提要

分類討論是初中數(shù)學(xué)中煎要的思想之一，解答分類討論的問(wèn)題，要求學(xué)生必須具備堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。學(xué)生在審題過(guò)程中不注意進(jìn)行全面的分析與查找，常會(huì)遺漏個(gè)別符合題意的結(jié)果，導(dǎo)致解答不完整。分類討論的實(shí)質(zhì)是化繁為簡(jiǎn)，將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分為幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，分而治之。

知識(shí)全解

一．分類討論思想的概念

分類討論思想是一種最基本的解決問(wèn)題的思維策略，就是把要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的類別，然后逐類進(jìn)行研究求解的一種數(shù)學(xué)解題思想。但是問(wèn)題不能以統(tǒng)一的同一種方法處理或同一形式來(lái)表述，概括時(shí)，根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，再按照一定的原則或某一確定的標(biāo)準(zhǔn)，在比較的基礎(chǔ)上，將對(duì)象劃分為若干個(gè)既有聯(lián)系又有區(qū)別的部分，進(jìn)行逐類討論，最后把幾類結(jié)論匯總，從而得出問(wèn)題的答案。

二、引起分類討論的原因

分類討論思想貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容中，初中階段數(shù)學(xué)運(yùn)用分類討論思想解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其引起分類的原因主要可以歸結(jié)為以下幾個(gè)方面．

(1)概念本身是分類定義的，如絕對(duì)值等

(2)問(wèn)題中涉及的教學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是有條件或范圍是限制的，或者是分類給出的

(3)含有字母系數(shù)（參數(shù)）的問(wèn)題，有時(shí)需對(duì)該字母的不同取值范圍進(jìn)行討論

(4)某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等都要進(jìn)行分類討論

三．通常解答分類討論型問(wèn)題的一般步驟如下

(1)確定分類對(duì)象

(2)對(duì)問(wèn)題中的某些條件進(jìn)行分類，要遵循同一標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類。（需理清分類的界限，選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，并做到不重復(fù)，不遺漏）

(3)逐類進(jìn)行討論（有時(shí)分類并不是一次完成的，還須進(jìn)行逐級(jí)分類，對(duì)于不同級(jí)的分類，其分類標(biāo)準(zhǔn)不一定統(tǒng)一）

(4)對(duì)各類討論結(jié)果進(jìn)行歸納，并加以整合，歸納出結(jié)論，運(yùn)用分類討論思想解決問(wèn)題時(shí)要在確保正確的基礎(chǔ)上盡量減少分類，使問(wèn)題解決過(guò)程簡(jiǎn)潔化

經(jīng)典例題

類型1 由限制條件或范圍引起的分類

例1 如圖所示，在△ABC中，AB=AC，中線BD把△ABC的周長(zhǎng)分為15和6兩部分，求△ABC各邊的長(zhǎng)

【解析】設(shè)AD=CD=x，則AB=AC=2x，

當(dāng)AB+AD=15，BC+ CD =6時(shí)，得2x+x= 15，x=5，BC=1

所以三角形的三邊長(zhǎng)為10、10、1；

當(dāng)AB+AD=6，BC+CD=15時(shí)，得2x+x=6，x=2，BC=13,

所以三角形的三邊長(zhǎng)為4、4、13

因?yàn)?+4<13，所以不能構(gòu)成三角形，

因此△ABC的三邊長(zhǎng)為AB=AC=10，BC=1。

【點(diǎn)評(píng)】解答此類問(wèn)題時(shí)，要注意分情況討論，以防漏解，同時(shí)要加強(qiáng)對(duì)于三角形中特殊線段的性質(zhì)的理解及運(yùn)用

類型2 含有字母的分類

例2 設(shè)a是有理數(shù)，則|a| -a的值( )

A．是負(fù)數(shù) B．是非負(fù)數(shù) C.是正數(shù) D．可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

【解析】由于題中沒(méi)有給出a是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0，故需分情況討論

當(dāng)a為正數(shù)時(shí)，|a| -a=a-a=0

當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，|a| -a= -a-a= -2a>0

當(dāng)a為0時(shí)，|a| -a=0-0=0

綜上所述，|a| -a≥0,故選B。

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)被研究的問(wèn)題包含多種情形，不能一概而論時(shí)，必須按可能出現(xiàn)的所有情形來(lái)分別討論，得出各種情形下相應(yīng)的結(jié)論，這種處理問(wèn)題的思維方法稱為分類思想。運(yùn)用它可以克服思維的片面性，有效地考查學(xué)生思維的全面性與嚴(yán)謹(jǐn)性。

