在我們開始探索歐拉恒等式之前，讓我們先來回顧一段令人驚嘆的歷史。戀愛數(shù)字大約在公元前500年，希臘人認(rèn)為有些數(shù)字比其他數(shù)字更重要。特別是，他們知道兩個(gè)具有非凡性質(zhì)的數(shù)字。這兩個(gè)數(shù)字是220和284。在解釋為什么這些數(shù)字如此有趣之前，我們需要知道什么是真約數(shù)。n的真約數(shù)，是一個(gè)比n小的自然數(shù)，它能被n整除。例如，6的真約數(shù)是1、2、3。220和228有趣的原因是220的真約數(shù)之和是284，284的真約數(shù)之和是220。這種關(guān)系叫做親和關(guān)系，數(shù)字叫做親和數(shù)字。希臘人認(rèn)為這是一個(gè)非常重要的關(guān)系，但他們找不到更多這樣的數(shù)字。這種狀態(tài)持續(xù)了大約一千年，直到伊本庫拉在9世紀(jì)又發(fā)現(xiàn)了兩對(duì)。那時(shí)候，數(shù)學(xué)中心已經(jīng)從歐洲和埃及轉(zhuǎn)移到阿拉伯世界，并在那里快速發(fā)展了近500年。伊本庫拉的發(fā)現(xiàn)并沒有傳到歐洲，那里只知道一對(duì)（220，228）。直到1636年費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)了一對(duì)。他找到的數(shù)字是17296和18416。在這一時(shí)期，兩個(gè)數(shù)學(xué)巨人之間爆發(fā)了一場(chǎng)數(shù)學(xué)內(nèi)戰(zhàn)。即皮埃爾·德·費(fèi)馬和勒內(nèi)·笛卡爾。費(fèi)馬找到了一對(duì)友好的數(shù)字，因此笛卡兒必須另找一個(gè)。在1638年，他發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)數(shù)字分別是9,363,584和9,437,056。那時(shí)是沒有計(jì)算器的。費(fèi)馬和笛卡爾發(fā)現(xiàn)的那兩對(duì)和伊本庫拉發(fā)現(xiàn)的是一樣的。因此，2000年來，數(shù)學(xué)天才們只發(fā)現(xiàn)了3對(duì)親和數(shù)。歐拉決定試一試，然后發(fā)現(xiàn)了58對(duì)親和數(shù)！這太瘋狂了。當(dāng)然，歐拉不是靠蠻力試錯(cuò)去找的。歐拉找到了一種依靠除數(shù)和函數(shù)的特性以及一些天才的見解的方法。你會(huì)問，是否有無窮多對(duì)親和數(shù)？沒有人知道……這又是數(shù)學(xué)的一個(gè)謎題。最美的恒等式歐拉在很多方面在數(shù)學(xué)家中都很有名，但有一種美比其他的更閃耀，它被稱為數(shù)學(xué)中最美麗的等式。我將用幾種不同的方式來解釋這個(gè)等式，這樣讀者就會(huì)有一種直觀的理解和數(shù)學(xué)上的理解。如果你想做加法你需要0，如果你想做乘法你需要1，如果你想做微積分你需要e，如果你想做幾何你需要π，如果你想做復(fù)分析你需要i，這是數(shù)字的夢(mèng)之隊(duì)，它們都在這個(gè)方程里。 在解釋等式之前，我們先來定義一下這些數(shù)字。0和10當(dāng)然是一個(gè)數(shù)字，但它是一個(gè)非常特殊的數(shù)字。它是負(fù)數(shù)和正數(shù)之間的極限，它是唯一不能被除的數(shù)，最重要的是，它是加法恒等式，也就是說x + 0 = x對(duì)于所有的x都成立。這可能看起來微不足道，但實(shí)際上，這是一個(gè)大問題，因?yàn)樗菙?shù)學(xué)中群論的重要組成部分。群論是關(guān)于對(duì)稱的數(shù)學(xué)，但那是另一篇文章。同樣，數(shù)字1當(dāng)然是乘法恒等式。π的定義π在數(shù)學(xué)中到處都是。從數(shù)論到概率論和三角學(xué)，但這是為什么呢？圓與對(duì)稱性和周期性都有關(guān)系，這些現(xiàn)象在自然界和數(shù)學(xué)中很多不同的事件中都有發(fā)生。