目有千萬而綱為一，枝葉繁多而本為一。綱舉則目張，執(zhí)本而末從。如果只在細(xì)枝末節(jié)上下功夫，費(fèi)了力氣卻討不了好。學(xué)習(xí)就是不斷地歸一，最終以一心一理貫通萬事萬物，則達(dá)自由無礙之化境矣（呵呵，這境界有點(diǎn)高，慢慢來）。

關(guān)于幾何最值問題研究的老師很多，本人以前也有文章論述，本文在此基礎(chǔ)上再次進(jìn)行歸納總結(jié)，把各種知識(shí)、方法、思想、策略進(jìn)行融合提煉、追本溯源、認(rèn)祖歸宗，以使解決此類問題時(shí)更加簡單明晰。

一、基本圖形

所有問題的老祖宗只有兩個(gè)：①[定點(diǎn)到定點(diǎn)]：兩點(diǎn)之間，線段最短；②[定點(diǎn)到定線]：點(diǎn)線之間，垂線段最短。

由此派生：③[定點(diǎn)到定點(diǎn)]：三角形兩邊之和大于第三邊；④[定線到定線]：平行線之間，垂線段最短；⑤[定點(diǎn)到定圓]：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長）；⑥[定線到定圓]：線圓之間，心垂線截距最短；⑦[定圓到定圓]：圓圓之間，連心線截距最短（長）。

余不贅述，下面僅舉一例證明：[定點(diǎn)到定圓]：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長）。

已知⊙O半徑為r，AO=d，P是⊙O上一點(diǎn)，求AP的最大值和最小值。

證明：由“兩點(diǎn)之間，線段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小時(shí)點(diǎn)P在B處，最大時(shí)點(diǎn)P在C處。即過圓心和定點(diǎn)的直線截得的線段AB、AC分別最小、最大值。(可用“三角形兩邊之和大于第三邊”，其實(shí)質(zhì)也是由“兩點(diǎn)之間，線段最短”推得）。

上面幾種是解決相關(guān)問題的基本圖形，所有的幾何最值問題都是轉(zhuǎn)化成上述基本圖形解決的。

二、考試中出現(xiàn)的問題都是在基本圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式，如圓與線這些圖形不是直接給出，而是以符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)的形式確定的；再如過定點(diǎn)的直線與動(dòng)點(diǎn)所在路徑不相交而需要進(jìn)行變換的。類型分三種情況：（1）直接包含基本圖形；（2）動(dòng)點(diǎn)路徑待確定；（3）動(dòng)線（定點(diǎn)）位置需變換。

（一）直接包含基本圖形。

例1.在⊙O中，圓的半徑為6，∠B=30°，AC是⊙O的切線，則CD的最小值是         。

簡析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定點(diǎn)，C是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，即為求定點(diǎn)D到定線AC的最短路徑，求得當(dāng)CD⊥AC時(shí)最短為3。

（二）動(dòng)點(diǎn)路徑待確定。

例2.，如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B′CP，連接B′A，則B′A長度的最小值是        。

簡析：A是定點(diǎn)，B'是動(dòng)點(diǎn)，但題中未明確告知B'點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，所以需先確定B'點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形，一般有直線與圓兩類。此題中B'的路徑是以C為圓心，BC為半徑的圓弧，從而轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到定圓的最短路徑為AC-B'C=1。

例3.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A'B'C，點(diǎn)E是BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，在△A'B'C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F'，求線段EF'長度的最大值與最小值的差。

簡析：E是定點(diǎn)，F(xiàn)'是動(dòng)點(diǎn)，要確定F'點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑。先確定線段A'B'的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓環(huán)，外圓半徑為BC，內(nèi)圓半徑為AB邊上的高，F(xiàn)'是A'B'上任意一點(diǎn)，因此F'的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓環(huán)內(nèi)的任意一點(diǎn)，由此轉(zhuǎn)化為點(diǎn)E到圓環(huán)的最短和最長路徑。

E到圓環(huán)的最短距離為EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圓環(huán)的最長距離為EF1=EC+CF1=3+6=9，其差為7.2。

（三）動(dòng)線（定點(diǎn)）位置需變換。

線段變換的方法：（1）等值變換：翻折、平移；（2）比例變換：三角、相似。

【翻折變換類】典型問題：“將軍飲馬”。

例4.如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，OP平分∠AOB，且OP=6，當(dāng)△PMN的周長最小值為     。

簡析：動(dòng)線段（或定點(diǎn)）應(yīng)居于動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)，本題的三條動(dòng)線段PM、MN、PN在OA、OB的內(nèi)側(cè)。所以本題的關(guān)鍵是把定線段變換到動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)，從而把三條動(dòng)線段PM、MN、PN轉(zhuǎn)化為連接兩點(diǎn)之間的路徑。如圖，把點(diǎn)P分別沿OA、OB翻折得P1、P2，△PMN的周長轉(zhuǎn)化為P1M+MN+P2N，這三條線段的和正是連接兩個(gè)定點(diǎn)P1、P2之間的路徑，從而轉(zhuǎn)化為求P1、P2兩點(diǎn)之間最短路徑，得△PMN的周長最小值為線段P1P2＝OP＝6。

例5.如圖，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是          。

簡析：本題的問題也在于動(dòng)線段BM、MN居于動(dòng)點(diǎn)軌跡AD的同側(cè)，同樣把點(diǎn)N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到直線AC的最短路徑，即BN'⊥AC時(shí)，最小值為2√2。

