龔昇教授《簡(jiǎn)明微積分》讀后感

作者：吳文俊

本文是吳文俊院士為龔昇教授的新版《簡(jiǎn)明微積分》一書寫的讀后感。文中，作者以十分通俗簡(jiǎn)明的文字，縱談古今，勻畫了一幅微積分三百年發(fā)展的恢宏畫卷，令人耳目一新，興趣盎然。

龔昇教授的《簡(jiǎn)明微積分》一書，問(wèn)世以來(lái)已經(jīng)出了三版，現(xiàn)又將出第四版。該書以Newton-Leibniz關(guān)于微積分的基本定理及其高維情形的相應(yīng)Stokes定理為核心貫串全書，觀點(diǎn)新穎而深入，在浩如煙海的微積分教材中可謂獨(dú)樹一幟。該書長(zhǎng)期以來(lái)在中國(guó)科技大學(xué)作為教本，取得巨大成功。現(xiàn)對(duì)該書略述本人閱讀后的觀感如下。

美國(guó)一位著名的數(shù)學(xué)史家與數(shù)學(xué)教育家M. Kline先生在他所著《西方文化中的數(shù)學(xué)》一書中曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“一個(gè)人擁有牛頓處于頂峰時(shí)期所掌握的知識(shí)，在今天不會(huì)被認(rèn)為是一位數(shù)學(xué)家。”

Kline又說(shuō):“數(shù)學(xué)是從微積分開始，而不是以之為結(jié)束?！?/p>

Kline先生對(duì)微積分的推崇或許有些過(guò)份，但言外之意反應(yīng)出微積分的發(fā)明對(duì)于數(shù)學(xué)歷史發(fā)展過(guò)程具有難與倫比的巨大作用，則是毋庸置疑的。

回顧一下微積分發(fā)明的歷史，對(duì)于龔昇一教授這部微積分教程的理解，應(yīng)不無(wú)裨益。恩格斯曾經(jīng)指出:微積分“是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的。”

恩格斯道出了歷史的真實(shí)。事實(shí)上，早在大約從巧世紀(jì)初開始的文藝復(fù)興時(shí)期起，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易的大規(guī)模發(fā)展，形成了一個(gè)新的經(jīng)濟(jì)時(shí)代。宗教改革與對(duì)教會(huì)思想禁錮的懷疑，東方先進(jìn)科學(xué)技術(shù)通過(guò)阿刺伯的傳人，以及拜占庭帝國(guó)覆滅后希臘大量文獻(xiàn)的流人歐洲，在當(dāng)時(shí)的知識(shí)階層前面呈現(xiàn)出一個(gè)完全嶄新的面貌，等待著他們充分發(fā)揮聰明才智。

無(wú)數(shù)偉大的思想家在這種大時(shí)代氣息的培育下應(yīng)運(yùn)而生，現(xiàn)代科學(xué)也在與宗教迷信的頑強(qiáng)斗爭(zhēng)中應(yīng)運(yùn)而生，與新時(shí)代的要求相適應(yīng)的新數(shù)學(xué)也因之應(yīng)運(yùn)而生。

文藝復(fù)興初期一位多才多藝具有代表性的思想家Leonando da Vince(1452-1519)，是現(xiàn)代科學(xué)的先驅(qū)者之一。他提倡尋找數(shù)量關(guān)系，認(rèn)為“人們的探討不能稱為是科學(xué)的，除非通過(guò)數(shù)學(xué)上的說(shuō)明和論證，”時(shí)代的要求促成數(shù)學(xué)上一個(gè)空前活躍和富有創(chuàng)造性時(shí)期的誕生。例如測(cè)量、航海與地圖繪制等促成幾何學(xué)與三角學(xué)的發(fā)展;而繪畫對(duì)透視深入認(rèn)識(shí)的要求成為射影幾何發(fā)展的出發(fā)點(diǎn)。更為重要的是，對(duì)解決各種問(wèn)題的普遍科學(xué)方法的研究，導(dǎo)致Fermat與Descartes創(chuàng)造了坐標(biāo)幾何，或所謂解析幾何，為微積分的創(chuàng)造提供了必要的技術(shù)條件。

科學(xué)上對(duì)數(shù)學(xué)提出的種種要求，最后匯總成四種核心的問(wèn)題，并最終導(dǎo)致微積分的產(chǎn)生。這四種問(wèn)題是:運(yùn)動(dòng)中速度與距離的互求問(wèn)題，曲線求切線的問(wèn)題，求長(zhǎng)度、面積、體積與重心的問(wèn)題，以及求極大、極小值的問(wèn)題。在Fermat，Deseartes，Pascal，Kepler，Wallis，Roberval Barrow，Cavalieri，Galileo等難以計(jì)數(shù)的十六、七世紀(jì)學(xué)者們的不斷探索之下，第一、二、四問(wèn)題導(dǎo)致微分的概念，第三個(gè)問(wèn)題導(dǎo)致積分的概念。雖然微分與積分在當(dāng)時(shí)還是比較朦朧的概念，而且是獨(dú)立地發(fā)展的，但至少Newton的老師Barrow就已經(jīng)在他關(guān)于幾何的講義中，指出求曲線切線的問(wèn)題與求曲線下所圍面積的關(guān)系，不僅Newton作為Barrow的學(xué)生應(yīng)親受其益，即使是Leibniz，據(jù)知也曾研究過(guò)Barrow的著作。