從熱輻射到隨機(jī)運(yùn)動(dòng)和電磁波的振動(dòng)，再到統(tǒng)計(jì)分布的密度等等。π的定義當(dāng)然是一個(gè)圓的周長(zhǎng)除以它的直徑，但它卻不能被寫成整數(shù)的分?jǐn)?shù)形式。這就是我們所說的無理數(shù)。e的定義那么e呢？這個(gè)數(shù)字有點(diǎn)難定義，但我們會(huì)嘗試一下。首先，e是一個(gè)約為2.7182818的數(shù)字，是歐拉本人在1748年首次發(fā)現(xiàn)的。她是無理數(shù)。歐拉發(fā)現(xiàn)了如何計(jì)算它：歐拉在1748年就是這么寫的。如果你學(xué)過微積分，那么你可能會(huì)記得微分算子有一個(gè)恒等式，也就是函數(shù)：這是非常重要的，因?yàn)椋紫?，它使我們能夠解微分方程。由于幾乎所有的物理定律和系統(tǒng)都可以用微分方程來描述，所以微分方程在物理、生物、數(shù)學(xué)等科學(xué)中都非常重要。因此，你可以將數(shù)字e描述為指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，即給定時(shí)刻的變化率等于它在那一刻的值。i的定義那么數(shù)字i是多少？很多年來，人們不接受“i”這個(gè)數(shù)字，但話說回來，當(dāng)負(fù)數(shù)第一次出現(xiàn)時(shí)，他們也不接受負(fù)數(shù)，所以我想這是一個(gè)成熟的問題。在歐拉時(shí)代，人們對(duì)這個(gè)數(shù)字知之甚少?，F(xiàn)在，對(duì)i和使用它的函數(shù)的研究被稱為復(fù)分析，當(dāng)然，歐拉從一開始就引領(lǐng)了這一奇異的新領(lǐng)域。就像數(shù)學(xué)中的許多其他東西一樣，我可以有很多不同的定義。有些比較正式。我們將堅(jiān)持使用最簡(jiǎn)單的定義。i是具有以下屬性的數(shù)字：當(dāng)然，沒有實(shí)數(shù)滿足這個(gè)條件，因?yàn)槿绻惆褍蓚€(gè)負(fù)數(shù)相乘，你會(huì)得到一個(gè)正數(shù)。我們有時(shí)稱之為虛單位。復(fù)數(shù)是一種形式為A +bi的數(shù)字，其中A和b是實(shí)數(shù)。復(fù)分析是對(duì)復(fù)變量的復(fù)值函數(shù)的研究，（在我看來）是數(shù)學(xué)中最美妙的學(xué)科之一。但是，我們能用它們做什么呢？許多真實(shí)世界的計(jì)算都依賴于復(fù)數(shù)，從雷達(dá)技術(shù)到微分方程的解，再到量子力學(xué)等等。太好了。現(xiàn)在我們了解了歐拉恒等式中的所有成員。下一個(gè)問題是，為什么歐拉恒等式是正確的。為了回答這個(gè)問題，我們需要對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)字持開放的態(tài)度。數(shù)字運(yùn)算與幾何變換之間的對(duì)偶性首先，我想拓展一下你們的想象力。想象一下數(shù)軸，也就是實(shí)數(shù)，從負(fù)無窮到正無窮，中間是0?，F(xiàn)在我們來考慮一下如果我們把數(shù)軸上所有的數(shù)加2會(huì)發(fā)生什么。在這種情況下，-2趨于0，-1趨于1,0趨于2，以此類推。換句話說，整個(gè)實(shí)數(shù)線將平移2個(gè)單位。這種轉(zhuǎn)換叫做平移。如果你加上0，那么就不會(huì)發(fā)生平移。如果我們要做減法，也就是用一個(gè)負(fù)數(shù)相加呢？基本變換是一樣的，但它是逆變換。因此，加減相同的數(shù)字相當(dāng)于在每個(gè)方向上向左和向右移動(dòng)相同的數(shù)量，從而回到開始的位置。這就等于加0，也就是，x -x = x + (-x) = 0。好吧，用上面同樣的方法來思考，你可以在你的腦海中看到，用一個(gè)正數(shù)相乘實(shí)際上是對(duì)數(shù)軸的拉伸。