【平移變換類】典型問題：“造橋選址”。

例6.如圖，m、n是小河兩岸，河寬20米，A、B是河旁兩個(gè)村莊，要在河上造一座橋，要使A、B之間的路徑最短應(yīng)該如何選址（橋須與河岸垂直）？

簡析：橋長為定值，可以想像把河岸m向下平移與n重合，同時(shí)把點(diǎn)A向下平移河寬，此時(shí)轉(zhuǎn)化成n上的一點(diǎn)到A、B的路徑之和最短，即轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)A'到定點(diǎn)B的最短路徑。如下圖：

思路是把動(dòng)線AM平移至A'M，A'N+BN即轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)A'與定點(diǎn)B之間的最路徑。本題的關(guān)鍵是定長線段MN把動(dòng)線段分隔，此時(shí)須通過平移把動(dòng)線段A'N、BN變?yōu)檫B續(xù)路徑，也可以把點(diǎn)B向上平移20米與點(diǎn)A連接。

例7.如圖，CD是直線y=x上的一條定長的動(dòng)線段，且CD=2，點(diǎn)A（4，0），連接AC、AD，設(shè)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，求m為何值時(shí)，△ACD的周長最小，并求出這個(gè)最小值。

解析：兩條動(dòng)線段AC、AD居于動(dòng)點(diǎn)所在直線的兩側(cè)，不符合基本圖形中定形（點(diǎn)線圓）應(yīng)在動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)。首先把AC沿直線CD翻折至另一側(cè)，如下圖：

現(xiàn)在把周長轉(zhuǎn)化為A'C+CD+AD，還需解決一個(gè)問題：動(dòng)線段A'C與AD之間被定長線段CD阻斷，動(dòng)線段必須轉(zhuǎn)化成連續(xù)的路徑。同上題的道理，把A'C沿CD方向平移CD的長度即可，如下圖。

現(xiàn)在已經(jīng)轉(zhuǎn)化為A''D+AD的最短路徑問題，屬定點(diǎn)到定點(diǎn)，當(dāng)A''D與AD共線時(shí)A''D+AD最短，即為線段AA''的長。

【三角變換類】典型問題：“胡不歸”。

例8.如圖，A地在公路BC旁的沙漠里，A到BC的距離AH＝2√3，AB＝2√19，在公路BC上行進(jìn)的速度是在沙漠里行駛速度的2倍。某人在B地工作，A地家中父親病危，他急著沿直線BA趕路，誰知最終沒能見到父親最后一面，其父離世之時(shí)思念兒子，連連問：“胡不歸，胡不歸……！”（怎么還不回來），這真是一個(gè)悲傷的故事，也是因?yàn)椴欢當(dāng)?shù)學(xué)而導(dǎo)致的。那么，從B至A怎樣行進(jìn)才能最快到達(dá)？

簡析：BP段行駛速度是AP段的2倍，要求時(shí)間最短即求BP/2+AP最小，從而考慮BP/2如何轉(zhuǎn)化，可以構(gòu)造含30°角利用三角函數(shù)關(guān)系把BP/2轉(zhuǎn)化為另一條線段。如下圖，作∠CBD=30°，PQ⊥BD，得PQ=1/2BP，由“垂線段最短”知當(dāng)A、P、Q共線時(shí)AP+PQ＝AQ'最小。

【相似變換類】典型問題：“阿氏圓”。

“阿氏圓”：知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA/PB=k且不等于1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓，如下圖所示，其中PO：BO＝AO：PO＝PA：PB＝k。

例9.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB與x軸交于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心，ED長為半徑作圓，點(diǎn)M為⊙E上一動(dòng)點(diǎn)，求 1/2AM+CM  的最小值。

簡析：本題的主要問題在于如何轉(zhuǎn)化1/2AM，注意到由條件知在M的運(yùn)動(dòng)過程中，EM：AE＝1：2保持不變，從而想到構(gòu)造相似三角形，使之與△AEM的相似比為1：2，這樣便可實(shí)現(xiàn)1/2AM的轉(zhuǎn)化，如下圖取EN：EM＝1：2，即可得△EMN∽△EAM，再得MN=1/2AM，顯然，MN+CM的最小值就是定點(diǎn)N、C之間的最短路徑。

之后便是常規(guī)方法先求N點(diǎn)坐標(biāo)，再求CN的長。

【解法大一統(tǒng)】

萬法歸宗：路徑成最短，折線到直線。

（所求路徑在一般情況下是若干折線的組合，這些折線在同一直線上時(shí)即為最短路徑）

基本圖形：動(dòng)點(diǎn)有軌跡，動(dòng)線居兩邊。

（動(dòng)點(diǎn)軌跡可以是線或圓，動(dòng)線指動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)或定線、定圓的連線，動(dòng)線與折線同指）

核心方法：同側(cè)變異側(cè)，分散化連續(xù)。

（動(dòng)線在同側(cè)進(jìn)，要變?yōu)楫悅?cè)，一般用翻折、三角、相似的方法構(gòu)造；動(dòng)折線被定長線段分散時(shí)需化為連續(xù)折線，一般用平移的方法構(gòu)造，如造橋選址問題）

下圖是構(gòu)造完成的目標(biāo)圖形：

再舉2例說明上述規(guī)律的運(yùn)用方法：

1.如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半徑為2和1，P、E、F分別是CD、⊙A、⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值為           。

思考方法如下圖所示：

2.菱形ABCD中，∠BAC=60°，P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，求BP+1/2AP的最小值。

思考方法如下圖所示：