湖北陽新縣高級中學(xué)      鄒生書

      在立體幾何線線、線面、面面的平行和垂直的證明中，面面垂直是重中之重，是立體幾何考查的重點(diǎn)難點(diǎn)和熱點(diǎn)。本文僅從一個(gè)典型題目的解法來管窺立體幾何面面垂直的向量證法，與讀者朋友交流分享。

一、題目與解法

題目：如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，

PC＝2,在四邊形ABCD中,∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，

點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角．

求證：

(1)CM∥平面PAD；

(2)平面PAB⊥平面PAD.

(2)方法一：法向量垂直推出面面垂直

點(diǎn)評：這種方法在建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后證明這兩個(gè)法向量互相垂直即可。方法特點(diǎn)是以算代證，就是運(yùn)算量有點(diǎn)大，算的多想的少。相反，多思少算。我們可以用面面垂直的判定定理,通過線面垂直來證明面面垂直。思考在其中的一個(gè)平面內(nèi)找一條直線與另一個(gè)平面垂直，這條直線往往與這兩個(gè)平面的交線相關(guān)，由面面垂直的性質(zhì)定理知道，如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)與交線垂直的直線必與另一個(gè)平面垂直。兩線垂直問題又常常運(yùn)用等腰三角形底邊上的中線以是底邊的高來獲得。對于本題在這種思路的引領(lǐng)下我們有如下兩種解法。

方法二：線面垂直推出面面垂直（一）

方法三：線面垂直推出面面垂直（二）

二、配套練習(xí)：

如圖所示，已知四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，

∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，

平面PBC⊥底面ABCD.求證：

(1)PA⊥BD；

(2)平面PAD⊥平面PAB.

三、思維升華，方法小結(jié)：

(1)用向量證明平行的方法

①線線平行，只需證明兩直線的方向向量是共線向量．

②線面平行，證明直線的方向向量能用平面的兩個(gè)基底表示，或證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．

③面面平行，證明兩平面的法向量是共線向量．

(2)用向量證明垂直的方法

①線線垂直，只需證明兩直線的方向向量互相垂直．

②線面垂直，證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量．

③面面垂直，證明兩平面的法向量互相垂直，或在其中一個(gè)平面內(nèi)找一條直線，證明這條直線的方向量與另一個(gè)平面垂直.