除法實(shí)際上是偽裝的乘法，是乘法逆變換。當(dāng)然，這個(gè)變換的恒等式對(duì)應(yīng)于乘以1。那么乘以一個(gè)負(fù)數(shù)呢？它對(duì)應(yīng)什么變換？首先，我們需要記住乘以-x實(shí)際上等于先乘以x然后再乘以-1。實(shí)數(shù)乘以-1對(duì)應(yīng)的是在0處的反射。你可以在數(shù)軸上取一個(gè)數(shù)字x然后乘以-1來看出這一點(diǎn)。然后在-x處對(duì)稱地落在0的另一邊。當(dāng)x為負(fù)時(shí)，這個(gè)也成立。當(dāng)我第一次發(fā)現(xiàn)不同數(shù)字的變換和運(yùn)算之間的雙重關(guān)系時(shí)，我被一種美麗和完整的感覺所震撼。從來沒有人向我解釋過為什么一個(gè)負(fù)數(shù)乘以一個(gè)負(fù)數(shù)是一個(gè)正數(shù)。這是因?yàn)殛P(guān)于同一條直線的兩個(gè)反射的變換等于恒等變換，也就是什么都不做的變換。這里的恒等變換轉(zhuǎn)化為數(shù)字和運(yùn)算，相當(dāng)于乘1的動(dòng)作。 這也可以用環(huán)理論中的同態(tài)理論來解釋，但這個(gè)更先進(jìn)一些，我后來才知道。我仍然認(rèn)為數(shù)字幾何是一種更美的方法。現(xiàn)在我們已經(jīng)解釋了實(shí)數(shù)的經(jīng)典運(yùn)算是如何與它們對(duì)應(yīng)的變換結(jié)合在一起的，以及它們到底是什么，但是我們?nèi)鄙僖粋€(gè)重要的變換，那就是旋轉(zhuǎn)。聽起來我們必須在二維數(shù)字平面上發(fā)明一些新的奇怪的數(shù)字，不是為了解復(fù)雜的方程，而是為了我們變換的完整性。那么這些外來數(shù)字的性質(zhì)是什么呢？我們?nèi)∵@個(gè)數(shù)乘以它，就等于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。首先，我們可以通過將這個(gè)有趣的數(shù)字乘以1來得到它的位置，因?yàn)樗鼞?yīng)該等于它本身，但它也應(yīng)該與我們將1旋轉(zhuǎn)90度后得到的數(shù)字相同。因此這個(gè)新數(shù)位于數(shù)字平面上的點(diǎn)(0,1)，在這個(gè)新的數(shù)字系統(tǒng)中，現(xiàn)在變成（1,0）。顯然，當(dāng)我們乘以這個(gè)數(shù)的平方時(shí)，我們旋轉(zhuǎn)了180度。所以這個(gè)數(shù)的平方使1變?yōu)?1。因此這個(gè)神秘?cái)?shù)字的平方等于-1。我們現(xiàn)在推導(dǎo)出的是這個(gè)數(shù)字就是i，虛數(shù)單位。i是位于數(shù)字平面（0,1）處的數(shù)。所以復(fù)數(shù)的集合是一個(gè)非常必要的，它們負(fù)責(zé)旋轉(zhuǎn)變換。結(jié)果是復(fù)數(shù)a +bi只不過是復(fù)數(shù)平面中的點(diǎn)(a, b)。這意味著，我們所有的數(shù)字實(shí)際上都生活在一個(gè)二維世界中，每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)數(shù)。因此，所有實(shí)數(shù)也是復(fù)數(shù)，但并非所有復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)。歐拉無法獲得這種幾何視圖，因?yàn)樗呛髞碛煽ㄋ古痢ろf塞爾、卡爾·弗里德里?！じ咚沟热耸紫乳_發(fā)的。歐拉把i看成是一個(gè)具有負(fù)平方性質(zhì)的數(shù)。既然我們已經(jīng)從這個(gè)角度理解了數(shù)字，并且記住了這種二元性，那么在直觀地理解歐拉恒等式之前，我們只需要再多一個(gè)要素。我們需要知道弧度是什么。想想看，為什么一個(gè)圓是360度？