注：以下本文授權轉改自微信公眾號“廣州新東方優(yōu)能中學”.

模型提出

我們知道在直角三角形ABC中，若∠C=90°，則有c2=a2+b2，這里符合勾股定理公式的前提是：三條線段在一個直角三角形中。大家有沒有遇到這樣的題呢？比如：

如圖，點P在正三角形ABC中，∠APB=150°，求證PA2+PB2=PC2

或者再比如：

如圖，點P在正三角形ABC外，∠APC=30°，求證PB2=PA2+PC2

三條線段并不在一個直角三角形中，怎么證勾股關系呢？

我們觀察發(fā)現三條線段不是隨意的，而是共頂點的。往往是這樣：

或者這樣

哈哈，是不是長得很像？

三腳架？

V.S.

是不是也很像我們愛吃的雞爪呢？

于是我們常常把這樣一個頂點引出的三條線段叫做“雞爪型”線段。

解法探究

接下來問題來了，怎樣解決三條線段不在同一直角三角形的問題？

那當然是要對線段進行位置變換了。

我們初中階段一共是有三種位置變換：平移、旋轉、翻折（對稱）。

這里我們用的是旋轉思想。

平移和對稱我們已經學過，旋轉在初中是放在九年級上冊（第23章）的，但我們小學和初中教材的編排是螺旋式的深入的，其實旋轉在小學就有學過，包括旋轉的三個要素：繞哪轉（旋轉中心），順時針轉還是逆時針轉（旋轉方向），轉多少度（旋轉角）。

初二上我們其實接觸過一類旋轉式的全等：

哈哈，記起來了嗎？這不就是我們前文講過的手拉手模型嗎？它們的全等都叫旋轉式全等。關于手拉手模型可看以下文章：

【中考專題】手拉手模型（一）—等腰旋轉，全等出現

【中考專題】手拉手模型（二）—旋縮變換，相似成雙

特征是：兩個頂角相等的等腰三角形共點旋轉

核心是：①兩組相等的線段（兩組手）、②兩組手的夾角一樣

全等類手拉手模型，簡圖如下：

那么如果我們給出三條手，你能畫出第四條嗎？

①找兩條大手（紅色的）及大手的夾角，

②利用大手的夾角就是小手的夾角確定第四條手；

所以大家畫的是不是這樣：

或者

實戰(zhàn)中我們往往是兩步：先找到前兩條手（等腰的兩腰），再找第三條手，根據夾角相等的原則畫第四條手。

實戰(zhàn)應用

我們來看一下如何應用吧！

例1:

如圖，點P在正三角形ABC中，∠APB=150°，求證PA2+PB2=PC2.

PA，PB，PC，確認過眼神，這是我們要找的雞爪型

來吧：

Step1：找頂點，找兩腰(就是找等腰三角形啦)

本題A、B、C都可以當等腰的頂點，這里舉例A作頂點，則兩腰為AB和AC

Step2：找第三條手畫第四條手

我們知道四條手是共點的，那自然AP就是我們的第三條手，再按照我們上面的方法就可以畫出第四條手

當然這里往左邊也可以啦

Step3：大拉小(連DC)，連等腰（連PD）

書面作答描述：

解：將△ABP饒點A逆時針方向旋轉60°至三角型ACD位置，

則△ABP≌△△ADC，

則∠BAP=∠CAD，PA=DA，DC=PB

∠PAC+∠CAD=∠BAP+∠PAC=60°

∴△APD為等邊三角形

∴PA=PD

∠PDC=∠ADC-∠ADP=150°-60°=90°

即三角形PDC為直角三角形（核心所在?。?/p>

∴PD2+CD2=PC2

即PA2+PB2=PC2.

怎么樣，方法是不是很炫酷呢？

當然我們說過，這題A、B、C都可以當頂點，而且可以左旋可以右旋，所以這題一共有六種旋轉方法，學霸們可以都試一下的~

總結一下：

在識別出我們的雞爪圖后，我們三步法

1、找頂點、找兩腰

2、找第三條手，畫第四條手

3、大拉小，連等腰

最最最最重要的，連完后往往還會有直角三角形出現，也就出現了我們的勾股關系；

來道變式檢測大家是否掌握完全。

變式1:

如圖，點P在正三角形ABC外，∠APC=30°，求證：PB2=PA2+PC2.

先識別：PB，PA，PC共頂點的三條線段，就是雞爪，接下來就三步走啦！

這里過程就不詳寫啦，和前面那題差不多，可以證∠DPC=90°；

DP2+PC2=DC2，即PA2+PC2=PB2.

變式2

如圖，點P在等腰直角三角形ABC中， ∠APB=135°，求證2PA2+PB2=PC2.

思考：結論和之前有何不同？為什么會多一個2，不妨先變換線段位置再看看吧！

確認過眼神，你就是我要找的爪~，看我的三步法

注意：

這題有些不一樣：PD2=PA2+DA2，PB2=DC2，∠PDC=∠ADC-∠ADP=135°-45°=90°

∴PD2+CD2=PC2

即2PA2+PB2=PC2

變式3

如右圖，點P在等腰直角三角形ABC外， ∠APC=45°，求證2PA2+PC2=PB2.

思考一下哦！

確認過眼神，你就是我要找的爪~，看我的三步法

變式4

如右圖，點P在等腰直角三角形ABC斜邊BC上，求證2PA2=PC2+PB2.

過程還是基本同上哦，這里就不細寫啦！

最后留一道廣州中考題給大家思考啦

真題實戰(zhàn)

（2018年廣州中考·25）(本小題滿分14分)

如圖12，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC.

(2)連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數量關系，并說明理由；

思考片刻，先不要往下看哦~

思考中

……

我們來對一下答案吧

和我們變式1是不是一樣一樣呢？

另外，2016年廣州中考最后一題最后一問也是可以用我們的三步法秒殺的，這里楊老師就先不展開了

末尾，我們再總結一下今日所學：

【模型特征】：雞爪型

【操作三部曲】：

找頂點，找兩腰

找第三條手，畫第四條手

大拉小，連等腰

【核心結論】：

連完輔助線往往會產生新的直角三角形、等邊三角形等。