經(jīng)過(guò)一個(gè)多世紀(jì)的醞釀，通過(guò)Newton與Leibniz之手，終于認(rèn)識(shí)到微分與積分是互逆的兩個(gè)概念，并統(tǒng)一成微積分基本定理。正如恩格斯所說(shuō)，微積分從此已大體上完成——微積分從此創(chuàng)立。

由這一段歷史過(guò)程可知，Newton與Leibniz之所以能完成微積分的創(chuàng)立大業(yè)，正是由于他們站到了前輩巨人們的肩膀上，才能居高臨下，才能高瞻遠(yuǎn)矚，終于獲得了真理。

微積分創(chuàng)立之后的兩百年間，又經(jīng)歷了一段既曲折又自然的發(fā)展過(guò)程。在18世紀(jì)期間，數(shù)學(xué)家們由于微積分解決問(wèn)題的特出能力，忙著致力于微積分多種多樣的應(yīng)用，建立了不少以微積分方法為主的分支學(xué)科，對(duì)于微積分的理論基礎(chǔ)，則未逞顧及。進(jìn)人19世紀(jì)，微積分本身的矛盾迭出，數(shù)學(xué)家們才不得不對(duì)微積分的基本概念與理論方法細(xì)加分析，通過(guò)實(shí)數(shù)的精確概念與方法等來(lái)奠定了嚴(yán)實(shí)的基礎(chǔ)。

在十八、九世紀(jì)中，原來(lái)局限于單變量的微分與積分運(yùn)算，也已推廣到多變量的情形。但與把微分積分作為互逆運(yùn)算的Newton-Leibniz微積分基本定理之限于單變量的情形相應(yīng)，如何擴(kuò)展至多變量的情形，則似乎并非想像中那么容易。

一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)似乎是近于19世紀(jì)之末，法國(guó)數(shù)學(xué)家Poincare己指出了多重積分的體積元應(yīng)有一個(gè)正負(fù)定向。這一看似平凡的看法使得多重積分在坐標(biāo)變換下原來(lái)有些拖泥帶水的變換公式，有了一個(gè)精練的形式，并使Newton-Leibniz:微積分基本定理到多變量的推廣，步入了坦途。

Poincare關(guān)于體積元有定向的這一發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致了外微分形式的出現(xiàn)。有關(guān)理論由Frobenius，E. Cartan等發(fā)揚(yáng)光大，成為近代數(shù)學(xué)的重要篇章。對(duì)微積分本身來(lái)說(shuō)，則原來(lái)以Green，Gauss，Ostrogradsky等命名的不同形式的定理，統(tǒng)一并推廣成了一個(gè)簡(jiǎn)明的Stokes公式:

其中是外微分形式，是一個(gè)定向區(qū)域，而是外微分運(yùn)算記號(hào)，是區(qū)域取其邊界。

龔昇教授強(qiáng)調(diào)指出，這一Stokes公式正好是單變量情形的Newton-Leibniz微積分基本公式在多變量情形的推廣。

認(rèn)識(shí)這一點(diǎn)并非是件易事。首先是定向的概念。法國(guó)著名的拓?fù)鋵W(xué)家Thom教授，曾經(jīng)對(duì)本人表達(dá)過(guò)這樣的意見:定向概念是幾何拓?fù)渲凶钣猩羁桃饬x的偉大創(chuàng)造之一。對(duì)于Thom先生的卓識(shí)，本人深為欽服。

其次，Stokes定理的真正意義，似乎并未為許多數(shù)學(xué)史家與數(shù)學(xué)家們所認(rèn)識(shí)。前面已提到過(guò)的M. Kline一書，就把Stokes定理納人四元數(shù)向量和線性結(jié)合代數(shù)這一章中，根本未觸及到Stokes定理的實(shí)質(zhì)意義，即其一例。

從15、16世紀(jì)的文藝復(fù)興至17、18世紀(jì)的工業(yè)革命，使人類從農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)時(shí)代進(jìn)人到工業(yè)經(jīng)濟(jì)，與時(shí)代的要求相適應(yīng)，在數(shù)學(xué)上出現(xiàn)了解析幾何與微積分等偉大創(chuàng)造。當(dāng)前，人類又將從工業(yè)經(jīng)濟(jì)時(shí)代進(jìn)人到又一個(gè)嶄新的信息時(shí)代。與新時(shí)代的要求相適應(yīng)，在數(shù)學(xué)上應(yīng)有什么樣的創(chuàng)新，對(duì)數(shù)學(xué)家們是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)，值得人們給以嚴(yán)肅的關(guān)注與深長(zhǎng)的思考。

龔昇教授以其敏銳的目光指出了微積分的核心是單變量的Newton-Leibniz微積分基本定理以及多變量的Stokes公式，可謂切中要害，并使高等院校的初學(xué)者得以輕松地登堂入室。龔昇教授的簡(jiǎn)明微積分一書，將在汗牛充棟的微積分教程中，占有特殊的地位。值此簡(jiǎn)明微積分即將四版之際，謹(jǐn)志數(shù)語(yǔ)，以表本人對(duì)龔昇教授的敬意。