原來這是巴比倫人和他們的十六進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)遺留下來的。所以我們用另一種方式計(jì)算“度”。都是關(guān)于半徑為1的歸一化圓，也就是所謂的單位圓。這個(gè)圓定義了三角函數(shù)即cos, sin, tan, sec，等等，所以用它來定義度是很自然的。我們只需選擇單位圓的周長(zhǎng)。所以360度對(duì)應(yīng)2π弧度，180度對(duì)應(yīng)π弧度，以此類推。下面是一個(gè)事實(shí)，我們將給出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明，但現(xiàn)在，我們將在這里陳述它：當(dāng)我們將任意復(fù)數(shù)z與這個(gè)數(shù)相乘時(shí) 結(jié)果就是z旋轉(zhuǎn)了θ弧度?。ê苤匾?/section>現(xiàn)在，我們準(zhǔn)備再看一遍歐拉恒等式，用我們對(duì)數(shù)字及其相互運(yùn)算的新理解。但這次寫得有點(diǎn)不同：其實(shí)很簡(jiǎn)單。我們知道，左邊寫著“旋轉(zhuǎn)π弧度”，右邊寫著“在數(shù)字0處反射”。現(xiàn)在我們從幾何的角度來理解了它，因?yàn)楝F(xiàn)在我們有了一些與方程相關(guān)的圖，但這算不上證明。但我們從未展示過數(shù)字e與與它相關(guān)的復(fù)數(shù)的角度是如何相關(guān)的。同時(shí)，我想展示歐拉是如何證明他的等式的。歐拉用一個(gè)更一般的結(jié)果來說明角與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，即首先，它意味著指數(shù)函數(shù)是周期性的。當(dāng)你畫它的圖形時(shí)它可能看起來不像但那是因?yàn)樗闹芷谑翘摰摹Ｖ芷谑?πi，因?yàn)閏os和sin的周期都是2π。首先，他寫出麥克勞林級(jí)數(shù)的指數(shù)。然后他把i從括號(hào)中拉了出來。注意，右邊括號(hào)里的級(jí)數(shù)是交替的。在這之后，他認(rèn)識(shí)到括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)級(jí)數(shù)分別是cos和sin的麥克勞林級(jí)數(shù)。為了解釋指數(shù)函數(shù)和角度之間的關(guān)系，把一個(gè)復(fù)數(shù)想象成復(fù)數(shù)平面上的一個(gè)點(diǎn)，它的坐標(biāo)是（a, b）。這個(gè)數(shù)可以寫成a+bi，并且它到原點(diǎn)的距離。我們稱這個(gè)距離為它的長(zhǎng)度r，那么與實(shí)線的夾角呢？如果我們從點(diǎn)（a, b）畫一條直線到與虛軸平行的實(shí)軸，我們也從點(diǎn)到原點(diǎn)畫一條直線，就形成了一個(gè)直角三角形。原點(diǎn)的角度就是復(fù)數(shù)a+bi的輻角。求復(fù)數(shù)的實(shí)參（或角），我們從三角學(xué)中知道當(dāng)斜邊的長(zhǎng)度是r，那么sin乘以r就是對(duì)邊的長(zhǎng)度，cos乘以r就是鄰邊的長(zhǎng)度。換句話說，在復(fù)數(shù)a+ib中，我們得到a = rcos(θ) b = rsin(θ)所以：我們?cè)谏弦粋€(gè)等式中使用了歐拉恒等式。換句話說，任何復(fù)數(shù)a+bi都可以用這種極坐標(biāo)表示，用指數(shù)函數(shù)表示它的自變量和模。如果x = π， sin項(xiàng)消失（變?yōu)?），cos項(xiàng)變?yōu)?1就得到了歐拉恒等式了。這最終證明了他美麗的恒等式。有人說歐拉是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家，有人說高斯才是，這并不重要。重要的是，我們確實(shí)是站在巨人的肩膀上。
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