軌跡法突破一類解三角形面積最值問(wèn)題之二

原來(lái)也有“圓”

江西省新建二中    曾蓉

【引言】通過(guò)上一節(jié)微課程的學(xué)習(xí)，我們了解了若背景條件中出現(xiàn)了兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)定比值，則要構(gòu)造阿波羅尼斯圓來(lái)處理解三角形中面積的最大值問(wèn)題，值得我們細(xì)細(xì)體會(huì)的是何時(shí)才來(lái)構(gòu)造阿氏圓，核心條件即給出三角形中的一邊，及存在邊的比例關(guān)系。若對(duì)條件適當(dāng)更改，又將有哪些應(yīng)對(duì)方法呢？

【分析】我們知道求最值基本思路是轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解。本題條件比較簡(jiǎn)潔，給出一邊，以及另兩邊的平方和為定值，不難想到利用余弦定理切入。

【思路一】函數(shù)思想——以邊為自變量

【思路三】建立直角坐標(biāo)系——軌跡法

【反思】思路一、二的函數(shù)思想屬于通性通法，容易想到，但綜合性較強(qiáng)，涵蓋了余弦定理、面積公式、基本不等式多重知識(shí)的綜合應(yīng)用，需要有較強(qiáng)的綜合素養(yǎng)。而思路三則利用解析法從幾何運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)闡述，更被易于學(xué)生們接受，體現(xiàn)了軌跡思想的簡(jiǎn)潔性。

【練習(xí)一】

【再度分析】以上解法可看出，將面積轉(zhuǎn)化為某邊或某角的函數(shù)已不容易實(shí)現(xiàn)，而是需要借助基本不等式才得以轉(zhuǎn)化為某邊的函數(shù)，進(jìn)而求函數(shù)的最大值，相當(dāng)于用了兩次不等關(guān)系，思維強(qiáng)度及計(jì)算能力要求較高。下面，若從幾何的角度將代數(shù)問(wèn)題坐標(biāo)化，是否會(huì)出現(xiàn)驚喜呢？

【思路二】建立直角坐標(biāo)系——軌跡法

【反思】本題雖沒(méi)有給出固定邊，不妨假設(shè)AB邊固定，利用軌跡法，得出上點(diǎn)C的軌跡方程，將面積轉(zhuǎn)化為了邊c的函數(shù)，進(jìn)而求出最大值得出答案。

【分析】關(guān)注條件“4a²=b²+2c²”結(jié)合余弦定理，并將面積公式代入目標(biāo)式，綜合考察，由于條件中邊的系數(shù)各不相同，想用函數(shù)思想化為某邊式某角的函數(shù)處理有較大的困難。此時(shí)，軌跡法是否依然可行呢？

【思路】建立直角坐標(biāo)系——軌跡法           

  通過(guò)本節(jié)微專題課程，我們學(xué)習(xí)了解三角形問(wèn)題中若出現(xiàn)了形如一類“xa²+yb²+cz²=w”的條件除了用余弦定理、面積公式及基本不等式綜合考察外，還可以從幾何角度，從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)出發(fā)，合理的建立直角坐標(biāo)系，代數(shù)形式坐標(biāo)化，抽象表達(dá)形象化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，思維強(qiáng)度、計(jì)算過(guò)程大大簡(jiǎn)化，收獲到了意想不到的

                                                            2020年1月29號(hào)