類型3 對(duì)各類問(wèn)題的不確定性進(jìn)行分類

例3 如圖所示，⊙O的半徑為3cm，B為⊙O外一點(diǎn)，OB交⊙O于點(diǎn)A，AB= OA，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以πcms的速度在⊙O上按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A立即停止.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為_(kāi)____s時(shí)，BP與⊙O相切

【解析】點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BP與⊙O相切會(huì)出現(xiàn)在兩個(gè)不同的位置上：

①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到直線OA的上方時(shí)，若BP與⊙O相切，連接OP，則∠OPB=90度

∵OP=OA =AB，∴∠B=30度，∴∠ POA =60度

∴劣弧AP的長(zhǎng)為60π×3/180=π(cm)

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1s

②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到直線OA的下方點(diǎn)P’位置時(shí)，若BP'與⊙O相切，連接OP'。同①，可得∠P'OA=60度。

∴優(yōu)弧APP’的長(zhǎng)為(360-60)π×3/180=5π(cm)

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為5s.故填1或5.

【點(diǎn)評(píng)】除了上述類型外，壓軸題中的存在性問(wèn)題和探究性問(wèn)題也經(jīng)常要對(duì)不同的情況進(jìn)行討論，這里由于篇幅的原因，就不一一敘述了?？傊?，應(yīng)用分類討論思想解題時(shí)，必須明確分類的依據(jù)，保證分類標(biāo)準(zhǔn)前后一致，另外分出的各類情況應(yīng)該既不重復(fù)也無(wú)遺漏。

真題演練

例1 三角形三邊之間的關(guān)系

己知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和6，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為( )

A.11 B．16 C. 1 7 D．16或17

【解析】①等腰三角形的腰為5，底為6時(shí)，周長(zhǎng)為5+5+6=16;

②當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為5時(shí)，周長(zhǎng)為5+6+6-17

故這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為16或17，故選D．

【點(diǎn)評(píng)】在解答此題時(shí)要注惠進(jìn)行分類討論，判斷能否構(gòu)成三角形的簡(jiǎn)單方法是看較短兩條線段的和是否大于最長(zhǎng)的線段，若大于，則能構(gòu)成三角形；反之不能。

例2 圓中分類討論

已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長(zhǎng)為( )．

A．2√5cm B.4√5cm C．2√5cm 或4√5cm D.2√3cm 或√3cm

【解析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由于點(diǎn)C的位置不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論

圖1 圖2

【點(diǎn)評(píng)】解決圓的有關(guān)雙解問(wèn)題時(shí)，當(dāng)沒(méi)有圖形時(shí)，應(yīng)該根據(jù)題意仔細(xì)畫(huà)出圖形；當(dāng)有圖形時(shí)，要根據(jù)題意注惠兼顧到每一種情況，把缺少的圖形畫(huà)出來(lái)幫助分析題意，盡量避免因思維定勢(shì)造成漏解的情形。

例3點(diǎn)、線的運(yùn)動(dòng)變化引起的分類

如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角頂點(diǎn)A在x軸上，OA=4，AB=3，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1.25個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿OB向終點(diǎn)B移動(dòng)。當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒（0<x<4）時(shí)，解答下列問(wèn)題：

（1）求點(diǎn)N的坐標(biāo)（用含x的代數(shù)式表示）

（2）設(shè)△OMN的面積是S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式；但x為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

（3）在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【解析】（1）根據(jù)題意得：MA=x，ON=1.25x

（3) 存在某一時(shí)刻，使△OMN是直角三角形，理由如下

分兩種情況：①若∠OMN=90度，如圖所示

則MN||AB

此時(shí)OM=4-x，ON=1.25x

∵MN||AB

∴△OMN∽△OAB,∴OM/OA=ON/OB,即(4-x)/4=1.25x/5

解得：x=2

②若∠OMN=90度，如圖所示

則∠OMN=∠OAB

此時(shí)OM=4-x，ON=1.25x

∵∠ONM=∠OAB,∠MON=∠BOA

∴△OMN∽△OBA,∴OM/OB=ON/OA,即（4-x）/5=1.25x/4

解得：x=64/41

綜上所述，x的值是2或64/41

【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形特征，直角三角形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，求二次函數(shù)的解析式以及最值等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是(3)中，需要進(jìn)行分類討論，通過(guò)證明三角形相似才能得出結(jié)果。