《簡明微積分》這本書，是華羅庚的弟子——龔昇先生的一本名著。這本書最早的版本，于1965年，在中國科學技術大學近代物理系試驗班，作為教材試用。目前已經(jīng)出到第四版，高等教育出版社。在amzon上，可以找到我對第四版的書評，署名是xxxxxxxx，還可以找到更多的書評。

先說一下我接觸這本書的過程，這幾乎是一個巧合。

2010年我博士畢業(yè)，進入山東科技大學擔任教師，教自動化、電氣工程、應用物理等專業(yè)的一些電工基礎課程。比如《電路原理》這門課程，不同的系科也叫《電路基礎》、《電路分析》《電工學1》。

作為工科基礎課的教師，必須熟練掌握微積分、微分方程、線性代數(shù)、復變函數(shù)與積分變換的基礎知識。另外，根據(jù)師門遺風，師祖建議，基礎課教師的數(shù)學水平，應該不低于前蘇聯(lián)斯米爾諾夫的《高等數(shù)學教程》，這本書基本上包括、甚至超出了工科、物理的所有傳統(tǒng)高等數(shù)學知識。而由于《教程》這本書早已絕版，所以我畢業(yè)后不得不尋找替代的讀物。我在畢業(yè)之前，已經(jīng)讀過了前蘇聯(lián)菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》，以及十幾部線性代數(shù)和矩陣，所有很自信“懂”微積分。

后來由于陰差陽錯的原因，在網(wǎng)上偶然看到龔昇先生本人的講座，用外微分講微積分的基本原理，我感覺醍醐灌頂，深受教育。并且立刻意識到，其實自己根本就是一知半解，微積分根本沒入門。更談不上能在我的課程里運用微積分的思想和概念。龔昇先生本人的講座，現(xiàn)在網(wǎng)上仍然可以搜到。所有學微積分、但沒學過外微分的讀者，我都強烈建議去讀這部《簡明微積分》。我在圖書館先看過幾次，感覺實在有必要，就買了一本。為此我曾兩個晚上連續(xù)通宵。工科和物理的書，完全可以引人入勝，就看作者有沒有這個能力和水平。

著名數(shù)學家吳文俊先生為這本書寫了序，引幾句給各位看看。......通過Newton與Leibniz之手，.....認識到微分與積分是互逆的兩個概念，.....統(tǒng)一成微積分基本定理。......法國數(shù)學家H.J.Poincare指出了多重微積分應該有一個正負定向。......使多重積分在坐標變換下原來有些拖泥帶水的變換公式，有了一個精煉的形式，并使Newton——Leibniz微積分基本定理到多變量的推廣，步入了坦途。（------注：就是Newton——Leibniz、格林、高斯、斯托克斯四個公式可以寫成一個stokes公式。）H.J.Poincare關于體積元有定向這一發(fā)現(xiàn)，導致了外微分形式的出現(xiàn)。......定向是幾何拓撲中最有深刻意義的的偉大創(chuàng)造之一。......龔昇教授以其敏銳的目光指出了微積分的核心是單變量的Newton——Leibniz微積分基本定理以及多變量的Stokes公式，可謂切中要害，并使高等院校的初學者得以輕松地登堂入室。.....在汗牛充棟的微積分教程中，占有特殊的位置。

下面是我的一些體會。

《簡明》與通常的課本，比如同濟《高數(shù)》很不同。

《簡明》在第5頁就開始了定積分，然后第18頁開始微分，前30頁就已經(jīng)講完了微分中值定理和微積分基本定理。真是能讓初學者大開眼界，非一般的教學水平。稍后的泰勒展開、近似計算也很精彩。緊接著非常順暢地，介紹了工科根本不教的，微分方程解的存在性和唯一性定理（這是在求解微分方程之前必須考察的，只有有解，你才有可能去求；只有解唯一，你才能說你找到了那個解，或者去逼近那個解）。這個定理我在碩士的時候，用了兩個星期才看懂什么意思。當時這個定理對我的學習影響很大，直接引導我進入了非線性系統(tǒng)理論的學習。

《簡明》后來很輕松地介紹了Jacobi矩陣，這個很重要，就是坐標換元法的意思，基本上會在所有微積分的應用中明顯地或者隱含著地出現(xiàn)，比如初等概率論中求正態(tài)隨機變量的變換等等。

最最精彩的莫過于第七章，線、面積分與外微分形式，龔昇先生以完全初等水平的知識，輕松闡明了格林、高斯、斯托克斯公式形式上、思想上都是Newton——Leibniz微積分基本定理的推廣：他們統(tǒng)統(tǒng)是，函數(shù)在高維區(qū)域的積分與原函數(shù)在低維（高維的邊界）的積分這兩個東西的關系。這一章，你還可以學到為什么三維空間只能定義梯度、旋度、和散度。以及高水平的——一般在微分幾何中，比如在微分流形中——才出現(xiàn)的重要的H.J.Poincare引理及其逆。

第九章，一致連續(xù)性、Darbou和，函數(shù)的可積性（就是你什么時候才能算積分?。。。?/strong>

第十章也夠精彩。這一章你能學到審斂法的Dirichlet定理和Abel定理。對我影響很大的一個思想是，數(shù)列、、函數(shù)、級數(shù)、廣義積分完全可以看成是一回事。這使得我在學習實分析和泛函分析的時候，減少了很多思想上的、邏輯上的困難。

最后一章是傅里葉級數(shù)，雖然精彩，但是對工科和物理系，比如電氣電子要學習電磁場，感覺不夠，我想你應該去讀專門的偏微分方程或者數(shù)學物理。

《簡明》一書，主題分明，一氣呵成，讀此書宛如聽龔昇先生本人的講解。由于《簡明》大大地提高了我對數(shù)學的認識和好奇心，極大地影響了我的教學和工作，我愿意將此書推薦給所有對高等數(shù)學有需求的讀者。

最后要說明一點，“學什么”這件事，或許是你踐行“活到老學到老”這一準則的大問題，但是初學者根本沒有能力考慮自己該學什么，或許只能陰差陽錯地“胡亂”做一個決定。不過，能知道自己學了什么，這些東西到底什么意思，是不是退而求其次的好態(tài)度呢？讀懂《簡明》，基本上，你已經(jīng)做好了微積分入門的準備。隨著見識的積累、能力的增長，比如Rudin的《數(shù)學分析原理》（我曾用這本書教過工科碩士三次）等等國際名著，已經(jīng)在向你招手了，而你可能走向更加了解自己、更加相信科學的道路。

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