二次函數(shù)與特殊三角形的存在性問題主要分為兩類：

一類是靜態(tài)的特殊三角形的存在性問題；一類是動態(tài)的特殊三角形的存在性問題 .

靜態(tài)的特殊三角形的存在性問題難度相對較小，

可根據(jù)拋物線的對稱性以及三角形的特點(diǎn)為切入點(diǎn)來解決；

動態(tài)的特殊三角形的存在性問題難度相對較大，

解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分析出動點(diǎn)在動的過程一些不變的量以及不變的關(guān)系 .

本節(jié)主要來討論下關(guān)于動態(tài)的特殊三角形的存在性問題 .

類型一：等腰三角形存在性問題

【例題1】如圖，已知拋物線 y = -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 與 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C .

（1）求點(diǎn) A , B , C 的坐標(biāo)；

（2）此拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn) M，使得 △ACM 是等腰三角形？

若存在請求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 .

【分析】

（1）分別令 y = 0 , x = 0 , 即可解決問題；

（2）分 A、C、M 為頂點(diǎn)三種情形討論，分別求解即可 .

【解析】

（1）令 y = 0 , 得 -1/4 x^2 - 1/2 x + 2 = 0 ，

∴ x^2 + 2x - 8 = 0 ,

∴ x = - 4（舍） 或 2 ，

∴ 點(diǎn) A 坐標(biāo)（2,0），點(diǎn) B 坐標(biāo)（-4,0），

令 x = 0 , 得 y = 2 ,

∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)（0,2）.

（2）如圖所示，

① 當(dāng) C 為頂點(diǎn)時，CM1 = CA , CM2 = CA , 作 M1N⊥OC 于 N ,

在 Rt△CM1N 中，

∴ 點(diǎn) M1 坐標(biāo)（-1，2+√7），點(diǎn) M2 坐標(biāo)（-1 , 2-√7）.

② 點(diǎn) M3 為頂點(diǎn)時，

∵ 直線 AC 解析式為 y = -x + 2 , 線段 AC 的垂直平分線為 y = x ,

∴ 點(diǎn) M3 坐標(biāo)為（-1，-1）.

③ 當(dāng)點(diǎn) A 為頂點(diǎn)的等腰三角形不存在 .

綜上所述 M 坐標(biāo)為（-1，-1）或 （-1，2+√7）或 （-1 , 2-√7）.

類型二：直角三角形存在性問題

【例題2】如圖，△OAB 的一邊 OB 在 x 軸的正半軸上，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（6,8），OA = OB，

點(diǎn) P 在線段 OB 上，點(diǎn) Q 在 y 軸的正半軸上，OP = 2OQ，

過點(diǎn) Q 作 x 軸的平行線分別交 OA，AB 于點(diǎn) E , F .

（1）求直線 AB 的解析式；

（2）是否存在點(diǎn) P，使 △PEF 為直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由 .

【分析】

（1）由點(diǎn) A 的坐標(biāo)可確定出 OA 的長，即為 OB 的長，從而可確定出 B 點(diǎn)坐標(biāo)，

利用待定系數(shù)法即可求出直線 AB 的解析式；

（2）分三種情況來考慮：若 ∠PEF = 90°；若 ∠PFE = 90°，若 ∠EPF = 90°，

過點(diǎn) E , F 分別作 x 軸垂線，垂足分別為 G、H，分別求出 t 的值，確定出滿足題意 P 坐標(biāo)即可 .

【解題策略】

此類問題主要考查特殊三角形的存在性問題：

首先運(yùn)用特殊三角形的性質(zhì)畫出相應(yīng)的圖形，確定動點(diǎn)問題的位置；

其次借助特殊三角形的性質(zhì)找到動點(diǎn)與已知點(diǎn)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；

最后結(jié)合已知列出方程求解即可 .

要注意分類討論時考慮全面所有可能的情形 .