí)就變成了將軍飲馬了。
總結(jié)： 方法一采用全等表示點(diǎn)的坐標(biāo)回到參數(shù)點(diǎn)的軌跡，根據(jù)所學(xué)知識發(fā)現(xiàn)軌跡是一條直線；方法二給出了軌跡為直線的另一種解決方案——就是動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線和固定直線的夾角為一定角。 問題三：設(shè)置參數(shù)直線系掩蓋定點(diǎn) 例題六： 在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)O到一次函數(shù)y=kx-2k+1圖像距離的最大值為多少？ 分析： 由于k的不確定性，這樣的直線有無數(shù)條，我們分析這無數(shù)條直線的共同特征，發(fā)現(xiàn)它們過同一個(gè)點(diǎn)（2，1）.
綜合上面的各種情況，最值在一次函數(shù)這部分的難點(diǎn)本質(zhì)就是幾何問題，在幾何最值的基礎(chǔ)上通過設(shè)置參數(shù)隱藏點(diǎn)或者直線。如果我們對參數(shù)理解到位的話，問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何問題，從而迎刃而解。 最后留幾個(gè)類似的問題給大家練練手 1.已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a－1,3－2a），求線段OP的最小值. 2.已知實(shí)數(shù)a、b滿足 2a+b=2,則在平面直角坐標(biāo)系中，求動(dòng)點(diǎn)P（a,b）到原點(diǎn)的最小值。 3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) 4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（3，0），B（0，4），以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△ACD，點(diǎn)C簽好落在x軸正半軸上，已知邊OB上得一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為P’，當(dāng)DP+AP’取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，線段CA繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至線段CB，連接BO，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為m，求線段BO+BA的最小值。
6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)C是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持△ACP是等邊三角形（點(diǎn)A、C、P按逆時(shí)針方向排列）；當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，得到等邊三角形AOB（此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合）．當(dāng)點(diǎn)C在x軸上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)．探究點(diǎn)P在怎樣的圖形上運(yùn)動(dòng)，求出這個(gè)圖形所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，并求線段OP的最小值．
END |
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